高斯定理的应用
简析高斯定理在电场中的应用
电通量、高斯定理、
(1)磁通量是指穿过某一截面的磁感应线的总条数,其大小为BSsin,其中为截面与磁感线的夹角。与此相似,电通量是指穿过某一截面的电场线的条数,其大小为ESsin,为截面与电场线的夹角。 高斯定量:在任意场源所激发的电场中,对任一闭合曲面的总通量可以表示为
4kqi
式中k是静电常量,为闭合曲面所围的所有电荷电量的代数和。由于高中缺少高等数学知识,因此选取的高斯面即闭合曲面,往往和电场线垂直或平行,这样便于电通量的计算。尽管高中教学对高斯定律不作要求,但笔者认为简单了解高斯定律的内容,并利用高斯定律推导几种特殊电场,这对掌握几种特殊电场的分布是很有帮助的。 (2)利用高斯定理求几种常见带电体的场强
①无限长均匀带电直线的电场 P
一无限长直线均匀带电,电荷线密度为,如图1-1-2(a)所示。
l考察点P到直线的距离为r。由于带电直线无限长且均匀带电,因此直线周围的电场在竖直方向分量为零,即径向分布,且关于直线对称。取以
长直线为主轴,半径为r,长为l的圆柱面为高斯面,如图1-1-2(b),上下表面与电场平行,侧面与电场垂直,因此电通量
40) 0
(
qi
k
1
8.851012C2/Nm为真空介电常数
E2rl4kqi4kl
2k
E
r
图1-1-2(a) 图1-1-2(b)
②无限大均匀带电平面的电场
根据无限大均匀带电平面的对称性,可以判定整个带电平面上的电荷产生的电场的场强与带电平面垂直并指向两侧,在离平面等距离的各点场强应相等。因此可作一柱形高斯面,使其侧面与带电平面垂直,两底分别与带电平面平行,并位于离带电平面等距离的两侧如图1-1-3由高斯定律:
2ES4kqi
4kS
E2k
式中为电荷的面密度,由公式可知,无限大均匀带电平面两侧是匀强电场。
平行板电容器可认为由两块无限带电均匀导体板构成,其间场强为E,则由场强叠加原理可知
Q
S
E
图1-1-3
③均匀带电球壳的场强
有一半径为R,电量为Q的均匀带电球壳,如图1-1-4。由于电荷分
布的对称性,故不难理解球壳内外电场的分布应具有球对称性,因此可在球壳内外取同心球面为高斯面。对高斯面1而言:
E4r24kqi0,E0
对高斯面2:
;
E4k
E4r24kqi4kQ,EokQrREr2 rR
kQ
r。
④球对称分布的带电球体的场强 推导方法同上,如图1-1-4, 对高斯面1,
图1-1-4
r3kQr
E4r4kqi4k3Q,E3
RR;
2
对高斯面2,
E4r24kqi4kQ,E
kQ
r2。
例2、如图所示,在-d≤x≤d的空间区域内(y,z方向无限延伸)均匀分布着密的正电荷,此外均为真空
kQrRE
kQrR
r rR
32
度为ρ
(1)试求≤d处的场强分布;
(2)若将一质量为m,电量为的带点质点,从x=d处由静止释放,试问该带电质点经过过多长时间第一次到达x=0处。
解: 根据给定区域电荷分布均匀且对称,在y、z方向无限伸展的特点,我们想象存在这样一个圆柱体,底面积为S,高为2x,左、右底面在x轴上的坐标分别是-x和x,如图1-1-8所示。可以判断圆柱体左、右底面处的场强必定相等,且方向分别是逆x轴方向和顺x轴方向。
再根据高斯定理,便可求出坐标为x处的电场强度。 E2S4kS2x(1)根据高斯定律。坐标为x处的场强:
x
图
1-1-5
E4kx(
与x轴反向。
x
≤d),x>0时,场强与x轴同向,x<0时,场强
(2)若将一质量为m、电量为q的带电质点置于此电场中,质点
x
所受的电场力为:FqE4kqx(≤d)
图1-1-8
显然质点所受的电场力总是与位移x成正比,且与位移方向相反,符合准弹性力的特点。质点在电场力的运动是简谐振动,振动的周期为
T2
m
4kq
mTTm
t
kq当质点从x=d处静止释放,第一次达到x=0处所用的时间为 44kq
三、高斯定理在电场中的应用
-82
[例题1]设一块均匀带正电无限大平面,电荷密度为=9.3×10C/m,放置在真空中,求空间任一点的场强.
