土木工程英文文献及翻译-英语论文

基于Hoek–Brown 破坏准则洞穴和隧道坍塌机理的极限分析

M. Fraldi F. Guarracino

摘要

对隧道和天然洞穴的坍塌状况进行可靠的预测至今仍然是岩石力学最困难的任务之一。

通过参考Hoek–Brown破坏准则，利用塑性理论和变分法经典工具，可以得到一个准确的解决方法。所得到的公式很简单，并且跟经验方法和数值分析比较非常有用。本文还提出并且讨论了一些使用广泛的软件包的的范例。

1. 引言

洞穴顶部的坍塌与否是一个发生在隧道、天然洞穴和煤矿中涉及岩土工程的实际问题。

普遍认为，这个问题十分的复杂，岩石稳定性在很大程度上被原位岩石力学性能的不确定性和岩石表面存在的裂缝、破碎面所影响。因此，自从太沙基的几个理论被提出来进行安全度评估，由于它们的简单性，这些经验方法一直被广泛的使用。然而，得到的结果因人而异，并且它们的适用性很大程度上依赖于设计者的判断和专业技能。有限元分析，也经常采用来评估这类问题的安全度，但是在建模和结果验证上出现麻烦。因此，研究一个健全的、可以评估哪种岩石材料不会破碎并且垂直下落的力学手段会是极其有用的。一般说来，洞穴安全度分析对于执业工程师来说，是很有用的。

目前的工作从李普曼提出的经典方法上转移了，尽管该方法十分简单，并在多方法评估

中被广泛地使用了几十年。该文用Hoek–Brown破坏准则代替Mohr–Coulomb屈服准则，并且更重要的是，通过塑性理论结合变分法经典工具，可得到一种解决方法。事实上，自从基于李普曼方法的程序的缺点集中在，很难找到一个有用的坍塌荷载的下限值，人们开始致力于研究一种严谨的变分程序。该程序通过一种运动学手段，可以直接分析坍塌荷载的最小值。由于塑性上限理论和在考虑的结构的内部，这种运动学手段被认为可以解出这类亟待解决的问题的有效坍塌荷载。从本质上来说，这个方法被建议用来弥补理想的连续可塑性与为物理分离和开挖洞室顶部、天然洞穴材料的重力作用区域所做的实用设计之间的差别。这个程序的优点在于它的必要的计算极其简单，这些计算能给这些亟待解决的参数一个富有意义

的物理学的解释，并且也对后续三元计算分析提供了首次验证。另外，目前实用的大多数方法注重研究塑性变形的开始（强度比或者其他的塑性指标），而不是坍塌过程的分析。这很可能被误导，因为在弹性分析和有限元分析中，首先屈服的地方和实际的坍塌机理不相符合是经常发生的。在这个方面，尽管推荐的方法的基本假设被简单化，但是它对全部的坍塌机理

进行指导。

2. Hoek–Brown准则的选择

当前，Hoek–Brown准则由于它对硬岩的强大实用性而被广泛传播，由于没有合适的替

代方案，Hoek–Brown准则也应用于破碎岩体。Hoek–Brown准则最开始被研究是为了解决地下开挖工程中的参数问题。在1980年初，由于没有合适的方法似乎可以用来评估岩体强度，并且几乎所有的有关土体和岩体的公式和软件是根据莫尔—库仑准则写的，人们致力于研究一个能根据地质信息而缩放的无量纲方程。事实上，起初的Hoek–Brown方程既不是新的也不是唯一的，它是一个早在1993年就被用来描述混凝土失效的恒等方程。然而，Hoek和Brown的重要贡献是将方程和岩体的实际特性联系起来。在这些准则的发展过程中，Hoek–Brown准则很早就被认可了。为了有实用效果，这些准则需要的参数通过简单的野外地质观察就可得到。为了这个特定目的，一种将岩石分级的思想被讨论，自从Bieniawski

