计及环境特征的刚-柔机械臂动力学建模方法与理论研究
第 卷第 期 年 月
机器人 ×
∂ ≥
文章编号 2 2 2
计及环境特征的刚) 柔机械臂动力学建模方法与理论研究
今天 王树新 郭福新 曹毅
天津大学机械学院 天津 北京大唐发电股份有限公司陡河发电厂 河北唐山
Ξ
摘 要 基于 并利用假设模 方程推导建立了在惯性参考坐标系中的刚) 柔机械臂的非线性动力学模型 在对刚) 柔机械臂进行主动柔顺控制时 柔性机械臂要受到未确知外部环境的约束 本态的方法对方程进行离散
文建立了计及环境特征的一般柔性多体系统动力学模型以及计及环境特征的刚) 柔机械臂动力学模型
关键词 刚) 柔机械臂 环境特征 约束 动力学方程中图分类号 ×° 文献标识码
ΣτυδψοντηεΔψναμιχσΜοδελινγΜετηοδανδΤηεορψοφΡιγιδ2φλεξιβλε
ΑρμινΧονσιδερατιονοφΕνϖιρονμενταλΧηαραχτεριστιχσ
≠ 2 • ≥ ∏2¬ ƒ∏2¬ ≤ ≠
( . ΔεπαρτμεντοφΜεχηανιχαλΕνγινεερινγ, ΤιανϕινΥνιϖερσιτψ, Τιανϕιν , Χηινα; . ΔουηεΠοωερΠλαντοφΒειϕινγΔατανγΠοωερΓενερατιονΧο.Λτδ, Τανγσηαν , Χηινα)
τραχτ: π 2 ¬ 2 Αβσ ∏ √ 2 ƒ ¬ ∏ 2 √ ¬ ¬ ∏ 2 ∏ ∏ 2 ¬ ¬ ∏ 2
Κεψωορδσ: 2 ¬ √
1 引言(Ιντροδυχτιον)
柔性机械臂作为柔性多体系统动力学分析与控制理论研究最直接的应用对象 由于其具有简明的物理模型以及易于实现计算机和实物模型试验的特点 已成为发展新一代机器人和航空航天技术的关键性课题 与刚性机械臂相比 柔性机械臂具有可实现高速操作! 负载自重比较高! 能耗较低和生产成本较低以及工作空间更大等优点 但是由于柔性机械臂具有弹性变形 因此柔性机械臂是一个非常复杂的动力学系统 其动力学方程具有高度非线性! 强耦合以及时变等特点 这些新问题的挑战 有力地激发了包括力学! 机械! 自动控制! 计算机技术等多个学科在内的大批科研工作者的热情 并已发展成为目前十分活跃的研究领域
前期柔性机械臂研究更多的是考虑如何消除或
者主动控制由于高速轻质结构而产生的振动 而如何主动利用柔性机械臂的结构柔性是最新研究的方向 特别是在未确知环境下利用结构柔性实现柔顺运动控制是很有前景的 而进行主动柔顺控制研究 应首先考虑建立动力学方程 它的动力学模型是进行系统运动以及振动控制系统分析与设计的基础 本文针对刚) 柔机械臂系统 研究其在未确知环境下的动力学模型
2 刚) 柔机械臂动力学模型(Δψναμιχσ
μοδελοφτηεριγιδ2φλεξιβλεαρμσ)
2.1 刚) 柔机械臂系统分析
图 所示为刚) 柔双杆系统( . 刚性, . 柔性) .
与惯性系Ρ之间(Ρ即ΟΞΨ), 与 之间均以铰
链相联接, 整个系统在ΟΞΨ面内运动.
Ξ基金项目 国家自然科学基金资助项目 ∞ 中法合作基金资助项目 ° ∞°
收稿日期
第 卷第 期今天等 计及环境特征的刚) 柔机械臂动力学建模方法与理论研究
图 刚一柔机械臂系统图
ƒ × 2 ¬
刚性杆 的运动可通过其转角Η (τ)描述. 柔性
杆 的运动由两部分组成:
) 大范围刚体运动(即其体坐标系Β的运动) ; ) 在坐标系Β内的小变形弹性运动.
