高一函数的概念及其性质(含答案)
§1. 2.1函数的概念
一. 【知识要点】
1一、复习引入:
初中(传统)的函数的定义是什么?初中学过哪些函数?
设在一个变化过程中有两个变量x 和y ,如果对于x 的每一个值,y 都有唯一的值与它对应,那么就说x 是自变量,y 是x 的函数. 并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域,和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域. 这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.
问题1:y =1(x ∈R )是函数吗?
x
2
问题2:y =x 与y =观察对应:
求平方
B B x
是同一函数吗?
二、讲解新课:
(一)函数的有关概念
设A ,B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个x ,在集合B 中都有唯一确定的数f (x ) 和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的函数,记作
y =f (x ) , x ∈A
其中x 叫自变量,x 的取值范围A 叫做函数y =f (x ) 的定义域;与x 的值相对应的y 的值叫做函数值,函数值的集合{f (
x ) |x ∈A }
(⊆B )叫做函数y=f(x)的值域.
函数符号y =f (x ) 表示“y 是x 的函数”,有时简记作函数f (x ) . (1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应 f :A →B
这里 A, B 为非空的数集.
(2)A :定义域,原象的集合;{f (x ) |x ∈A }:值域,象的集合, 其中{f (x ) |x ∈A } ⊆ B ;f :对应法则 , x ∈A , y ∈B
(3)函数符号:y =f (x ) y 是 x 的函数,简记 f (x ) (二)已学函数的定义域和值域
1.一次函数f (x ) =ax +b (a ≠0) :定义域R, 值域R; 2.反比例函f (x ) =
k x
(k ≠0) :定义域{x |x ≠0}, 值域{x |x ≠0};
3.二次函数f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) :定义域R
22
⎧⎧4ac -b ⎫4ac -b ⎫⎨y |y ≥⎬⎨y |y ≤⎬
4a 4a ⎭;当a 0时,⎩
4求函数的定义域时,一般应考虑:
(1)偶次方根的被开方数不小于零; (2)分母不等于零;
(3)零的零次幂没有意义. (4)实际问题的背景所允许的取值范围.
2r ∈(0, +∞).
例如:S =π⋅r 表示圆的面积时,r 的取值范围应是
(三)函数的值:关于函数值 f (a )
例:f (x ) =x 2+3x+1 则 f(2)=22+3×2+1=11
注意:1︒在y =f (x ) 中f 2︒f (x ) 不一定是解析式,有时可能是“列表” 3︒f (x ) 与f (a ) (四)函数的三要素: 对应法则f 、定义域A 、值域{f (x ) |x ∈A } (五)了解区间的概念
①设a 、b 是两个实数,且a
{x|a≤x ≤b}=[a,b] 叫闭区间; {x|a
【典型例题】
例1 求下列函数的定义域: ① f (x ) =
1x -2
;② f (x ) =3x +2;③ f (x ) =x +1+
12-x
.
y =f (x ) ,而没有指明它的定义
域,那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x
解:①∵x-2=0,即x=2时,分式而x ≠2时,分式
1x -223
1x -2
无意义,
有意义,∴这个函数的定义域是{x |x ≠2}.
②∵3x+2
23
而3x +2≥0,即x ≥-时,根式3x +2才有意义,
23
∴这个函数的定义域是{x |x ≥-}.
12-x
③∵当x +1≥0且2-x ≠0,即x ≥-1且x ≠2时,根式x +1和分式∴这个函数的定义域是{x |x ≥-1且x ≠2} 另解:要使函数有意义,必须: ⎨
⎧x +1≥0⎩2-x ≠0
同时有意义,
⇒ ⎨
⎧x ≥-1⎩x ≠2
∴这个函数的定义域是: {x |x ≥-1且x ≠2}
强调:解题时要注意书写过程,注意紧扣函数定义域的含义. 由本例可知,求函数的定义域就是根据使函数式有意义的条件,布列自变量应满足的不等式或不等式组,解不等式或不等式组就得到所求的函数的定义域.
例2 已知函数f (x ) =3x 2-5x+2,求f(3), f(-解:f(3)=3×3-5×3+2=14; f(-2)=3×(-22
2), f(a+1).
