数字信号处理复习大纲

《数字信号处理》复习大纲

主要内容：三种变换、四种周期延拓关系、两类数字滤波器的设计方法 重点章节：第二章、第三章、第六章、第七章

第七章：FIR 滤波器的设计

一、FIR 滤波器的性质 H (e j ω) =H g (ω) e j θ(ω) 1. FIR滤波器的线性相位条件及特性

h (n ) =h (N -1-n ) h (n ) =-h (N -1-n )

第一类线性相位条件

θ(ω) =-αωN -1

其中α＝

2第二类线性相位条件θ(ω) =-αω+θ0

2. FIR滤波器的幅度特性▲

1. h (n ) 偶对称，N 为奇数 H g (ω) 关于ω=0、π、2π偶对称，能设计任意类型的滤波器 2. h (n ) 偶对称，N 为偶数 H g (ω) 关于ω=π奇对称，能设计低通和带通滤波器 3. h (n ) 奇对称，N 为奇数 H g (ω) 关于ω=0、π、2π奇对称，能设计带通滤波器 4. h (n ) 奇对称，N 为偶数 H g (ω) 关于ω=0、2π奇对称，ω=π偶对称，能设计高通和带通滤波器

3. FIR滤波器的零点特性：互为倒数的共轭对 4. FIR滤波器的网络结构(结合滤波器设计出题) ： 1. 直接型(卷积型) －横截型 2. 线性相位型：

3. 频率采样型

二、用窗函数法设计FIR 滤波器

1. 用窗函数法设计FIR 滤波器的一般过程▲：

(1) 根据理想滤波器的技术指标H d (e j ω) 求其单位脉冲响应h d (n ) ：

1

h d (n ) =

2π

⎰πH (e

-

π

j ω

) e j ωn d ω

(2) 对h d (n ) 加窗截取求得实际的滤波器的单位脉冲响应h (n ) ：h (n ) =h d (n ) w N (n ) 窗函数的选取准则：首先根据阻带衰减确定窗函数的形状，然后根据过渡带宽确定滤波器的长度N ；常用的窗函数(矩形窗、汉宁窗、汉明窗、布莱克曼窗) 的过渡带宽与阻带衰减的关系。

(3) 验证设计的滤波器的副频响应H (e j ω) 是否满足技术指标要求。 2. 各种理想滤波器的单位脉冲响应h d (n ) ：α＝(1) 理想LP ：h d (n ) =

N -1

2

sin ωc (n -α)

，偶对称，N 任意

π(n -α)

sin ωc (n -α)

，偶对称，N 奇数

π(n -α)

(2) 理想HP ：h d (n ) =δ(n -α) -

(3) 理想BP ：h d (n ) =

sin ωc 2(n -α) -sin ωc 1(n -α)

，偶对称，N 任意

π(n -α)

sin ωc 2(n -α) -sin ωc 1(n -α)

，偶对称，N 奇数

π(n -α)

4) 理想BS ：h d (n ) =δ(n -α) -

3. 高通、带通滤波器的另一种实现方法：

设h (n ) 为一低通滤波器，其截至频率为ωc ，可以证明h 1(n ) =(-1) h (n ) 为一高通滤波器，

n

h 2(n ) =2h (n ) cos ω0n 为带通滤波器(ωc

三、用频率采样法设计FIR 滤波器

1. 用频率采样法设计FIR 滤波器的一般过程▲： (1) 确定理想滤波器的技术指标H d (e j ω) ；

(2) 对理想滤波器的副频响应H d (e j ω) 在(0, 2π) 上进行N 点等间隔采样，按照对称性及设计公式求得实际的滤波器的离散傅立叶变换H (k ) ：H (k ) =H g (k ) e

j θ(k )

，设计公式为：

⎧⎧⎪H (k ) =H (N -k ) ⎪H (k ) =-H (N -k )

