2017北京市高一数学初赛试题及解答

2017年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛

试题参考解答

（2017年4月9日）

选择题答案

填空题答案

一、

选择题

1．集合A ={2, 0, 1, 7}，B ={x | x 2−2∈A , x −2∉A }，则集合B 的所有元素之积为 （A ）36

． （

B ）54． （C ）72．

（D ）

108． 答：A ．

解：由

x 2−2∈A ，可得

x 2=4，2，3，9，即x =±2，

±3

． 又因为x −2∉

A ，所以x ≠2，x ≠3，故x = −2，

−3． 因此，集合B ={−

2,

−3}．

所以，集合B 的所有元素的乘积等于(−2)(−3)=36． 2．已知锐角△ABC 的顶点A 到它的垂心与外心的距离相等，则tan(（A ． （B ）．

（C ）1． （D 2

∠BAC

)= 2

答：A ．

解：作锐角△ABC 的外接圆，这个圆的圆心O 在形内，高AD ，CE 相交于点H ，锐角△ABC 的垂心H 也在形内．

连接BO 交⊙O 于K ，BK 为 O 的直径. 连接AK ，CK ．

因为AD ，CE 是△ABC 的高，∠KAB ，∠KCB 是直径BK 上的圆周角，所以∠KAB =∠KCB =90°．于是KA//CEKC//AD，因此AKCH 是平行四边形．

1

所以KC =AH =AO =BK ．

2

1

在直角△KCB 中，由KC =BK ，得∠BKC =60°，所以∠BAC =∠BKC =60°．

2

故tan(

∠BAC )= tan30°

=． 23

3．将正奇数的集合{1, 3, 5, 7, „}从小到大按第n 组2n −1个数进行分组：{1}，{3, 5, 7}，{9, 11, 13, 15, 17}，„，数2017位于第k 组中，则k 为

（A ）31． （B ）32． （C ）33． （D ）34． 答：B.

解：数2017是数列a n = 2n −1的第1009项．设2017位于第k 组，则

1+3+5+„+(2k −1) ≥1009，且1+3+5+„+(2k −3) ＜1009．

⎧k 2≥1009

即k 是不等式组⎨的正整数解，解得k =32，所以2017在第32组中． 2

⎩(k -1)

4．如图，平面直角坐标系x -O -y 中，A , B 是函数y =

1在x

第I 象限的图象上两点，满足∠OAB =90°且AO = AB，则等腰直角△OAB 的面积等于

1

（A ）． （B ）

． （C

）． （D

）．

2222答：D ．

解：依题意，∠OAB =90°且AO = AB，∠AOB =∠ABO =45°．过点A 做y 轴垂线交y 轴于点C ，过点B 做y 轴平行线，交直线CA 于点D ．

易见△COA ≌△DAB ．

111

设点A (a , ) ，则点B (a +, − a ) ．

a a a

111

因为点B 在函数y =的图象上，所以(a +)(− a )=1，

x a a 即

1

− a 2=1． 2a

1111

因此S △ABC =OA 2=(2+ a 2) =

22a 2

． =

2

5．已知f (x ) = x 5 + a 1x 4 + a 2x 3 + a 3x 2 + a 4x + a 5，且当m =1, 2, 3, 4时，f (m )=2017m ，则

f (10)−f (−5)=

（A ）71655． （B ）75156． （C ）75615． （D ）76515．

答：C ．

解：因为 当m =1, 2, 3, 4时，f (m )=2017m ，所以1, 2, 3, 4是方程f (x ) −2017x =0的四个实根，由于5次多项式f (x ) −2017x 有5个根，设第5个根为p ，则

f (x ) −2017x = (x −1)(x −2)(x −3)(x −4)(x −p )

即 f (x ) = (x −1)(x −2)(x −3)(x −4)(x −p )+2017x ．

所以f (10)=9×8×7×6(10−p )+2017×10，f (−5)=−6×7×8×9(5+p ) −2017×5， 因此f (10)− f (−5)=15(9×8×7×6+2017)=75615．