2) 2-5×(-
2)+2=8+52;
f(a+1)=3(a+1)
-5(a+1)+2=3a2+a.
例3下列函数中哪个与函数y =x 是同一个函数?
⑴y =
(x )
2
;⑵y =
2
x ;⑶y =
3
x
2
解:⑴y =⑵y =
3
(x )
=x (x ≥0), y ≥0,定义域不同且值域不同,不是;
3
x =x (x ∈R ), y ∈R ,定义域值域都相同,是同一个函数;
⑶y =
x =|x |=⎨
2
⎧x , x ≥0⎩-x x
, y ≥0例4 下列各组中的两个函数是否为相同的函数?
①y 1=②y 1=
(x +3)(x -
5)
x +3x +
1
y 2=x -
(定义域不同)
x -1 y 2=
(x +1)(x
-1)
(定义域不同)
③f 1(x )
=(2x -5) 2 f 2(x ) =2x -5 (定义域、值域都不同)
例5.函数f (x ) 对一切实数x ,y 均有f (x +y ) -f (y ) =(x +2y +1) x 成立,且f (1)=0, (1)求f (0)的值;
解:(1)由已知等式f (x +y ) -f (y ) =(x +2y +1) x ,令x =1,y =0得f (1)-f (0)=2, 又∵f (1)=0,∴f (0)=-2.
例6. 下列图象不能表示函数的是_______.
(3)
小结:函数包括三个要素:定义域、值域和对应法则,其中对应法则是核心,当函数的定义域和对应法则确定后,值域也随之确定.
【课堂练习】
1、对于函数y =f (x ) ,以下说法正确的有 ( B )
①y 是x 的函数;②对于不同的x , y 的值也不同;③f (a ) 表示当x =a 时函数f (x ) 的值,是一个常量;④
f (x ) 一定可以用一个具体的式子表示出来。
A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、如下图可作为函数=f (x ) 的图像的是( D )
(D )
3
、若f (x ) =f (3)=___________ ( A )
A 、2 B 、4 C
、 D 、10 4、下列各组函数是同一函数的是 ( C )
①f (x ) =
2
与g (x ) =;②f (x ) =
x 与g (x ) =
2
2
;③f (x ) =x 0与g (x ) =
1x
;④
f (x ) =x -2x -1与g (t ) =t -2t -1。
A 、①② B 、①③ C 、③④ D 、①④ ⎧x +2 (x ≤-1) ⎪2
5、设f (x ) =⎨x (-1
⎪2x (x ≥2) ⎩
6. 给出下列的三组函数:
y =
① Y=|x−1 与
(x -1)
2
; ②y =1与y =x ; ③
y =
x -x x
2
与y =x -1;
其中表示同一个函数的是____________○_1_____ . 7求下列函数的定义域:
(1) y =
2-x x +2
; (2) y =
13x -2x -1
2
; (3) y =
3x 2x -
3-4x
;
11-
x -1
(1) y =(x -2)(x -3) ; (2) y =x -2⋅x +3; (3) y =
2
8. 已知f (x ) =x +1求 f (1) 、f (-1) 、f (a +1) 的值.
1.2.2函数的表示法
【重要知识点】
函数的表示方法
表示函数的方法,常用的有解析法、列表法和图象法三种.
⑴解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式. 例如,s=60t 2,A=πr 2,S=2πrl ,y=ax 2+bx+c(a≠0),y=值. 中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数. ⑵列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系.
例如,学生的身高 单位:厘米
x -2(x≥2) 等等都是用解析式表示函数关系的.
优点:一是简明、全面地概括了变量间的关系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数
数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表,银行里的利息表,列车时刻表等等都是用列表法来表示函数关系的. 公共汽车上的票价表
优点:不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. ⑶图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系.
例如,气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线,课本中我国人口出生率变化的曲线,工厂的生产图象,股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.
优点:能直观形象地表示出自变量的变化,相应的函数值变化的趋势,这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.
【典型例题】 例1
某种笔记本每个5元,买 x ∈{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y (元),试写出以x
为自变量的函数y 解:这个函数的定义域集合是{1,2,3,4},函数的解析式为 y=5x,x ∈{1,2,3,4}.