在进行系统的动力学分析时, 对柔性杆做如下假设:
) 材料是各向同性的;
) 轴向振动远小于其横向振动; ) 横向振动为小变形;
) 柔性杆 产生小变形时, 其中性轴不可伸缩. 2. 2 刚) 柔机械臂运动学分析
由∞∏ 2 ∏ 梁理论, 柔性杆 的横向小变形可表达为如下的形式:
υ(ξ, τ)=
5ι(ξ)θι(τ)
( )
ιΕ
]
=
式中5ι(ξ)为柔性杆的第 阶振型函数, θι(τ)
为与之相对应的模态坐标. 在对系统进行动力学分
析时, 一般取前ν阶模态, 即有:
υ(ξ, τ)=
ιΕ
ν
5ι(ξ)θι(τ)( )
=
柔性杆 没产生变形时, 其上任一点π经变形后移至π3点, 则由假设条件 ) 知, 变形前线段οπ与
变形后的弧段οπ3的长度相等, 即:
3
ξ=
Θ
ξ
+
5δΔ( )
由小变形假设, 式( ) 变为:
ξΘ
ξ
3
=
+ 5υ(Δ, τ) 5δΔ=ξ
3
+ξ
3
5δΔ
( )
仍应用小变形假设, 则式( ) 中的ξ3可表达为
如下的显式形式:
ξ3=ξ−
ξ
Δ
5δΔ
( )
将式( ) 代入式( ) 得:
ξ3=ξ−
Ηιϕθιθϕ
(ι, ϕ= , , , , Ν)
( )
式中:
Ηιϕ=
Θ
ξ
5555
5Δ. 5Δ
δΔ( )
式( ) 中采用了求和惯例, 即对重复序号ι, ϕ求和. 由此, 可写出柔性杆 上任意点π3(变形后)
的位置矢量:
ρπ3 ξ3β υβ β
ν
ξ Ηιϕθιθβ
ι Ε
5ιθιβ
( )
式中β ! β ! β
分别为柔性杆 的体坐标系Β沿 个坐标轴的单位矢量.
柔性杆 上任意点π3在惯性系中的速度为:
ςπ
3
=
Ρ
ς
ο
+ Βρ3
τ
+ΡΞΒ
≅ρπ3
( )
式中Ρςο 为体坐标系的原点ο 在参考系Ρ中
的速度, ΡΞΒ
为体坐标系Β在惯性系中的速度.
显然
Ρ
ςο =(λ Η.
.
Η ) β +(λ Η Η ) β
( )
Ρ
ΞΒ.
=(Η +Η.
) β
( )
将式( ) ! ( ) ! ( ) 代入式( ) 得:ςπ
3
=
(λ.
.
Η Η ) β
+(λ Η Η ) β +(−Ηιϕ
¾θιθϕ) β
) β.
.
+(5ι¾θι +[−(Η +Η ) 5ιθι]β
. .
+
(Η +Η ) ξ−
Ηιϕθιθβ
.
.
.
=[λ Η Η −(Η +Η ) 5ιθι−Ηιϕ
¾θιθϕ]β
. . .
+[λ Η Η +5ιθ¾ι+ξ(Η +Η )
−
(Η. . +Η ) Ηιϕθιθϕ]β ( )
关节 角速度Ξ 在联体坐标系中的投影为:
Ξ =Η.
β
( )
刚性机械臂的质心角速度在联体坐标系中的投
影为:
Ξ.
γ=Ξ =Η β
( )
关节 角速度Ξ 在联体坐标系中的投影为:
Ξ =(Η.
.
+Η ) β
( )
在关节 处如果是利用电机驱动, 电机质量为μ ρ, 刚性机械臂对其有牵连速度ς ρ, 则其在联体
坐标系中的投影为:
ς ρ
=λ.