⎧|x |,x ≤a , 6．已知函数f (x ) =⎨2若存在实数m ，使得关于x 的方程f (x )=m

x -4ax +2a , x >a . ⎩

有四个不同的实根，则a 的取值范围是

1111

（A ）a >． （B ）a >． （C ）a >． （D ）a >．

7654

答：D ．

解：要使方程f (x )=m 有四个不同的实根，必须使得y =m 的图像与y =f (x ) 的图像有4个不同的交点．而直线与y =|x |的图像及二次函数的图像交点都是最多为两个，所以y =m 与函数y =|x |, x ≤a 的图像和y =x 2−4ax +2a , x ＞a 的图像的交点分别都是2个．

而存在实数m ，使y =m 与y =|x |, x ≤a 的图像有两个交点，需要a ＞0，此时0＜m ≤a ；

4⨯2a -(4a ) 2

又因为y =x −4ax +2a , x ＞a 顶点的纵坐标为，所以，要y =m 与y =x 2−4ax +2a ,

4

2

4⨯2a -(4a ) 2

x ＞a 的图像有两个交点，需要m ＞．

4

因此y =m 的图像与y =f (x ) 的图像有4个不同的交点需要满足：

4⨯2a -(4a ) 2

0＜m ≤a 且m ＞，

4

解得a >

二、填空题

1. 用[x ]表示不超过x 的最大整数，

设S =+++ +，

求的值．答：24．

解：因为12≤1, 2, 3＜22，所以1

1

． 4

2，因此

===1，共3个1；

同理，22≤4, 5, 6, 7, 8＜32，

因此，=====2，共5个2；又32≤9, 10, 11, 12, 13, 14, 15＜42

，因此== =3，共7个3；

依次类推，== ===4，共9个4；

== ===5，共11个5；

== ===6，共13个6；

== ===7，共15个7；

== ===8，共17个8；

== ===9，共19个9.

S

= (++

)+(++++)+„

+(+ +) = 1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×13+7×15+8×17+9×19=615．

因为242=576＜615=S ＜625=252，即24

25，所以，

．2．确定(2017答：8．

1

5

15

1

1log 22017

×2017

1

log 42017

×2017

1

log 82017

×2017

1

log 162017

×2017

1

log 322017

) 的值．

15

解：原式=(2017log 20172×2017log 20174×2017log 20178×2017log 201716×2017log 201732) =(2×4×8×16×32) = (2×2×2×2

=(21+2+3+4+5) 5

1

1234

×25) 5

=(215) 5

1

=23=8．

3．已知△ABC 的边AB

BC

CA

厘米，求△ABC 的面积． 答：9.5平方厘米．

解：注意到13=3+2，29=5+2，34=5+3，作边长为5厘米的正方形AMNP ，分成25个1平方厘米的正方形网格，如图．根据勾股定理，可知，AB

BC

CA

=M 米，因此△ABC 的面积可求．

111

△ABC 的面积=5×5−×3×5−×2×5−×2×3=9.5（平方厘米）．

222

N

2

2

2

2

2

2

P

(x +1) 2+x )

4.

设函数f (x ) =的最大值为M ，最小值为N ，试确定M +N

x 2+1

的值．

答：2．

2x +x )

解：由已知得f (x ) =1+

x 2+1

因为

x ) ++(-x )) =(-x (-x ))]

=ln((-x ) 2+1-(-x ) 2) =ln1=0，

所以(-x )) =-x ) ，

因此，x ) 是奇函数．

2x ++x )

进而可判定，函数g (x ) =为奇函数． 2

x +1

则g (x ) 的最大值M 1和最小值N 1满足M 1+N 1= 0． 因为M =M 1+1，N = N1+1，所以 M + N = 2．

5．设A 是数集{1, 2, „, 2017}的n 元子集，且A 中的任意两个数既不互质，又不存在整除关系，确定n 的最大值．

答：504．

解：在数集{1, 2, „, 2017}中选取子集，使得子集中任意两个数不互质，最大的子集是偶数集{2, 4, „, 2016}共1008个元素，但其中，有的元素满足整除关系，由于1010的2倍是2020，所以集合A ={1010, 1012, 1014, „, 2016}中，任意两个数既不互质，又不存在整除关系，A 中恰有504个元素．

