二次函数与三角形压轴题精选

压轴题（二次函数）综合题【以三角形为主】精选

【例1】．（2013•抚顺）

如图1，已知直线y=x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线y=﹣x +bx+c经过A 、B 两点，与x 轴交于另一个点C ，对称轴与直线AB 交于点E ，抛物线顶点为D ． （1）求抛物线的解析式；

（2）在第三象限内，F 为抛物线上一点，以A 、E 、F 为顶点的三角形面积为3，求点F 的坐标；

（3）点P 从点D 出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t 秒，当t 为何值时，以P 、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t 值．

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【例2】．（2013•大连）

如图，抛物线y=﹣x +

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x ﹣4与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴相交于

点M ．P 是抛物线在x 轴上方的一个动点（点P 、M 、C 不在同一条直线上）．分别过点A 、B 作直线CP 的垂线，垂足分别为D 、E ，连接点MD 、ME ． （1）求点A ，B 的坐标（直接写出结果），并证明△MDE 是等腰三角形； （2）△MDE 能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P 的坐标；若不能，说明理由；

（3）若将“P 是抛物线在x 轴上方的一个动点（点P 、M 、C 不在同一条直线上）”改为“P 是抛物线在x 轴下方的一个动点”，其他条件不变，△MDE 能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P 的坐标（直接写出结果）；若不能，说明理由．

【例3】．（2013凉山州）

如图，抛物线y=ax﹣2ax+c（a ≠0）交x 轴于A 、B 两点，A 点坐标为（3，0），与y 轴交于点C （0，4），以OC 、OA 为边作矩形OADC 交抛物线于点G ． （1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴l 在边OA （不包括O 、A 两点）上平行移动，分别交x 轴于点E ，交CD 于点F ，交AC 于点M ，交抛物线于点P ，若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示PM 的长；

（3）在（2）的条件下，连结PC ，则在CD 上方的抛物线部分是否存在这样的点P ，使得以P 、C 、F 为顶点的三角形和△AEM 相似？若存在，求出此时m 的值，并直接判断△PCM 的形状；若不存在，请说明理由．

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【例4】．（2013•本溪）

如图，在平面直角坐标系中，点O 是原点，矩形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点C 在y 的正半轴上，点B 的坐标是（5，3），抛物线y=x +bx+c经过A 、C 两点，与x 轴的另一个交点是点D ，连接BD ． （1）求抛物线的解析式；

（2）点M 是抛物线对称轴上的一点，以M 、B 、D 为顶点的三角形的面积是6，求点M 的坐标；

（3）点P 从点D 出发，以每秒1个单位长度的速度沿D →B 匀速运动，同时点Q 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿B →A →D 匀速运动，当点P 到达点B 时，P 、Q 同时停止运动，设运动的时间为t 秒，当t 为何值时，以D 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？请直接写出所有符合条件的值．

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【例5】．（2013•衡阳）

如图，已知抛物线经过A （1，0），B （0，3）两点，对称轴是x=﹣1． （1）求抛物线对应的函数关系式；

（2）动点Q 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA 上运动，同时动点M 从M 从O 点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB 上运动，过点Q 作x 轴的垂线交线段AB 于点N ，交抛物线于点P ，设运动的时间为t 秒． ①当t 为何值时，四边形OMPQ 为矩形； ②△AON 能否为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．

【例6】．

已知函数y =kx -2x +（k 是常数）

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⑴若该函数的图像与x 轴只有一个交点，求k 的值；

⑵若点M (1, k )在某反比例函数的图像上，要使该反比例函数和二次函数y =kx -2x +都是y 随x 的增

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大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；

⑶设抛物线y =kx -2x +与x 轴交于A (x 1,0), B (x 2,0)两点，且x 1

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否存在点P ，使△ABP 是直角三角形？若存在，求出点P 及△ABP 的面积；若不存在，请说明理由。

【例7】．（2013•张家界）

如图，抛物线y=ax+bx+c（a ≠0）的图象过点C （0，1），顶点为Q （2，3），点D 在x 轴正半轴上，且OD=OC． （1）求直线CD 的解析式； （2）求抛物线的解析式；

（3）将直线CD 绕点C 逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E ，求证：△CEQ ∽△CDO ； （4）在（3）的条件下，若点P 是线段QE 上的动点，点F 是线段OD 上的动点，问：在P 点和F 点移动过程中，△PCF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

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【例8】．（2013•长春）

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx﹣2 与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （4，0）．点M 、N 在x 轴上，点N 在点M 右侧，MN=2．以MN 为直角边向上作等腰直角三角形CMN ，∠CMN=90°．设点M 的横坐标为m ．

（1）求这条抛物线所对应的函数关系式． （2）求点C 在这条抛物线上时m 的值．

（3）将线段CN 绕点N 逆时针旋转90°后，得到对应线段DN ． ①当点D 在这条抛物线的对称轴上时，求点D 的坐标． ②以DN 为直角边作等腰直角三角形DNE ，当点E 在这条抛物线的对称轴上时，直接写出所有符合条件的m 值．

（参考公式：抛物线y=ax+bx+c（a ≠0）的顶点坐标为（

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，））

【例9】．（2013•济南）

如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB ，O 为坐标原点，OA=1，tan ∠BAO=3，将此三角形绕原点O 逆时针旋转90°，得到△DOC ，抛物线y=ax+bx+c经过点A 、B 、C ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P 是第二象限内抛物线上的动点，其坐标为t ， ①设抛物线对称轴l 与x 轴交于一点E ，连接PE ，交CD 于F ，求出当△CEF 与△COD 相似点P 的坐标； ②是否存在一点P ，使△PCD 得面积最大？若存在，求出△PCD 的面积的最大值；若不存在，请说明理由．

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