Η β
( )
机 器 人
年 月
选取广义速率为:Η.
.
! Η ! θι, ι , , , , Ν, 则相
应的偏速度! 偏角速度分别为
:
2. 3 刚) 柔机械臂系统动力学方程
对刚) 柔机械臂, 应用 方法建立其动力学方程:
Φ3
.
.
.
ρ+Φρ= (ρ=Η , Η , θι)
( )
式中, Φ3
ρ
和Φρ分别为刚) 柔机械臂系统的广义惯性力和广义主动力.
2. 3. 1 计算广义惯性力
) 关节 的角加速度为:
Α. .
=Η β
( )
所以, 关节 的惯性广义力为:
.
(Φ. 3
. .
Η ) =−Ι ρΑ Ξ Η
=−Ι ρΗ
( ) .
(ΦΗ3.
) =−Ι ρΑ ΞΗ
= ( ) (
Φ3.
θ.
) =−
Ι ρΑ Ξθ
ι
=
( )
式中, Ι ρ为关节 (电机转子) 的转动惯量.
) 刚性机械臂质心的角加速度为:
Α. .
γ=Η β
( )
刚性机械臂质心转动惯量为:
Ιγ=
Θ Α λ
( )
式中, Θ 为刚性机械臂密度, Α 为横截面积, λ
为杆长.
所以刚性机械臂的广义惯性力为:
(ΦΗ. 3
) γ=−ΙγΑγΞΗ.
. .
γ
=− Θ
Α λ
Η
( ) .
(ΦΗ. 3 ) γ=−ΙγΑγΞΗγ = ( ) (Φ3.
θ.
) γ=−ΙγΑγΞθγι= ( )
) 关节 有质量μ ρ的关节, 因此其质心的加
速度为:
αλ. Η.
.
ρ=
β
−λ (Η ) β
( )
角加速度为:
α. . . .
=(Η +Η ) β
( )
关节 的广义惯性力为:
.
.
(ΦΗ. 3
Η
Η
) μ ρα ρς ρ Ι ρΑ Ξ
μ. . . .
ρλ . .
Η
Ι ρ(Η Η )
( )
(ΦΗ. 3.
.
) μ ρα ρςΗ ρ Ι ρΑ ΞΗ Ι. . . .
ρ(Η Η )
( ) (Φ3θ.
θ.
θ. ) μ ρα ρς ιρ Ι ρΑ Ξ ιι
( )
式中, Ι ρ是关节 (电机转子) 的转动惯量.
) 柔性机械臂上任一点Π3的加速度为:
α. .
.
.
. .
. .
π3 {[λ Η Η λ Η Η Η (Η Η ) 5ιθι
(Η.
Η.
.
) 5ιθ¾ι Ηιϕ¾θι¾θϕ Ηιϕ&θιθϕ] [λ Η Η
5ι¾θι
ξ(Η.
.
Η )
. . . .
(Η
Η ) Ηιϕθιθϕ](Η Η )}β {[λ. . .
.
ξ(. Η.
.
Η Η λ Η Η Η 5ι&θι Η )
(. Η.
. Η. Η. .
) ιϕθιθϕ (Η Η ) Ηιϕ
¾θιθϕ] [λ. Η Η (Η. .
Η ) 5ιθι
Η. .
ιϕ¾θιθϕ](Η Η ) }β
( ) 柔性机械臂微元Θ Α δξ的惯性力为:
δφ3=−Θ Α δξαπ
3
( )
所以, 柔性机械臂的广义惯性力为:(Φλ
3
ςΗ.
. .
Η. 3
)
Θ
φ
π 3
Θ
λ
Θ
Α {[λ Η Η λ.
.
Η Η Η
(Η. .
. .
.
.
