二重积分对称性定理的证明及应用
目 录
摘 要…………………………………………………………………………………... …1 关键词………………………………………………………………………………….. ……..1 Abstract ……………………………………………………………………………….. …1 Keywords ………………………………………………………………………………….1 前言………………………………………………………………………………………...1 1．预备知识……………………………………………………………………………….1 2．二重积分对称性定理在不同条件下的证明及其应用……………………. …2
2.1 积分区域D 关于坐标轴对称………………………………………………………….2 2.2 积分区域D 关于坐标区域内任意直线对称……………………………………. ….5 2.3 积分区域D 关于坐标原点对称…………………………………………………. ……9 2.4 积分区域D 关于坐标区域内任意一点对称…………………………………... ……11 2.5 积分区域D 同时关于坐标轴和坐标原点对称……………………………….. …….12
结束语…………………………………………………………………………………….12 参考文献……………………………………………………………………………... ….13
二重积分对称性定理的证明及应用
摘 要：本文归纳利用对称性来计算二重积分的方法，给出了二重积分对称性定理的证明并举出了相应例题．
关键词：对称性；积分区城；被积函数
The Application of Symmetry in Double Integral Calculating
Abstract ：It is introduced in the thesis some ways of how to calculate double integral with the application of symmetry. It is also put forward in it how to simplify the calculating methods with symmetry.
Keywords ：Symmetry; Integral region; Integrated function
前言
利用对称性计算二重积分，不但可以使计算简化，有时还可以避免错误．在一般情况下，必须是积分区域D 具有对称性，而且被积函数对于区域D 也具有对称性，才能利用对称性来计算．在特殊情况下，虽然积分区域D 没有对称性，或者关于对称区域D 被积函数没有对称性，但经过技巧性的处理，化为能用对称性来简化计算的积分．这些都是很值得我们探讨的问题．
1 预备知识
对于二重积分⎰⎰f (x , y ) dxdy 的计算，我们总是将其化为二次定积分来完成的，而在
D
定积分的计算中，若遇到对称区间，则有下面非常简洁的结论：
当f (x ) 在区间上为连续的奇函数时，⎰f (x ) dx =0．
-a a
当f (x ) 在区间上为连续的偶函数时，⎰f (x ) dx =2⎰f (x ) dx ．
-a
a a
这个结论，常可简化计算奇、偶函数在对称于原点的区间上的定积分．
在计算二重积分时，若积分区域具有某种对称性，是否也有相应的结论呢？回答是肯定的．下面，我们将此结论类似地推广到二重积分．
2 二重积分对称性定理在不同条件下的证明及其应用
定理1[] 若二重积分⎰⎰f (x , y ) dxdy 满足
1
D
(1) 区域D 可分为对称的两部分D 1和D 2，对称点P ∈D 1，P '∈D 2； (2) 被积函数在对称点的值f (P ) 与f (P ') 相同或互为相反数； 则 ⎧ f (x , y ) d x =d ⎪
0 , f (P
') =-f (P )
⎰⎰
⎨y ⎪2f (x , y ) d x , 'f =D
⎩⎰⎰d y (P ) (f ) P ． D 1
其中P '的坐标根据D 的对称性的类型而确定． 2.1 积分区域D 关于坐标轴对称
2.1.1 积分域D 关于ｘ轴对称，f (x , y ) 为D 上的连续函数