它的图象由4个孤立点A (1, 5) B (2, 10) C (3, 15) D (4, 20) 组成,如
例2 国内投寄信函(外埠),每封信函不超过20g 付邮资80分,超过20g 而不超过
40g 付邮资160分,依次类推,每封x g(0
160, x ∈(20, 40],⎪⎪
y =⎨240, x ∈(40, 60],
⎪320, x ∈(60, 80],⎪⎪⎩400, x ∈(80, 100].
这个函数的图象是5条线段(不包括左端点),都平行于x 轴,如图所示. x 例3 画出函数y=|x|=⎧⎨
x ≥0, x
⎩-x
的图象.
解:这个函数的图象是两条射线,分别是第一象限和第二象限的角平分线,如图所示
.
说明:①再次说明函数图象的多样性;
②从例4和例5看到,有些函数在它的定义域中,对于自变量x 的不同取值范围,对应法则不同,这样的函数通常称为分段函数. 注意分段函数是一个函数,而不是几个函数.
③注意:并不是每一个函数都能作出它的图象,如狄利克雷(Dirichlet )函⎧1,x 是有理数,
数D(x)=⎨, 我们就作不出它的图象.
⎩0,x 是无理数.
例4作出分段函数y =
x -1+x +2的图像
解:根据“零点分段法”去掉绝对值符号,即: x ≤-2⎧-(2x +1)
⎪
3 y =x -1+x +2=⎨ -21⎩
y
作出图像如下
例5求下列函数的解析式
(1) 已知f x =x 2+2x ;求f 2x+1 ; (2) 已知f −1 =x +2 求f x (3) 已知f x −2f x =3x +2 , 求 f x
1
x
【课堂练习】
1. 若f (x ) =2x -1,则f (x -1) =____2 −1_____________ 2. f (x +1) =2(x 2+x +1) , 则f (x ) =________________2X 2−2X +2
3. 某城市出租车按如下方法收费,起步价6元,可行3km ,3km 到10km 每走1km 加价1元,10km 后每走1km 加价0.8元,某人坐出租车走了12km ,他应交费________14.6_______元 4. 若f (x ) 满足f (x ) +2f (-x ) =2x +1,则f (x ) =__________________-2X+1/3 5. 若3f (x ) -f () =4x ,则f (x ) =____________________x 1
3X 2+12X
6 y =x +
2
1x
2
+9(x ≠0) ;
2
解:∵x ≠0,y =x +
1x
2
+9=(x -
1x
) +11,∴y ≥11.
2
2
另外,此题利用基本不等式解更简捷:y =x +7 y =
52x -4x +3
2
1x
2
+9≥2+9=11
∵2x 2-4x+3>0恒成立(为什么?) ,
∴函数的定义域为R , ∴原函数可化为2y x 2-4yx+3y-5=0,由判别式∆≥0, 即16y -4×2y(3y-5)=-8y +40y≥0(y≠0), 解得0≤y ≤5,又∵y ≠0, ∴0
注意:利用判别式法要考察两端点的值是否可以取到. 8 求函数的值域 ①y =x +
2-x ; ②y =2-
2
2
4x -x
2
解:①令u =
2-x ≥0, 则x =2-u 2,
2
原式可化为y =2-u +u =-(u -
2
12
) +
2
94
, ∵u ≥0,∴y ≤
94
,∴函数的值域是(-∞,
94
].