Η ) 5ιθι (Η Η ) 5ιθ¾
ι Ηιϕ¾θι¾θϕ Ηιϕ&θιθϕ] [λ. . . Η Η 5ιθ¾ι ξ(Η Η )
(Η.
.
Η ) Ηιϕ
θιθϕ]
(Η.
. Η )}(λ Η 5ιθι) ξ
Θ
λ
Α {[λ Η..
Θ
Η λ.
.
. .
. .
. .
Η Η Η 5ιθ&ι ξ(Η Η )
(. Η.
Η ) Ηιϕ
θιθϕ
(Η. . . . .
Η ) Ηιϕ¾θιθϕ] [λ Η Η (Η Η ) 5ιθι Η.
ιϕ¾θιθϕ](Η Η.
)}λ Η ξ
Ηιϕθιθϕ
ξ( )
(Φ. . Η. 3
)
Θ
λ
φ
3
ςπΗ.
3
Θ
λ
Θ
Α {[λ Η Η. λ Η Η.
Η
第 卷第 期
今天等 计及环境特征的刚) 柔机械臂动力学建模方法与理论研究
. .
. .
.
.
(Η Η ) 5ιθι (Η Η ) 5ι¾θι Ηιϕ¾θι¾θϕ Ηιϕ&θιθϕ] [λ. . . Η Η 5ι¾θι ξ(Η Η ) (Η.
Η.
) Ηιϕθιθϕ
]# (Η. .
Η )}( 5. .
ιθι) ξ
Θ
λ
Θ
Α {[λ Η Η λ.
Η.
Η 5. . . .
ι&θι ξ(Η Η ) . .
. .
Η
(Η Η ) Ηιϕ
θιθϕ
(Η. . Η.
. .
Η ) ιϕ¾θιθϕ] [λ Η Η (Η Η ) 5ιθι
Η. .
ιϕ¾θιθϕ(Η Η )]}ξ Ηιϕθιθ ξ( ) (Φ3λ
.
θ. 3ι
) Θ
φςθπι3
Θ
λ
. .
Θ
Α {[λ Η Η . .
Η Η Η
(Η. .
. .
.
.
Η ) 5ιθι (Η Η ) 5ιθ¾ι Ηιϕ¾θι¾θϕ Ηιϕ&θιθϕ] [λ.
.
.
Η Η 5ιθ¾ι ξ(Η Η )
(Η.
Η. . .
) Ηιϕθιθϕ](Η Η )}( Ηιϕθϕ) ξ
Θ
λ
. . . . . . . .
Θ
Α {[λ Η Η λ Η Η Η 5ιθ&ι ξ(Η Η )
(. Η.
. Η.
. . .
) Ηιϕθιθϕ (Η Η ) Ηιϕ¾θιθϕ] [λ Η Η
(Η.
. . .
Η ) 5ιθι Ηιϕ¾θιθϕ](Η Η )}5ι ξ( )
2. 3. 2 计算广义主动力
) 对应内力的广义主动力:
(Φ¾θι) Ι=−Κιϕθϕ
( )
式中, Κιϕ为柔性机械臂的模态刚度阵.
若采用柔性梁的横向振动主振型, 则主振型序
列具有正交性, 即:
Κλ
ιϕ=
Θ
δδ
ΕΙ5ι5ϕ ξ=
Ξ ι, ι=ϕ ,
ιΞϕ
( )
) 对应控制力和控制力矩的广义主动力:
(ΦΗ.
) χ=Σ
( ) (ΦΗ.
) χ=Σ
( ) (Φθ. ι) χ=
( )
2. 3. 3 动力学方程
由方程( ) ∗( ) 可得:
(Φρ) Ι+(Φρ) χ+Φ3
ρ=
ρ=Η. .
.
, Η , θι (ι= , , , , Ν)
( )
将式( ) ∗( ) ! ( ) ∗( ) ! ( ) ∗( ) ! ( ) ∗( ) ! ( ) ∗( ) 分别代入式( ) 可得刚) 柔机械臂动力学模型为:
Ι. ρ
μ ρλ
Ι ρ Θ Α λ
Η.