定理2 如果积分域D 关于x 轴对称，f (x , y ) 为y 的奇偶函数，则二重积分⎧ 0 ， f (x , -y ) =-f (x , y )
⎰⎰
f (x , y ) dxdy =⎪
⎨⎪2f (x , y ) dxdy ， f (x , -y ) =f (x , y ) ，
D
⎩⎰⎰D 1
其中D 1为D 在x 轴的上半平面部分．
证明
⎰⎰f (x , y ) dxdy =⎰⎰f (x , y ) dxdy +⎰⎰f (x , y ) dxdy D
D 1
D 2
若区域D 对称于x 轴(图1) ，对任意P (x , y ) ∈D 1，其对称点P '(x , -y ) ∈D 2
D 1={0≤y ≤ϕ(x ), a ≤x ≤b }，D 2={-ϕ(x ) ≤y ≤0, a ≤x ≤b }，令 ⎧⎨
x =x
， ⎩y =-t
(1)
则D 2变换为xot 坐标面上的D 1={0≤t ≤ϕ(x ) ，a ≤x ≤b }，且雅可比行列式
∂(x , y ) 10
==-1． ∂(x , t ) 0-1
故
⎰⎰f (x ,
D 2
y ) d x d d t =y ⎰⎰f (x , -t ) -1d x =⎰⎰f (x , -y ) d x d y
D 1
D 1
⎧f (x , y ) d x d y , ⎰⎰⎪⎪D 1
=⎨
⎪-⎰⎰f (x , y ) d x d y , ⎪⎩D 1
(f -, x =) y (f -, x =-) y
(f , x ) y
，
(f , x ) y
于是，代入（1）式得：
⎰⎰
D
⎧ 0 , f (x , y ) =-f (x , -y ) ⎪
f (x , y ) dxdy =⎨2f (x , y ) dxdy , f (x , y ) =f (x , -y ) ．
⎰⎰⎪⎩D 1
D
例1 计算⎰⎰y ln(1+x 2+y 2) dxdy ，其中区域D ：x 2+y 2≤1, x ≥0 解 f (x , y ) =y ln(1+x 2+y 2) 是关于y 的奇函数且D 关于x 轴对称， 所以
22
y ln(1+x +y ) dxdy =0． ⎰⎰D
例2 计算⎰⎰sin(x 2+y 2) dxdy ，其中区域D ：x 2+y 2≤4, x ≥0
D
解 因为f (x , y ) =sin(x 2+y 2) 是关于y 的偶函数，且D 关于x 轴对称， 所以
22
sin(x +y ) dxdy =2⎰⎰D
x 2+y 2≤4
x ≥0. y ≥0
⎰⎰
sin(x 2+y 2) dxdy
π
=2
x 2+y 2≤4x ≥0. y ≥0
⎰⎰→2⎰2d θ⎰r sin r 2 sin(x +y ) dxdy −−−−
2
2
采用极坐标
2
=
π
2
(1-cos 4)
2.1.2 积分域D 关于y 轴对称，f (x , y ) 为D 上的连续函数
定理3 如果积分域D 关于y 轴对称，f (x , y ) 为x 的奇偶函数，则二重积分
⎰⎰
D
⎧ 0 ， f (-x , y ) =-f (x , y ) ⎪
f (x , y ) d x =d ⎨y 2f (x , y ) d x d y ， -(f , =x ) y (f , ，x ) y ⎰⎰⎪⎩D 1
其中D 1为D 在y 轴的右半平面部分．
证明 若区域D 对称于y 轴(图2) ，对任意P (x , y ) ∈D 1，对称点P '(-x , y ) ∈D 2，类似定理2的证明可得
⎰⎰
D
⎧ 0 , f (-x , y ) =-f (x , y )
⎪
f (x , y ) dxdy =⎨2f (x , y ) dxdy , f (-x , y ) =f (x , y ) ．
⎰⎰⎪⎩D 1
2]
例3 计算[
2232
D ，其中：x +y ≤4, y ≥0 (x +x y ) dxdy ⎰⎰
D
解 f (x , y ) =x +x 3y 2，
f (-x , y ) =-x -x 3y 2=-(x +x 3y 2) =-f (x , y ) ，
且区域D 关于y 轴对称，所以
32
(x +x y ) dxdy =0． ⎰⎰D
例4 计算⎰⎰x 2ydxdy ，其中区域D ：-1≤x ≤1,0≤y ≤1
D
解 f (x , y ) =x 2y 是关于x 的偶函数，且区域D 关于y 轴对称， 所以