解:根据电荷的分布情况,可作如下判断:(1)电荷均匀分布在均匀带电无限大平面上,我们知道孤立正的点电荷的电场是以电荷为中心,沿各个方向在空间向外的直线,因此空间任一点的场强只在与平面垂直向外的方向上(如果带负电荷,电场方向相反),其他方向上的电场相互抵消;(2)在平行于带电平面的某一平面上各点的场强相等;(3)带电面右半空间的场强与左半空间的场强,对带电平面是对称的.
为了计算右方一点A的场强,在左取它的对称点B,以AB为轴线作一圆柱,如图-3所示. 对圆柱表面用高斯定理,
eEdse侧面e两个底面
s
q
0
(1)
e侧0 (2)
e两个底面2ES (3)
圆柱内的电荷量为
把(2)、(3)、(4)代入(1)得
qS (4)
9.31083
=V/m=5.25×10 V/m E122028.8510
[例题2]设有一根无限长块均匀带正电直线,电荷线密度为=5.0×10C/m,放置在真空中,求空间距直线1m处任一点的场强.
解:根据电荷的分布情况,可作如下判断:(1)电荷均匀分布在无限长块均匀直线上,我们知道孤立正的点电荷的电场是以电荷为中心,沿各个方向在空间向外的直线,因此空间任一点的场强只在与直线垂直向外的方向上存在(如果带负电荷,电场方向相反),其他方向上的电场相互抵消;(2)以直线为轴线的圆柱面上各点的场强数值相等,方向垂直于柱面(如图-4).
根据场强的分布,我们以直线为轴作长为l,半径为r的圆柱体.把圆柱体的表面作为高斯面,对圆柱表面用高斯定理:
-9
eEdse侧面e两个底面
sq (1)
0
e侧S侧E2rlE (2) e两个底面0 (3)
圆柱内的电荷量为
把(2)、(3)、(4)代入(1)得
ql (4)
5.0109
E=V/m=89.96 V/m
20r23.148.8510121
[例题3]设有一半径为R的均匀带正电球面,电荷为q,放置在真空中,求空间任一点的场强.
解:由于电荷均匀分布在球面上,因此,空间任一点P的的场强具有对称性,方向由球心O到P的径矢方向(如果带负电荷,电场方向相反),在与带电球面同心的球面上各点E的大小相等.
根据场强的分布,我们取一半径为r且与带电球面同系同心的球面为为高斯面,如图-5所示.
图-5 若rR,高斯面S2在球壳内,对球面S2用高斯定理得 e因为球壳内无电荷,
EdsE
s
球内
4r
2
q
0
q0,所以E
球内
0
若rR,高斯面S1在球壳外,对球面S1用高斯定理得
qq,故有
4R2E
q
0
E
q40r
2
由此可知,均匀带电球面内的场强为零,球面外的场强与电荷集中在球心的点电荷所产生的场强相同. 四、高斯定理在电场中的一般应用步骤: (1) 判断电场的分布特点;
(2) 合理作出高斯面,使电场在其中对称分布; (3) 找出电场在高斯面内的垂直面积S; (4) 分析高斯面内的电荷量q; (5) 应用高斯定理求解(eEds
s
(s内)
q
0
).
我们知道,用电场的叠加原理也可以计算连续分布的电荷所产生的场强,但是高斯定理以其简单明了的步骤最终赢得读者的喜爱.