②解:令 t=4x-x ≥0 得 0≤x ≤4
在此区间内 (4x-x ) max =4 ,(4x-x ) min =0 ∴函数y =2-
2
2
4x -x
2
的值域是{ y| 0≤y ≤2}
【课后练习】
1. 设g (x +2) =2x +3,则g (x ) 等于 ( B )
(A ) 2x +1 (B ) 2x -1 (C ) 2x -3 (D ) 2x +7
⎛⎝
1⎫12
⎪=x +2,则f (x ) 的表达式为( B ) x ⎭x
2
2. 已知x ≠0,函数f (x ) 满足f x -
1⎫⎛22
(A ) f (x )=x + (B ) f (x ) =x +2 (C ) f (x ) =x (D ) f (x ) = x -⎪
x x ⎭⎝
1
3. 已知f (x ) =
1f (x )
x +1x -1
(x ≠±1) ,则f (-x ) =( A )
1f (x )
(A )
(B ) -f (x ) (C ) - (D ) -f (-x )
4. 下列图象中,能表示函数y =-x , x ∈[-1, 1]的图象是 ( B )
(A ) (B ) (C ) (D )
5. 在x 克a %的盐水中,加入y 克b %的盐水,浓度变成c %(a , b >0, 且a ≠b ) ,则x 与y 的函数关系式是 ( C )
(A ) y =(C ) y =
a -c b -c
c -a b -c
x (x >0) (B ) y =x (x >0) (D ) y =
b -c c -a c -b c -a
x (x >0) x (x >0)
1
6若f x 满足关系式f x +2 f X=3x ,则f 2 的值为( B )
A 1 B —1 C —3/2 D 3/2 7. 已知f (x ) =3x -1,f [g (x )]=2x +3,g (x ) 为x 的一次函数,求g (x )
8. 已知f (x +1) =x +2x ,求f (x ) ,f (x +1) ,f
(x )
2
附【函数值域的求法】
1.直接法:利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a≠0) 的定义域为R ,值域为R ; 反比例函数y =
k x
(k ≠0) 的定义域为{x|x≠0},值域为{y|y≠0};
二次函数f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) 的定义域为R ,
22
当a>0时,值域为{y |y ≥(4ac -b ) };当a
4a 4a
例1.求下列函数的值域
① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②f (x ) =2+③y =
x x +1
4-x
④y =x +
1
x
解:①∵-1≤x ≤1,∴-3≤3x ≤3,
∴-1≤3x+2≤5,即-1≤y ≤5,∴值域是[-1,5] ②∵4-x ∈[0, +∞) ∴f (x ) ∈[2, +∞) 即函数f (x ) =2+③y = ∵
1x +1
x x +1
=
4-x 的值域是 { y| y≥x +1-1x +1
=1-
1x +1
≠0 ∴y ≠1
即函数的值域是 { y| y∈R 且y ≠1}(此法亦称分离常数法④当x>0,∴y =x +
1x
=(x -
1x
) +2≥2,
2
当x
1-x
) =-(-x -
1-x
) -2≤-22
∴值域是(-∞, -2] [2,+∞). (此法也称为配方法) 函数y =x +
1x
的图像为:
2.二次函数比区间上的值域(最值) : 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域: ①y =x 2-4x +1; ②y =x 2-4x +1, x ∈[3, 4];
③y =x 2-4x +1, x ∈[0, 1]; ④y =x 2-4x +1, x ∈[0, 5];
解:∵y =x 2-4x +1=(x -2) 2-3,∴顶点为(2,-3),顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上,函数的定义域R ,
∴x=2时,ymin=-3 ,无最大值;函数的值域是{y|y≥-3 }. ②∵顶点横坐标2∉[3,4], 当x=3时,y= -2;x=4时,y=1;
∴在[3,4]上,y min =-2,y max =1;值域为[-2,1].
③∵顶点横坐标2∉ [0,1],当x=0时,y=1;x=1时,y=-2, ∴在[0,1]上,y min =-2,y max =1;值域为[-2,1].
④∵顶点横坐标2∈ [0,5],当x=0时,y=1;x=2时,y=-3, x=5时,y=6, ∴在[0,1]上,y min =-3,y max =6;值域为[-3,6]. 注:对于二次函数f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) , ⑴若定义域为R 时, ①当a>0时,则当x =-②当a
b 2a b 2a
时,其最小值y min =时,其最大值y max =
(4ac -b )
4a (4ac -b )
4a
2
2
; .
⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].