事实上504是n 的最大值．

因为若从{1009, 1011, „, 2017}中任取一个奇数，会与A 中的与它相邻的偶数互质；若从{1, 2, 3, „, 1008}中任取一数，则它的2倍在A 中，存在整除关系．

6．如图，以长为4厘米的线段AB 的中点O 为圆心、2厘米为半径画圆，交AB 的中垂线于点E 和F . 再分别以A 、B 为圆心，4厘米为半径画圆弧交射线AE 于点C ，交射线BE 于点D . 再以E 为圆心DE 为半径画圆 ，求这4条实曲线弧连接成的“卵形”AFBCDA 弧DC

的面积．（圆周率用π表示，不取近似值）

答：(12−

π−4平方厘米．

1

解：半圆(O , 2)的面积=π×22=2π．

2

B

F

O

E

C

A

D

因为AO=OB=2，所以AB=AC=BD=4，AE =BE

ED =EC =4−

2 又∠AEB =∠CED =90°，∠EAB =∠EBA =45°，

11

因此，扇形BAD 的面积=扇形ACB 的面积=π×42=2π，△AEB 的面积=×4×2=4，

82

的面积=1π(4−

2= 6π−

， 直角扇形EDC

4

卵形 AFBCDA 的面积 = 半圆(O , 2)的面积+扇形BAD 的面积+扇形ACB 的面积

的面积 −△AEB 的面积+直角扇形EDC

= 2π+2×2π−4+6π−

4 = (12−

π−4（平方厘米）．

x 27. 已知f (x ) =2，求f (1)+f (2)+„+f (100)的值．

x -100x +5000

答：101．

解：设g (x ) = x 2−100x +5000，则

g (100−x ) = (100−x ) 2−100(100−x )+5000=1002−200x +x 2−1002+100x +5000

= x2−100x +5000= g(x ) ， 即 g (k ) = g(100−k ) ．

k 2(100-k ) 2k 2+(100-k ) 2

所以 f (k ) + f (100−k ) = ==2， +

g (k ) g (100-k ) g (k )

5021002

=1，=2. 又 f (50) =2 f (100)=2

50-100⨯50+5000100-100⨯100+5000

所以， f (1)+ f (2)+„+ f (100)

= (f (1)+ f (99))+ (f (2)+ f (98))+„+ (f (49)+ f (51))+ f (50)+ f (100) = 2×49+1+2=101．

8．如图，在锐角△ABC 中，AC = BC = 10，D 是边AB 上一点，△ACD 的内切圆和△BCD 的与BD 边相切的旁切圆的半径都等于2，求AB 的长．

答：

解：线段AB 被两圆与AB 的切点及点D 分成四段，由于两圆半径相等，再根据切线长定理，可知中间两段相等，于是可将这四段线段长度分别记为a , b , b , c ，由于圆O 2的切线长CE = CG ，所以BC +a = CD +b = (AC −c +b )+b ，而AC = BC ，所以a +c = 2b ．

2 O A C

由等角关系可得△AO 1F ∽△O 2BE ，得

2a

=，由此推出ac = 4． c 2

A

O 1F BE

，即=

AF O 2E

分别计算△BCD 和△ACD 的面积：

C 所以

S ∆BCD =

11

⨯2(BC +CD -BD ), S ∆ACD =⨯2(AC +CD +AD )

22

S ∆ACD -S ∆BCD =AD +BD =AB =a +c +2b =4b . ①

又设由C 引向AB 的高为h ，可得

1S ∆ACD -S ∆BCD =(c -a ) h =②

2

由①、②两式可得

4b =将a +c = 2b ，ac = 4代入，化简得b 4-25b 2+100=0

解得b 2=5或b 2=20，即b

b

（负根舍）． 于是，AB = a +c +2b = 4b

AB

若AB

ABC 为钝角三角形，不合题设△ABC 是锐角三角形的要求． 所以AB 的长为