第四讲:高斯定理的应用
高斯定理的一个重要应用,是用来计算带电体周围电场的电场强度。实际上,只有在场强分布具有一定的对称性时,才能比较方便应用高斯定理求出场强。
步骤:
1.进行对称性分析,即由电荷分布的对称性,分析场强分布的对称性,判断能否用高斯定理来求电场强度的分布(常见的对称性有球对称性、轴对称性、面对称性等);
2.根据场强分布的特点,作适当的高斯面,要求:①待求场强的场点应在此高斯面上,②穿过该高斯面的电通量容易计算。一般地,高斯面各面元的法线矢量n与E平行或垂直,n与E平行时,E的大小要求处处相等,使得E能提到积分号外面;
3.计算电通量EdS和高斯面内所包围的电荷的代数和,最后由高斯定理求出场强。
应该指出,在某些情况下(对称),应用高斯定理是比较简单的,但一般情况下,以点电荷场强公式和叠加原理以相互补充,还有其它的方法,应根据具体情况选用。
利用高斯定理,可简洁地求得具有对称性的带电体场源(如球型、圆柱形、无限长和无限大平板型等)的空间场强分布。计算的关键在于选取合适的闭合曲面——高斯面。 例1. 均匀带电球壳的场强。
设有一半径为R、均匀带电为Q的薄球壳。求球壳内部和外部任意点的电场强度。
解:因为球壳很薄,其厚度可忽略不计,电荷Q近似认为均匀分布在球面上。由于电荷分布是球对称的,所以电场强度的分布也是球对称的。因此在电场强度的空间中任意点的电场强度的方向沿径矢,大小则依赖于从球心到场点的距离。即在同一球面上的各点的电场强度的大小是相等的。
2
以球心到场点的距离为半径作一球面,则通过此球面的电通量为 eEdSEdS4 rE
S
S
根据高斯定理,通过球面的电通量为球面内包围的电荷
e
q
0
当场点在球壳外时 qQ 电场强度为 E=
Q40r
2
当场点在球壳内时 q0电场强度为 E=0
例2. 均匀带电球体的场强。
设有一半径为R、均匀带电为Q的球体。求球体内部和外部任意点的电场强度。
解:由于电荷分布是球对称的,所以电场强度的分布也是球对称的。因此在电场强度的空间中任意点的电场强度的方向沿径矢,大小则依赖于从球心到场点的距离。即在同一球面上的各点的电场强度的大小是相等的。
以球心到场点的距离为半径作一球面,则通过此球面的电通量为
e
2
EdSEdS4 rE S
S
根据高斯定理,通过球面的电通量为球面内包围 e
的电荷
q
0
当场点在球体外时 qQ 电场强度为 E=
Q40r
2
当场点在球体内时 q
Q43
R3
43Qr3r3 3R
电场强度为 E=
Qr 3
40R
例3. 无限长均匀带电直线的场强。
设有一无限长均匀带电直线,单位长度上的电荷,即电荷线密度为λ,求距离直线为r处的电场强度。
解:由于带电直线无限长,且电荷均匀分布,所以电场的场强沿垂直于该直线的径矢方向,而且在距直线等距离的各点的场强的大小相等,即电场分布是柱对称的。以该直线为轴线作一圆柱面为高斯面,长为h,半径为r。由于场强与上下底面的法线垂直,所以通过圆柱的上下两个底面的电通量为零,而通过圆柱侧面的电场强度的通量为E2rh。又此高斯面所包围的电量为h,所以根据高斯定理有 E2rhh/0 由此可知,电场强度为 E
20r
例4. 无限长均匀带电平面的场强。
设有一无限长均匀带电平板,单位面积上的电荷,即电荷面密度为σ,求距离平板为r处的电场强度。