11111222
=． =2ydy x dx 2dy x ydx =x ydxdy ⎰⎰⎰⎰⎰⎰00003D
2.2 积分区域D 关于坐标区域内任意直线对称
将积分区域D 关于坐标轴对称的情况推广到积分区域D 关于坐标区域内任意直线对称，则有下面定理：
定理4 如果积分域D 关于直线y =ax +b 对称，则二重积分
⎧2a (y -ax -b ) (a 2-1)(y -ax -b )
, ax +b +) =-f (x . y ) ⎪ 0 , f (x +1+a 21+a 2⎪ f (x , y ) dxdy =⎨2
⎪2f (x , y ) dxdy , f (x +2a (y -ax -b ) , ax +b +(a -1)(y -ax -b ) ) =f (x . y )
22⎰⎰1+a 1+a ⎪D ⎩1
⎰⎰
D
其中D 1为D 在以直线y =ax +b 为轴的右半平面部分
图3
证明 若区域D 对称于直线y =ax +b ，不妨设a >0，即倾斜角θ为锐角． 首先，平移坐标轴，得坐标系x 'o 'y ', 如(图3)
b ⎧'
x =x +⎪
a ， ⎨
⎪⎩y '=y
即
b ⎧'x =x -⎪
⎨a ． （2）
⎪⎩y =y '
其次，将坐标系x 'o 'y '沿逆时针方向旋转，旋转角为θ(tanθ=a ) ，使x '轴与直线y =ax +b 重合．得新坐标系uo 'v ：
⎧'
x =(u -v t a θn ) c θo =⎪
⎪
⎨ （3）
⎪y '=(u -v t a θn ) s θi +n v θs =⎪⎩
（2），（3）由得
⎧
⎪x =⎪⎨⎪y =⎪⎩
即
-
b a
，
b ⎧u =x +) ⎪a ⎪
⎨
⎪v =⎪⎩
xoy 坐标面内对称于直线y =ax +b 的区域D ，在新坐标系uo 'v 内对应的区域D '关于u 轴
'对称．xoy 面内任意点P (x , y ) ∈D 1，在uo 'v 面内对应点P 1(u , v ) ∈D 1．
b v = u =x +) +
a
'P '(u , -v ) ∈D 2'，P 点P 1(u , -v ) 在xoy
面内对应点为1(u , v ) 关于u 轴对称点1
P 'b -∈D 2，
a 将u , v 代入，化简得：
2a (y -ax -b ) (a 2-1)(y -ax -b )
P '(x +, ax +b +) ∈D 2．
1+a 21+a 2
因此，xoy 面内点P (x , y ) ∈D 1关于直线y =ax +b 的对称点为
2a (y -ax -b ) (a 2-1)(y -ax -b )
P '(x +, ax +b +) ∈D 2，
1+a 21+a 2
雅可比行列式为
∂(x , y )
=∂(u , v )
于是
=1 ， ⎰⎰
D
f (x , y ) dxdy =⎰⎰f D
b -dudv ． a 由定理2知
⎰⎰
D 1
f b -dudv a
, ,
b b -=-f a a
b b f -=f -a a f ⎧
⎪0⎪=⎨
⎪2f b dudv
⎰⎰⎪a ⎩D 1
即
⎧2a (y -ax -b ) (a 2-1)(y -ax -b )
, ax +b +) =-f (x . y ) ⎪ 0 , f (x +22
1+a 1+a ⎪ f (x , y ) dxdy =⎨2
⎪2f (x , y ) dxdy , f (x +2a (y -ax -b ) , ax +b +(a -1)(y -ax -b ) ) =f (x . y )
22⎰⎰1+a 1+a ⎪D ⎩1
3
⎰⎰
D
例5 计算[]二重积分⎰⎰[(x -1) 3+y ]d σ，
D
其中D 是抛物线y =(x -1) 2，y =4(x -1) 2及直线y =
1所围成的区域
图4
解 由于积分区域D 关于直线x =1对称，被积函数中(x -1) 3在区域D 上关于(x -1) 为奇函数，y 在区域D 上关于(x -1) 为偶函数，见(图4) , 由定理4，
得：
3
[(x -1) +y ]d σ=0+
2⎰⎰yd σ=2⎰ydy ⎰⎰D
D 1
1110
dx =
2． 5
当积分域D 关于直线y =x 轴对称时，有下面推论：