. .
Ι ρΗ
λΘ
Α Θ
{
λ . Η.
λ.. ..
.
.
.
ξ( Η Η ) Η λ ξ( Η Η ) Η Η λ Η 5ιθ¾
ι λ.
. .
. .
Η Η 5ιθι ξ5ιθ¾ι ξ
(Η Η )} ξ Σ
( )
Ι ρ Θ Α λ . . . . (Η Η ) Θ
Α λ λ
(. Η.
Η
Η. .
Η Η ) (Θ Α
Θ
λ
ξ5ι ξ)&θι
[.
.
.
Θ Α λ Η (Η Η ) θι Η #]
Θ
λ
5.
λ
ι ξ Θ Α (λ Η θ¾ι Η )
Θ
5ι ξ
. . .
Θ
Α λ λ
Η (Η Η ) Η Σ (τ)( )
(
Θ
λ
. . . .
λ
Θ
Α ξ5ι ξ)(Η Η ) (Θ
Θ
Α λ 5ι ξ)# (Η. .
.
.
Η Η Η Η ) (
Θλ
Θ
Α 5ι5ϕ ξ)θ&
ϕ
[.
.
.
ΘΑλΗ(Η Η) Η
]Θλ
5ι ξ [. .
Θ Α (Η Η
)
]# (Θλ
55 ξ) .
λθ (ΘΑλΗ) Η(Θ
ιϕϕ
Ηιϕ
ξ) ¾θϕ
[.
.
Θ Α λ Η (Η Η.
) Η ]Θ
λ
Ηιϕ ξ)θϕ
. Θ Α.
(Η Η )
(
Θ
λ
ξΗιϕ ξ)θϕ Κιϕθϕ ( )
3 面向控制器设计的刚) 柔机械臂动力学
模型(Δψναμιχσμοδελφορτηεχοντρολλεροφτηεριγιδ2φλεξιβλεαρμσ)
上述刚) 柔机械臂动力学模型 所描述的是整
个系统在惯性参考坐标系中的模型
模型存在着刚性机械臂和柔性机械臂之间的耦合
实际控制时 刚) 柔机械臂是独立控制的
为便于控制器的设计 刚) 柔机械臂动力学模型进行解耦
即对刚) 柔机械臂在各自的低序体坐标系中建立动力学模型
对于系统中的刚性臂, 作用在刚性臂上的作用力矩除了驱动力矩Σ 之外, 还有柔性臂上的驱动力矩Σ 所产生的反作用力矩 Σ . 对于系统中的柔性臂, 只考虑其在低序体坐标系中的大范围的转动和弹性振动. 这样式( ) ∗( ) 所描述的刚) 柔机械臂动力学模型可简化为:
(Ι ρ+
μ ρλ
+ Θ
Α. .
λ ) Η =Σ −Σ ( )
Ι + Θ
Α λ . . .
ρ
+θ
ιΗ + θιθ¾ιΗ
λ
机 器 人 年 月
+
Θ
Α Θλ
5ι
ξ ξ
&θι=Σ
( )
λ
. .
.
Θ
Α Θ
5ι
ξ ξ
Η −θιΗ +θ&
ι+Κιϕθι= ( )
4 计及环境特征的刚) 柔机械臂动力学模
型(Δψναμιχσμοδελοφτηεριγιδ2φλεξιβλε
αρμσινχονσιδερατιονοφτηεενϖιρονμενταλχηαραχτερ
ιστιχσ)
4.1 计及环境特征的柔性多体系统动力学建模
图 是计及环境特征的柔性多体系统示意图
图 计及环境特征的柔性多体系统
ƒ ƒ ¬ ∏ 2
√
研究计及环境结构特征的柔性多体系统, 未确
知环境可视为一般多体系统的另一个分支链, 并与柔性多体系统形成更广义的多体系统. 未确知环境对柔性多体系统的影响, 可描述为柔性多体系统的外部约束.