解:由于带电平板无限长,且电荷均匀分布,所以带电平板两侧电场的分布具有对称性,所以场强沿垂直于该平面,而且在距平面等距离的各点的场强的大小相等。作圆柱面为高斯面,此圆柱面穿过带电平面,且对带电平面是对称的。其侧面的法线方向与场强垂直,而通过圆柱侧面的电场强度的通量为零;由于场强与两个底面垂直,所以通过圆柱的两个底面的电通量为ES。又此高斯面所包围的电量为σS,所以根据高斯定理有 2ESS/0
由此可知,电场强度为E
20
即无限大均匀带电平面的场强与场点到平面的距离无关,而且场强的方向与带电平面垂直。无限大带电平面的电场是匀强电场。
例5. 两个带等量异号电荷的无限大平行平面的电场。 解:例4可知,在两平面之外,E=0在两平面之内,E
方向有带正电的平面指
20200
向带负电的平面。
1. 例题
※ P26例题2:已知半径为 R,带电量为 q 的均匀带电球面,求空间场强 分布。
解:由对称性分析知,E的分布为球对称,即离开球心距离为 r 处各点的场强大
小相等,方向沿各自的矢径方向。
以O 为球心,过P 点作半径为r 的闭合球面S(高斯面),各点处面积元dS的法线
E方向与该点处的方向相同,所以
S
S
S2
eEdSEdSEdSE4r2
140
qr2
由高斯定理:E4rq0,
E
因此得到:
rR
2
同理作高斯面S’ 有:E4r0 即E0rR
讨论
(1)当 q>0时,E的方向沿矢径向外,当 q<0 时,E的方向沿矢径由外指向球心O。 (2)E—r 曲线。
(3)内部场强处处为零;外部场强分布与将球面上电荷集中于球心的点电荷场强分布相同;场强分布在球面处不连续,产生突变。
(4)半径为R,均匀带电球体的场强分布。
P27例题3:求无限长均匀带电直线的空间电场分布。已知直线上线电荷密度为λ。
E解:由对称性分析,分布为轴对称性,即与带电直线距离相等的同轴圆柱面上各点场强大
小相等,方向均沿径向。
作过P点以带电直线为轴,半径为 r,高为 h 的圆柱形高斯面 S ,通过 S 的电通量为
eEdSEdSEdSEdS
SS侧面S上底S下底
EdScos00EdScos900EdScos900
S侧面
S上底
S下底
EdSE2rl
ql
高斯面S内所包围的电荷为
E
20r。 所以得:★ 讨论
,由高斯定理得:
E2rl
l
0
EE(1)当λ>0时,的方向沿矢径向外;当λ<0时,的方向沿矢径指向带电直线。
(2)E—r 曲线。
(3)半径为R 的无限长均匀带电圆柱面,沿轴线方向线电荷密度为λ,其场强分布为
E0E
rRrR
20r
※ P27例题4:求均匀带电无限大薄平板的空间场强分布,设电荷密度为σ。
解:无限大均匀带电薄平板可看成无限多根无限长均匀带电直线排列而成,由对称性分析,平板两侧离该板等距离处场强大小相等,方向均垂直平板。其一轴垂直带电平面,高为 2 r 的圆柱面为高斯面,通过它的电通量为:
eEdSEdSEdS
S
S侧面
S两底
2ES
S 内包围的电荷为:
q
由高斯定理:
2ES
内
S
S
E
0 所以得 20
当σ>0,E的方向垂直平板离开平板;
当σ
2. 总结:应用高斯定理解题的步骤
(1)根据电荷分布的对称性分析电场分布的对称性。 (2)在待求区域选取合适的封闭积分曲面(称为高斯面)。要求:
曲面必须通过待求场强的点,曲面要简单易计算面积; 面上或某部分曲面上各点的场强大小相等;
E且面上或某部分曲面上各点的法线与该处的方向一致或垂直或是成恒定角度,以便于计算。
(3)应用高斯定理求解出E的大小。
E(4)说明的方向。