①若x 0∈[a,b],则f (x 0) 是函数的最小值(a>0)时或最大值(a
②若x 0∉[a,b],则[a,b]是在f (x ) 的单调区间内,只需比较f (a ), f (b ) 的大小即可决定函数的最大(小)值. 注:①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值;
②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 3.判别式法(△法):
判别式法一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式,解题中要注意二次项系数是否为0例3.求函数y =
x -5x +6x +x -6
2
2
的值域
方法一:去分母得 (y-1) x 2+(y+5)x-6y -6=0 ① 当 y ≠1时 ∵x ∈R ∴△=(y+5)2+4(y-1) ×6(y+1)≥0 由此得 (5y+1)2≥检验 y =-
15
-
15
+565
=2(代入①求根) )
时 x =-
2⋅(-
∵2 ∉ 定义域 { x| x≠2且 x ≠3} ∴y ≠-再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y ≠1 综上所述,函数y =
x -5x +6x +x -6
22
15
的值域为 { y| y≠1且 y ≠-
(x -2)(x -3) (x -2)(x +3)
x -3x +3
15
}
6x -3
方法二:把已知函数化为函数y = 由此可得 y ≠1
==1-
(x≠2)
∵ x=2时 y =-
2
15
即 y ≠-
15
15
∴函数y =
x -5x +6x +x -6
2
的值域为 { y| y≠1且 y ≠-说明:此法是利用方程思想来处理函数问题,一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式. 解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.
4.换元法
例4.求函数y =2x +4-x 的值域 解:设 t =
-x 则 t ≥0 x=1-t 2
2
2
2
代入得 y =f (t ) =2⋅(1-t ) +4t =-2t +4t +2=-2(t -1) +4
∵t ≥0 ∴y ≤4 5.分段函数
例5.求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
⎧-2x +1(x
解法1:将函数化为分段函数形式:y =⎨3(-1≤x
⎪2x -1(x ≥2) ⎩
画出它的图
象(下图),由图象可知,函数的值域是{y|y≥3}.
解法2:∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x 到两定点-1,2的距离之和,∴易见y 的最小值是3,∴函数的值域是[3,+∞]. 如图
两法均采用“数形结合”,利用几何性质求解,称为几何法或图象法.
说明:以上是求函数值域常用的一些方法(观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等),随着知识的不断学习和经验的不断积累,还有如不等式法、三角代换法等. 有的题可以用多种方法求解,有的题用某种方法求解比较简捷,同学们要通过不断实践,熟悉和掌握各种解法,并在解题中尽量采用简捷解法.
1.3.1函数的单调性与最大(小)值
【知识要点】
⒈ 增函数与减函数
定义:对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1, x 2 ⑴若当x 1f(x 2), 则说f(x) 在这个区间上是减函数.
说明:函数是增函数还是减函数,是对定义域内某个区间而言的. 有的函数在一些区间上是增函数,而在另一些区间上不是增函数. 例如函数y=x 2(图1),当x ∈[0,+∞) 时是增函数,当x ∈(-∞,0) 时是减函数.
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间. 此时也说函数是这一区间上的单调函数. 在单调区间上,增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的.
2. 函数的最大(小)值
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I ,如果存在实数M 满足: (1) 对于任意的x ∈I ,都有f( x)≤M (f( x)≥M ) (2) 存在x 0∈I ,使得f( x0)=M
那么我们称M 是函数y=f(x)的最大值 (最小值)
3.复合函数单调性的判断
对于函数y =f (u ) 和u =g (x ) ,如果u =g (x ) 在区间(a , b ) 上是具有单调性,当x ∈(a , b ) 时,
u ∈(m , n ) ,且y =f (u ) 在区间(m , n ) 上也具有单调性,则复合函数y =f (g (x )) 在区间(a , b ) 具有单调性
的规律见下表:
以上规律还可总结为:“同向得增,异向得减”或“同增异减”.
【典型例题】:
例1 如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y =f (x ) 的图象,根据图象说出y =f (x ) 的单调区间,及在每
一单调区间上,y =f (x ) 是增函数还是减函数。
解:函数y =f (x ) 的单调区间有[-5, -2), [-2, 1), [1, 3), [3, 5], 其中y =f (x ) 在区间[-5, 2),
[1, 3)上是减函数,在区间[-2, 1), [3, 5]上是增函数。
例2 证明函数f (x ) =3x +2在R 上是增函数。
证明:设x 1, x 2是R 上的任意两个实数,且x 1
∆x =x 1-x 2
所以,f (x ) =3x +2在R 上是增函数。
例3.证明函数f (x ) =
1x
在(0, +∞) 上是减函数。
证明:设x 1, x 2是(0, +∞) 上的任意两个实数,且x 1
1x 1
-1x 2
=x 2-x 1x 1x 2
由x 1, x 2∈(0, +∞) ,得x 1x 2>0,且x 2-x 1=-∆x >0 于是∆y >0 所以,f (x ) =
1x
在(0, +∞) 上是减函数。
归纳总结:利用定义证明函数单调性的步骤:
(1) 取值 (2) 计算∆x 、∆y (3) 对比符号 (4) 结论
例4.函数f(x)=ax 2-(3a-1)x +a 2在[-1,+∞]上是增函数,求实数a 的取值范围. 解 当a =0时,f(x)=x 在区间[1,+∞) 上是增函数.