本文只考虑环境系统分支末端体与柔性多体系统末端体的相互作用.
图 所示, 考虑环境系统分支末端体Βϕ和柔性多体系统分支末端体Βι, 两物体位置关系ριϕ向量联系在一起. 在柔性体分支末端体与环境系统分支末端体尚未接触前, 设两物体上的Πι
! Πϕ
点间的位置可描述为:
ριϕ=ριϕ(τ)
( ) 亦即:
ριϕ=ΡϕΟ+Αϕυϕ
−ΡιΟ−Αιυ
ι( )
式中, ΡιΟ! ΡϕΟ分别为两末端体体坐标系原点在
惯性坐标系下的位置矢量, υι! υϕ分别为Πι!
Πϕ两点
在各自体坐标系下的位置矢量, Αι! Αϕ分别为两体坐标系相对于惯性坐标系的变换矩阵.
图 柔性体的环境约束
ƒ ∞ √ ¬
式( ) 可以写成标准约束方程的形式, 即:
Γ(ψ,τ) =ΡιΟ+Αιυι+ριϕ−ΡϕΟ−Αϕυϕ
= (
) 式中, ψ为柔性多体系统的广义坐标向量. 当柔
性多体系统末端体与环境系统分支末端体接触后并
保持接触, 设ριϕ , 则上述约束条件为:
Γ(ψ, τ)=ΡιΟ+Αιυι−ΡϕΟ−Αϕυϕ
= ( )
( ) 对静态环境来说, 环境约束分支变为体数
为 的单体, 并且在惯性系中Π
ϕ
点的位置向量是常量, 即:
ΡϕΟ+Αϕυϕ
=Χ
( ) 式中, Χ为常量. 此时, 约束方程可以改写为:
Γ(ψ, τ)=ΡιΟ+Αιυι−Χ=
( )
( ) 对动态环境而言, 设环境系统的末端体是运
动的, 则此时Π
ϕ
点的位置向量是广义坐标以及时间的函数, 即:
ΡϕΟ+Αϕυϕ
=Δ(ψ3, τ)
( )
式中, ψ3为环境系统的广义坐标向量. 约束方
程改写为:
Γ(ψ, τ)=ΡιΟ+Αιυι−Δ(ψ3, τ)= ( ) 约束方程( ) 和( ) 写成统一的矩阵形式为:
[Β]{ψ}={γ}
( )
若取待定乘子为相应约束力分量, 并设为Κ, 则
广义约束力为:
{Φχ
}=
5Τ
ψ{Κ}=[Β]Τ{Κ}( )
约束系统的
方程应为:{Φ}+{Φ3}+{Φχ
}= ( )
将式( ) ! ( ) 代入一般柔性多体系统动力学
方程[ ], 可得带有环境约束的一般柔性多体系统动
力学方程为:
[Α]{¾ψ}−[Β]Τ{Κ}={Φσ}+{Φχ
σ}−{Η}
[Β]{ψ}={γ}
( )
式( ) 共有μ ν个方程, 可解出ν个ψ和μ
第 卷第 期今天等 计及环境特征的刚) 柔机械臂动力学建模方法与理论研究
个Κυ(υ , , , μ) . 该方法实质上是求解一组微分
/代数方程, 因此, 求解其数值解的计算效率较低.
应用矩阵正交补的概念, 为求解如上的微分/代数方程组提供了一种有效的方法. 设[Χ]为[Β]的正交补矩阵(注:[Χ]为ν≅(ν μ) 矩阵) , 则:
[Β][Χ]= 或[Χ]Τ[Β]
Τ
= ( )
式( ) 的含义是:若将矩阵中[Β]的μ个行向
量视为ν维空间中的一组向量(我们称之为/约束向量0) , 则矩阵[Χ]的各列构成的另一组ν维向量与
/约束向量0正交.