推论1[4] 如果积分域D 关于直线y =x 轴对称，则二重积分
⎰⎰f (x , y ) dxdy =⎰⎰f (y , x ) dxdy ．
D
D
例6 设f (x ) 为恒正的连续函数，计算积分
af (x ) +bf (y )
⎰⎰f (x ) +f (y ) x 2+y 2≤r 2
解 由于积分区域x 2+y 2≤r 2关于y =x 对称，所以由推论2，可得：
af (x ) +bf (y )
=⎰⎰f (x ) +f (y ) x 2+y 2≤r 2
于是
af (y ) +bf (x )
， ⎰⎰f (y ) +f (x ) x 2+y 2≤r 2
2
af (x ) +bf (y )
dxdy ⎰⎰f (x ) +f (y ) x 2+y 2≤r 2
=
=
af (x ) +bf (y ) af (y ) +bf (x ) + ⎰⎰⎰⎰f (x ) +f (y ) f (y ) +f (x ) x 2+y 2≤r 2x 2+y 2≤r 2
x 2+y 2≤r 2
⎰⎰
(a +b ) dxdy =π(a +b ) r 2．
故
πaf (x ) +bf (y ) 2
(a +b ) r ． =⎰⎰2f (x ) +f (y ) x 2+y 2≤r 2
当积分区域关于y =x 对称时，被积分函数的两个变量可以互换位置的特殊性质可以使二重积分计算化简．
类似的，若积分区域关于直线y =-x 对称且满足f (-x , -y ) =-f (x , y ) ，则
⎰⎰f (x , y ) dxdy =0，
D
或满足f (-x , -y ) =f (x , y ) ，则有
⎰⎰f (x , y ) dxdy =2⎰⎰f (x , y ) dxdy ．
D
D 1
（其中D 1为D 的一半）
2.3 积分区域D 关于坐标原点对称
定理5 如果积分域D 关于原点对称，f (x , y ) 同时为x ，y 的奇偶函数，则二重积分
⎰⎰
D
⎧ 0 ， f (-x , -y ) =-f (x , y ) ⎪
f (x , y ) dxdy =⎨2f (x , y ) dxdy ， f (-x , -y ) =f (x , y ) ，
⎰⎰⎪⎩D 1
其中D 1为D 的上半平面部分．
图5
证明 若区域D 对称于原点(图5) ，对任意P (x , y ) ∈D 1，对称点P '(-x , -y ) ∈D 2，
D 1={ψ(x ) ≤y ≤ϕ(x ) ，a ≤x ≤b }, D 2={-ϕ(-x ) ≤y ≤-ψ(-x ) ，-b ≤x ≤-a }, 令
⎧x =-u
， ⎨
⎩y =-v
则区域D 2变换为uov 坐标平面内区域D 1={ψ(x ) ≤y ≤ϕ(x ) ，a ≤x ≤b }，雅可比行列式
∂(x , y ) -10
==1，
∂(u , v ) 0-1
所以
⎰⎰f (x , y ) dxdy =⎰⎰f (-u , -v ) dudv =⎰⎰f (-x , -y ) dxdy
D 2
D 1
D 1
⎧-f (x , y ) dxdy ⎰⎰⎪⎪D 1=⎨⎪⎰⎰f (x , y ) dxdy
⎪⎩D 1, f (-x , -y ) =-f (x , y ) , f (-x , -y ) =f (x , y ) ，
代入
⎰⎰f (x , y ) dxdy =⎰⎰f (x , y ) dxdy +⎰⎰f (x , y ) dxdy ，
D D 1D 2
得
⎰⎰D ⎧ 0 ，若f (-x , -y ) =-f (x , y ) ⎪f (x , y ) dxdy =⎨2f (x , y ) dxdy ，若f (-x , -y ) =f (x , y ) ． ⎪⎰⎰⎩D 1
[5]例7 计算I =⎰⎰(xy +x 2y ) dxdy
D
其中D 是由y =x ，y =1，y =-1以及x =0所围成的闭区域
图6
解 如(图6) ， D =D 1+D 2，D 1、D 2关于原点对称，但被积函数不满足
f (x , y ) =f (-x . -y ) , 也不满足f (x , y ) =-f (-x . -y ) , 故不能直接用定理来计算， 但若记
f 1(x , y ) =xy ， f 2(x , y ) =x 2y
对f 1(x , y ) 和f 2(x , y ) 分别应用定理5，则