当a ≠0时,对称轴x =
3a -12a
,
⎧a >0 ⎪
若a >0时,由⎨3a -1得0<a ≤1.
≤1,⎪
⎩2a
若a <0时,无解. ∴a 的取值范围是0≤a ≤1.
例5、设函数f (x ) 为R 上的增函数,令F (x ) =f (x ) -f (2-x )
(1)、求证:F (x ) 在R 上为增函数 (2)、若F (x 1) +F (x 2) >0,求证x 1+x 2>2
5.(1)任取x 1, x 2∈R 且x 12-x 2, f (x ) 在R 上是增函数,
∴f (x 1) f (2-x 2), ∴f (x 1) -f (x 2) 0,
∴F (x 2) -F (x 1) =f (x 2) -f (2-x 2) -f (x 1) +f (2-x 1) =f (x 2) -f (x 1) +f (2-x 2) -f (2-x 1) >0即F (x 1) >f (2-x 1) -f (x 2) =f (2-x 2) ∴F (x 1) >f (2-x 2)
F (x ) 是增函数, ∴x 1>2-x 2, ∴x 1+x 2>2.
【课堂练习】
一、 选择题
1、下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是 ( B ) A. y =-3x +1 B. y =2、函数y =
2
x C.y =x -4x +3 D.y =
2
4x
x +2x -3的单调减区间是 ( A )
A. (-∞, -3] B.[-1, +∞) C.(-∞, -1] D.[1, +∞) 二、填空题:
3、函数f (x ) =3x -6x +1,x ∈(3, 4) 上的单调性是____________________.递增
2
4、已知函数y =8x +ax +5在[1, +∞) 上递增,那么a 的取值范围是________.a ≥-16
2
5.函数y =(x -1) -2的减区间是___ _.(1,+∞) 6.函数y =x -2-x +2的值域为___.≤3 7 .函数y= x +1 − 2−x 的最大值是__________________3 8 .函数f(x)=x 4+x 2−1 的最小值是______________________-1
9 .函数y=x 2+bx +c (x∈ 0, +∞ ) 是单调函数 则b 的取值范围是______________≥0 10. 函数y= 1−x(1−x) 的最大值_______________4/3
1
【课后练习】
一、选择题:
1.在区间(0,+∞) 上不是增函数的函数是
A .y =2x +1
B .y =3x 2+1
C .y =
2x
( C )
D .y =2x 2+x +1
2.函数f (x )=4x 2-mx +5在区间[-2,+∞]上是增函数,在区间(-∞,-2) 上是减函数, 则f (1)等于( D ) A .-7 B .1
A .(3,8)
ax +1x +2
12
C .17 C .(-2,3)
D .25 D .(0,5)
( B )
3.函数f (x ) 在区间(-2,3) 上是增函数,则y =f (x +5) 的递增区间是 ( B )
B .(-7,-2)
4.函数f (x )=
A .(0,
在区间(-2,+∞) 上单调递增,则实数a 的取值范围是
B .(
12
) ,+∞) C .(-2,+∞) D .(-∞,-1) ∪(1,+∞)
5.已知函数f (x ) 在区间[a ,b ]上单调,且f (a ) f (b ) <0,则方程f (x )=0在区间[a ,b ]内( D )
A .至少有一实根 B .至多有一实根 C .没有实根 D .必有唯一的实根
( C )
D [0, +∞), [1, +∞)
6.函数f (x ) =|x |和g (x ) =x (2-x ) 的递增区间依次是
A .(-∞, 0],(-∞, 1]
B .(-∞, 0],[1, +∞)
C .[0, +∞), (-∞, 1]
7.已知函数f (x )=x 2+2(a -1x )+2在区间(-∞, 4]上是减函数,则实数a 的取值范围是( A )
A .a ≤3
B .a ≥-3
C .a ≤5
D .a ≥3