以[Χ]
Τ
前乘式( ) 中的微分方程, 可得:
[Χ]Τ[Α]{¾ψ}=[Χ]Τ{Φσ}+[Χ]Τ{Φχ
σ}−[Χ
]Τ{Η}( )
上式实质上是简约形式的 方程, 它共有ν μ个方程.
现在, 对式( ) 关于时间求导, 得:
[Β]{¾ψ}={¾γ}−[Β.
]{ψ}
( )
式( ) 有ν μ个方程(即简约的 方
程) , 式( ) 有μ个方程, 两式联立, 共有ν个方程, 这ν个方程可求解ν个ψ. 最后, 将求得的ψ代入式
( ) , 得到μ个Κυ.
根据上述方法, 可以将带有约束的一般柔性多体系统动力学方程改写为如下的形式:
[Χ]Τ[Α]{¾ψ}=[Χ]Τ{Φσ}+[Χ]Τ{Φχσ}−[Χ
]Τ{Η}[Β]{¾.
ψ}={¾γ}−[Β]{ψ}
( )
( ) 动态环境下的力约束分析. 假设柔性多体系
统与动态环境接触, 由于环境系统分支末端体几何形状和运动速度的变化, 接触点的作用力会发生变化. 若限定柔性多体系统末端体与环境运动体的接触力保持恒定值, 则相当于在柔性多体系统中增加了外部力约束. 设Φχ为接触力, Σ为电机驱动力矩, 则系统的动力学方程为:
[Α]{¾ψ}={Φσ}+{Σ}+[Β]Τ
{Φχ}−{Η}
( )
4. 2 计及环境特征的刚) 柔机械臂动力学模型
如图 所示, 考虑环境存在运动体情况, 而该运动体运动规律并不完全已知. 设机械臂末端点与运动体接触并保持恒力Φχ作用.
依据式( ) ! ( ) ∗( ) , 可得计及环境特征的刚) 柔机械臂动力学模型为
:
图 计及环境特征的刚一柔机械臂系统
ƒ
2 ¬ √
Ι ρ+μ ρλ . .
+ Θ
Α λ Η =Σ −Σ ( ) Ι. ρ+ Θ
Α λ +θ . .
ιΗ + θιθ¾ιΗ
+λΘ
Α
Θ
5ι
ξ ξθ&
ι
=Σ +λ Φχ( )
Θ
Α Θ
λ
. .
.
5ιξ ξΗ −θιΗ +θ&
ι+Κιϕθι=5ι(λ ) Φχ( )
5 结论(Χονχλυσιον)
本文首先基于 方程推导建立了在惯性参
考坐标系中的刚) 柔机械臂的非线性动力学模型 并用假设模态的方法对方程进行离散 为了设计控制器的需要 刚) 柔机械臂动力学模型应该是解耦的 因此本文对刚) 柔机械臂分别建立了在各自的低序体坐标系中的动力学模型 在刚) 柔机械臂进
行主动柔顺控制时 柔性机械臂要受到未确知外部环境的约束 本文建立了计及环境特征的刚) 柔机械臂动力学模型
参考文献 (Ρεφερενχεσ)
≈
今天 未确知环境下刚) 柔机械臂主动柔顺控制理论与实验研究≈⁄ 天津 天津大学
≈ 金国光 带有大型伸展机构航天器的柔性多体系统动力学分析
研究≈⁄ 天津 天津大学
≈ 张大钧 柔性多体系统动力学理论方法与实验研究≈⁄ 天津
天津大学
≈ ∏ 刘又午 多体系统动力学 下册 ≈ 天津
天津大学出版社
≈ ×∏ ×⁄ ≥ •° ∞¬ √ √ 2
∏ ¬ ∏ ∏ ≈ ∏ ∏ ≤
⁄
作者简介
今天 2 男 博士后 研究领域 多体系统动力学
王树新 2
男 教授 博士生导师 研究领域 多体系统动力学
郭福新
2
男 高级工程师 研究领域 自动化应用工程