) =⎰⎰2xydxdy ， ⎰⎰f (x , y dxdy 1
D D 1
故 d y ，0 ⎰⎰f (x , y ) d x =2D
I =⎰⎰(xy +x 2y ) dxdy =⎰⎰xydxdy +⎰⎰x 2ydxdy
D D D
1 =2⎰⎰x y d x d =． 4D 1
2.4 积分区域D 关于坐标区域内任意一点对称
将积分区域D 关于原点对称的情况推广到积分区域D 关于坐标区域内任意一点对称，则有下面定理：
定理6 如果积分域D 关于点(a , b ) 对称，则二重积分
⎰⎰D ⎧ 0 , f (2a -x ,2b -y ) =-f (x , y ) ⎪f (x , y ) dxdy =⎨2f (x , y ) dxdy , f (2a -x ,2b -y ) =f (x , y ) ， ⎰⎰⎪⎩D 1
其中D 1为D 以(a , b ) 为对称点的右半平面部分．
图7
证明 若区域D 对称于点(a , b ) ( 图7 ) ，平移坐标轴
⎧x =u +a ， ⎨y =v +b ⎩
即
⎧u =x -a ． ⎨v =y -b ⎩
xoy 坐标面内区域D 在uo 'v 坐标面内对应的区域D '关于其坐标原点o '对称．
''xoy 面内任意点P (x , y ) ∈D 1，对应uo 'v 面内点P 1(x -a , y -b ) ∈D 1，它关于o 对称点为
'''''P 1(a -x , b -y ) ∈D 2．uo v 面内点P 1对应xoy 面内点P (2a -x , 2b -y ) ∈D 2．由此，xoy 面内点P (x , y ) ∈D 1关于点(a , b ) 的对称点为P '(2a -x ,2b -y ) ．雅可比行列式为
∂(x , y ) 10==1， ∂(u , v ) 01
于是
⎰⎰f (x , y ) dxdy =⎰⎰f (u +a , v +b ) dudv ．
D D '
由定理5的证明知
⎰⎰D '⎧0⎪f (u +a , v +b ) dudv =⎨2f (u +a , v +b ) dudv ⎰⎰⎪⎩D 1, , (-u +a , -v +b ) =-f (u +a , v +b ) f (-u +a , -v +b ) =f (u +a , v +b )
即
⎰⎰D ⎧ 0 , 若f (2a -x ,2b -y ) =-f (x , y ) ⎪f (x , y ) dxdy =⎨2f (x , y ) dxdy , 若f (2a -x ,2b -y ) =f (x , y ) ． ⎪⎰⎰⎩D 1
2.5 积分区域D 同时关于坐标轴和坐标原点对称
推论2 若区域D 关于坐标轴、原点全对称，则二重积分
⎰⎰f (x , y ) dxdy =4⎰⎰f (x , y ) dxdy ，
D D 1
其中D 1为D 位于第一象限部分．
例8 计算二重积分⎰⎰xy σ，其中区域D ：x +y ≤1
s
解 由于积分区域D 关于坐标轴、原点全对称， 由上述定理得
⎰⎰s xy d σ=4⎰⎰xyd σ=4⎰dx ⎰s 111-x 00xydy =1． 6
结束语
本文给出了二重积分对称性定理在不同条件下的证明以及应用，利用二重积分积分域D 的对称性及被积函数f (x , y ) 的奇偶性，一方面可减少计算量，另一方面可避免出差错，仅当积分域D 的对称性与被积函数f (x , y ) 的奇偶性两者兼得时才能用对称性定理．
当对称区域位于平面上任意位置时，对称点的坐标往往比较复杂，导致定理中某些条件难以检验．但如果f (x , y ) ≡1，那么无论对称区域位于何处，总有f (P ) =f (P ') ，定理恒成立．这就是为什么在求面积、体积时，总可以用对称性化简的原因． 参考文献
[1] 隋梅真．对称区域上二重积分可以简化的条件和方法[J]．山东：山东建筑工程学院学报，1995.
[2] 王玮，张素玲．对称区域上二重积分的计算[J]．河南：焦作大学学报，1999.
[3] 方耀．二重积分对称性的应用[J]．河北：河北自学考试，2001.
[4] 张振强．对称性在二重积分计算中的应用[J]．广西：南宁师范高等专科学校学报，2002.
[5] 汪秀羌．二重积分的对称性问题[J]．安徽：工科数学，1996.