的岩体质量分级（RMR）方法在1974年首次出版，并且在岩石力学界受到了广泛的欢迎后，该想法决定用这个分级方法作为地质参数的基本工具。

最初的准则是为地下开挖工程的狭窄条件而特别研究的。在过去的二十年中，可以作为

这些原始关系的基础的资料，来自于巴布几内亚Bougain-ville 矿井的岩体样本实验，并且通过实验验证得到了有意义的确认。

必须指出，这个偏袒硬岩的准则是基于这样的一个假设，即岩体破坏是由众多节理面分

割成的单个岩块的滑移和旋转所决定的。从而认为完整岩体的破坏在整个破坏过程中不起作用，并且假定节理是没有规则的，不存在什么优先破裂面，所以可以认为岩体是各向同性的。由于这个原因，目前的研究表明，使用Hoek–Brown准则在极限分析程序中研究岩体性质是最好的办法。

3. 极限分析和变分逼近法

分析在岩块中隧道和天然洞穴顶部稳定性的基本思路在于确定可能从洞穴顶部坍塌的岩块的形状和尺寸（如图一所示）。和往常一样，这个问题将被视为平面问题，并且将会取整个洞穴横断面作参考。但为了使程序更容易被理解，取矩形洞室作为参考。一个解决不同形状的洞穴的方法，比如圆形洞穴，可以通过同样的方法得到，只不过需要更多的复杂的数学计算，这也将是进一步研究的方向。

原则上，解决方法可以通过Greenberg最小原则，同时参考研究材料彼此间相对移动的库仑型机理而得到。通过参考莫尔—库仑屈服准则和关联流动法则，一种库仑机理开始被设计出来研究多边形块体。然而，通过采纳Hoek–Brown准则，该准则很快就指出：坍塌岩块再也不需要是多边形的，并且坍塌区域的最有效的形状成为了一个未知的问题。

图一 坍塌块体示意

为了克服这个这个困难，本文提出了一个方法，借助于变积分并且假设坍塌岩块的形状可以通过欧拉方程结合最大塑性损耗原则计算得到。

在这个规定下，通过使外功比率和沿着机动许可速度场的能量的内部损耗的比率相等，可以得到坍塌岩体的有效形状。也就是说是满足速度限界、应变率与速度之间的兼容性。根

据Greenberg最小原则（也就是上限和极限分析的运动学理论），最小化待求问题的结果函数，可以得到有效的坍塌机理。事实上，所有需要的条件都得到了满足，即：①材料的行为是理想塑性的；②屈服面是凸的，通过关联流动法则中的屈服方程可以得到塑性变形比例； ③在坍塌开始发生的过程中，岩体的几何形状变化可以不考虑（看作刚塑体）。

必须指出，如果一方面，对于一些岩体力学的问题，非关联流动法则更加适合是正确的，那么另一方面，为了得到塑性的数学理论，关于极限领域的流体的变化必须通过分析详细说明。这个分析定理不适用于基于这类问题的Hoek–Brown准则，至少在现在的文献中是这样。此外通过非关联流动法则得到的边界是罕见的，而不是极限分析中的边界理论，并且它和时下的主流方法观点不一致。此外，在第6部分中提到的有限元分析表明：对这个被研究的问题来说，这个参数的不容易得到正确的结果。

因此，将Hoek–Brown变形准则画在莫尔σn—τ

向量n垂直于破坏面，

这里，A和B分别表示表征岩体特性的无量纲参数，σc和σt分别是破坏时的压应力和拉应力。

n 平面坐标系中，如图2所示，单位

图2 莫尔σn—τn 平面坐标系中的Hoek–Brown变形准则

系数A的简单的力学解释可使Hoek–Brown准则和莫尔—库仑准则相一致时而得到，即：

这里，υ是岩体的内摩擦角，c是岩体的粘聚力。

在标准材料（也就是遵从关联流动法则的材料）组成的结构中，通过假设塑性位势

Hoek–Brown屈服曲线一致，不失一般性，考虑τ

所以这个塑性应变率可以写成下面的形式：

n 为正的半平面，从而有： 和

这里λ是一个纯量参数。

由于当前的工作范围是研究重力场下岩体坍塌，人们主要关注可容许的竖向速度场u， 假设该速度沿Y轴的方向，如图1所示。方程y=f(x) 表示在x-y笛卡尔参考坐标系中的坍塌岩体曲线上的任何一个单元。