8.已知f (x ) 在区间(-∞,+∞) 上是增函数,a 、b ∈R 且a +b ≤0,则下列不等式中正确的是( B ) A .f (a ) +f (b ) ≤-f (a ) +f (b ) ] B .f (a ) +f (b ) ≤f (-a ) +f (-b ) C .f (a ) +f (b ) ≥-f (a ) +f (b ) ] D .f (a ) +f (b ) ≥f (-a ) +f (-b ) 9.定义在R 上的函数y =f (x ) 在(-∞,2) 上是增函数,且y =f (x +2) 图象的对称轴是x =0,则 A .f (-1) <f (3) B .f (0)>f (3) C .f (-1)=f (-3) D .f (2)<f (3)
( B )
2
10. f (x ) =4x -mx +1,当x ≥-2时递增 ,当x ≤-2时递减,则f (1) 的值等于( C )
A. 13 B. 1 C. 21 D. -3 11. 若奇函数y =f (x ) (x ∈R ) 的图象过点(a , f (a )) ,则必过点( D )
A. (a , f (-a )) B. (-a , f (a )) C. (-a , -f (-a )) D. (-a , -f (a )) 12. 函数y =
1-k x
(k ≠1) 在(-∞, 0) ,(0, +∞) 上都是增函数,则k 的取值范围( D )
A. (-∞, 1) (1, +∞) B. (-∞, 0) C. (-∞, 1) D. (1, +∞) 13. f (x ) 在(-4, 7) 上是增函数,则y =f (x -3) 的增区间是( B )
A. (-2, 3) B. (-1. 10) C. (-1, 7) D. (-4, 10)
1.3.2函数的奇偶性
【知识要点】
1函数奇偶性的几个性质:
(1)奇偶函数的定义域关于原点对称;
(2)奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个x 都必须成立; (3)f (-x ) =f (x ) ⇔f (x ) 是偶函数,f (-x ) =-f (x ) ⇔f (x ) 是奇函数;
f (x ) f (-x )
(4)f (-x ) =f (x ) ⇔f (x ) -f (-x ) =0, f (-x ) =-f (x ) ⇔f (x ) +f (-x ) =0; (5)奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y 轴对称;
=±1
(6)根据奇偶性可将函数分为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 (7)设f (x ) ,g (x ) 的定义域分别是D 1, D 2,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇⨯奇=偶 偶+偶=偶,偶⨯偶=偶,奇⨯偶=奇. 2函数奇偶性证明的步骤:
(1)考察函数的定义域是否关于“0”对称;
(2)计算f (-x ) 的解析式,并考察其与f (x ) 的解析式的关系 ; (3)下结论 .
【典型例题】
例1、判断下列函数的奇偶性
3
(1)。f (x ) =x +x (2)。f (x ) =(x -1)
x +1x -1
3
(3)。f x = x +
3
. 解:(1)、函数的定义域为R ,f (-x ) =(-x ) +(-x ) =-x -x =-f (x ) 所以f (x ) 为奇函数 (2)、函数的定义域为{x |x >1或x ≤-1},定义域关于原点不对称,所以f (x ) 为非奇非偶函数 (3)、函数的定义域为{-2,2},f (-x ) =0=f (x ) =-f (x ) , 所以函数f (x ) 既是奇函数又是偶函数 例2、 已知f (x ) =x +ax +bx +8,f (-2) =10求f (2) 。
评析:判断函数的奇偶性时先要判断的定义域是否关于原点对称,然后用定义来判断。
解:设g (x ) =x +ax
5
3
53
+bx , 则f (x ) =g (x ) +8, g (x ) 是奇函数
2. f (x ) =g (x ) +8, ∴f (-2) =g (-2) +8=10, ∴g (-2) =2,
g (2) =-g (-2) =-2, ∴f (2) =g (2) +8=-2+8=6.
评析:挖掘f (x ) 隐含条件,构造奇函数g (x ) ,从整体着手,利用奇函数的性质解决问题. .
例3:已知函数y =f (x ) 是定义域为R 的奇函数,求f (0)的值.