通过一个纯粹的几何关系的推理，并且参考图1，塑性应变率可以写成：

。

这里w是这个塑性分离区的厚度，一个点表示对时间和横坐标x的微分，即：

为了保证兼容性，在方程（4）和方程（5）中的塑性应变率的分量必须相等，从他们中的第二个方程可以得到：

所以，通过考虑这个结果，从第一个方程中可以得到法向应力的方程，该方程中包含Hoek–Brown力学参数和这个未知的分离曲线的导数f '(x)，也就是：

在坍塌即将发生的时候，在破裂面上的内力的损耗密度Di可以用下式表达：

。

而破裂面每单位长度外荷载的功率We为：

ρ为岩体容重（如图3所示）。

。

图3 静态坍塌模式

借助Greenberg最小化原则，在整个可容许的分离曲线y=f(x)的函数定义域上，通过求总损耗的最小值可以得到有效的坍塌机理。认为落石关于Y轴对称，即将发生坍塌的总损耗可以算出来：

这里，dsf'(x)2dx是分离曲线f(x)上的单元长度，S是曲线f(x)总长的一半，L是曲线的水平投影长度，也就是洞穴宽度的一半。f(x)，f’(x)，x的表达式如下： 

将在积分区间[0，L]上求极值。这个问题是变分法的经典问题之一，也就是在规定的条件下，找到一个函数，y=f(x)，使积分式（11）为一个常数。值得强调的是，塑性区的纯量参数λ和单元厚度w在计算过程中都会自然的减少。因此，不同于其他的方法，他们的方面不需要另外的假设。

总损耗的第一个变分方程可以写成下面的形式：

通过方程（12）可以得到

所以，利用方程（13），对眼前的问题使用Euler-Lagarange方程可以得到最清楚形式如下：

这里，

V代表所有可以容许的重力速度场的作用空间。

方程（15）是一个含有未知函数f(x)的复杂的非线性二阶微分方程。第一次积分的结果为：

并且方程（18）的再次积分可以得到分离曲线f(x)的最终解的形式：

这里，

h表示一个积分常量，它可能有特殊的几何意义，也就是坍塌岩块的最高尺寸。

将方程（18）和方程（19）代入方程（12）中，可以得到：

这里，

并且利用方程（11）、（21）和（22），可以得到总损耗的具体形式：

在这里，L还是不知道。然而，由于它的几何意义，L无疑和h有关系，也和其他的亟待解决的力学参数有关系。

事实上，L表示曲线f(x)和平面y=0的交点的值，令表达式（19）等于0并且考虑结果为正值，可以得到：

将这个结果代入方程（23），有：

从纯粹的数学角度考虑，利用方程（25），仅有一对值（L，h）满足条件：

表示了可能坍塌机制。然而，为了成为实际物理问题的答案，这些值必须满足方程（1）和方程（2）中的应力分量必须满足破裂面上的平衡方程。这些方程式在局部坐标系（n,s）中可以写成：

这里n和s分别表示曲线y=f(x)的法线和切线方向（如图3所示）。然而cotf'(x)，

bbn，bs是体积力向量。 T

值得提醒的是，虽然方程（27）的第二个式子保证了沿曲线y=f(x)的切线方向的平衡，方程（27）的第一个式子保证了曲线y=f(x)的法线方向的平衡，但是在塑性区的厚度w方向，应力分布是未知的。

-sin的分然而，将方程（8）和（9）代入方程（1），并且利用单位法向量ncos，T

量，可以发现在曲线y=f(x)的切线方向的平衡总是满足的，即：

这里nnn。 xy

在另一方面，问题的对称性能很容易的用来满足在（x=0,y=-h）处的平衡条件。事实上，由于分离曲线y=f(x)被假定为关于Y轴对称，x=0的对称平面上的应力平衡要求在该面上不存在剪应力分量，也就是：

因此，利用应力分量之间的关系有：

并且考虑cotf'(x)，所以有：

T

结合QB(1B)11(1B)/B,从方程（30）可以得到：

将方程（32）代入方程（25），可以导出：

所以可以得到：

因此，破裂面的表达式可写成：

从而可以用计算机计算单元长度坍塌块的总自重P,表示成：