【解】
∵y =f (x ) 是定义域为R 的奇函数,∴f (-x ) =-f (x ) 对任意实数x 都成立,
把x =0代入f (-x ) =-f (x ) 得 f (0)=-f (0), ∴f (0)=0. 例4已知f (x ) 是定义在R 上的奇函数,且当x>0时f (x )=x 2+x +1 , 求f (x ) 的解析式
例5.已知函数f (x ) 对一切x , y ∈R ,都有f (x +y ) =f (x ) +f (y ) ,
(1)求证:f (x ) 是奇函数;(2)若f (-3) =a ,用a 表示f (12). 解:(1)显然f (x ) 的定义域是R ,它关于原点对称.在f (x +y ) =f (x ) +f (y ) 中,
令y =-x ,得f (0)=f (x ) +f (-x ) ,令x =y =0,得f (0)=f (0)+f (0),∴f (0)=0, ∴f (x ) +f (-x ) =0,即f (-x ) =-f (x ) , ∴f (x ) 是奇函数. (2)由f (-3) =a ,f (x +y ) =f (x ) +f (y ) 及f (x ) 是奇函数, 得f (12)=2f (6)=4f (3)=-4f (-3) =-4a .
【课堂练习】
1.下列函数中是偶函数的为 ( D )
A .f (x ) = x |x |(x ∈(-1,1]) B .f (x ) = C .f (x ) = lg
1+x 1-x
2
1x +x
2
2x
D .f (x ) = ⎨
2
⎧x ,x ≥0
⎩-x ,x <0
2.给出下列四个函数:①f (x )=1-x ;②f (x )= -3x +1;③f (x )=
;④f (x )=
x -x
2
x -1
.
其中既是奇函数又是定义域上的减函数的函数个数是 ( B ) A .0 B .1 C .2 D .3
x -1-a -x
2
3、已知函数f (x ) =是奇函数,则实数a 的值为 ( B )
12
A .-1 B .1 C .-
12
D .
4、f (x ) 是定义域为R 的奇函数,方程f (x ) =0的解集为M ,且M 中有有限个元素,则M
( C )
A .可能是∅ B .中元素个数是偶数
C .中元素个数是奇数 D .中元素个数可以是偶数,也可以是奇数
5、已知y= f(x ) 是偶函数,且图像与x 轴有四个交点,则方程f (x )=0的 所有实根之和是( D )
A 4 B 3 C 2 D 0
6、对于定义域为R 的偶函数,下列不等式恒成立的是 ( B ) A .f (x )+f (-x ) >0 B .f (x ) -f (-x ) =0 C .f (x ) f (-x ) >0 D .f (x ) f (-x ) ≤0
2
7、函数f (x ) 的图象关于原点对称,且当x ≥0时,f (x )=x -2x ,则当x ∈R 时,函数f (x ) 的表达式为 ( ) A . x (x -2) B .x (|x |-2) C .|x |(x -2) D .|x | (|x |-2) 8.
给定四个函数y =x +
3
y =
1x
(x >0) ;y =x +1;y =
3
x +1x
2
;其中是奇函数的个数是(B)
(A ) 1个 (B ) 2个 (C ) 3个 (D ) 4个
9、函数y=-|x | ( B )
A 是奇函数 B 是偶函数 C 既是奇函数又是偶函数 D 既不奇函数又不偶函数
10、如果奇函数f (x ) 在区间 3,7 上是增函数且最小值为5 ,那么f (x ) 在区间 −7, −3 上是( B ) A 、增函数且最小值为-5 B 增函数且最大值为-5
C 、减函数且最小值为-5 D 减函数且最大值为-5
11、已知f (x )= ax 4+bx 2+2x -8,且f (-1)=10,则f (1)= 14 . 12、若函数y=(x+1) (x-a)为偶函数,则a=__________________1 13.判断下列各函数的奇偶性
(1) f ( x )= + ( 2 ) f( x ) = +
( 3 ) f( x )= x+2 −2
( 4 ) f (x ) =(x -
14、已知定义在(-∞,+∞)上的函数f (x ) 的图像关于原点对称,且当x >0时,f (x )= x 2-2x +2,求函数f (x ) 的解析式.