⎪⎪

N -1N -1⎪⎪

h (n ) 偶对称，N 为奇数：⎨θ(k ) =-h (n ) 偶对称，N 为偶数：⎨θ(k ) =-πk πk ，

N N ⎪⎪

N -1N -1⎪⎪

θ(k ) =π+πk θ(k ) =πk ⎪⎪N N ⎩⎩

其中k =0, 1, , N /2。

(3)求实际滤波器的单位脉冲响应h (n ) 或其系统函数H (z )(可进行对称合并)

j kn 1-z -N 1N -1

N

或H (z ) =h (n ) =∑H (k ) e

N k =0N

2π

H (k )

∑-k

k =01-W N

N -1

(4) 验证设计的滤波器的副频响应H (e j ω) 是否满足技术指标要求。

2. 频率采样法设计的FIR 滤波器的阻带衰减与过渡带宽的关系

没有过渡采样点时，阻带衰减为矩形窗函数对应的衰减，过渡带宽为∆ω＝2π/N ；要想增加阻带衰减，可通过增加过渡采样点实现，要想保持过渡带宽不变，需增加采样点数。

第六章：IIR 滤波器的设计

1. 一般巴特沃斯模拟滤波器的设计步骤：|H a (j Ω) |=

2

1

Ω2N

1+()

Ωc

(1) 确定巴特沃斯模拟滤波器的技术指标(Ωp , Ωs , αp , αs ) ，用频率转换公式转化为归一化低通滤波器的技术指标(λp , λs , αp , αs ) ；

(2) 求归一化低通的阶数N ，查表求归一化低通的系统函数G(p)；

λs 10p -1

，其中k sp =， λ=N =-sp 0. 1αs

λp lg λsp 10-1

(3) 取归一化求得实际滤波器的系统函数H(s)：H (s ) =G (p ) p 与s 关系 2. 巴特沃斯滤波器的频率转换关系及去归一化公式： (1) LP-LP：频率转换：λ＝

lg k sp

0. 1α

Ω

，去归一化：H (s ) =G (p ) s

p =Ωc

Ω

c

(2) HP-LP：频率转换：λ＝

Ωc

，去归一化：H (s ) =G (p ) Ωc

p =Ωs

η2-η02Ω

(3) BP-LP：频率转换：η=，λ＝，去归一化：H (s ) =G (p ) s 2+Ω2

0B ηp =

sB

(3) BS-LP：频率转换：η=

B η

，λ＝2，去归一化：H (s ) =G (p ) sB 2p =B η-η0

s +Ω0

3. 用脉冲响应不变法设计IIR 数字滤波器

(1) 用脉冲响应不变法设计IIR 滤波器的一般步骤：

(a) 用脉冲响应不变法的频率公式ω=ΩT ，把DF 的技术指标转换为相应AF 的指标； (b) 根据AF 技术指标设计模拟滤波器的系统函数H (s )(见1) (c) 把H (s ) 进行部分分式展开：H (s ) =

A k

∑k s -s k

(d) 通过极点映射，把H (s ) 转换为数字滤波器对应的系统函数H (z)：H (z ) =其中T 为采样间隔。

(e) 验证设计的滤波器的副频响应H (e j ω) 是否满足技术指标要求。 (2) 脉冲响应不变法的优缺点：

优点：模拟频率和数字频率为线性关系，即ω=ΩT

A k

，∑-s k T -1

1-e z k

缺点：在模拟滤波器的折叠频率f s /2处发生混叠，不能设计HP 、BS 滤波器。 4. 用双线性变换法设计IIR 滤波器

(1) 用双线性变换法设计IIR 滤波器的一般步骤： (a) 用双线性变换法的频率公式Ω=

2

tan(ω/2) ，把DF 的技术指标转换为相应AF 的指标； T

(b) 根据技术指标设计模拟滤波器的系统函数H (s )(见1)

(c) 用双线性转换公式，把H (s ) 转换为数字滤波器对应的系统函数H (z)：

H (z ) =H (s ) |

s =

21-z -1T 1+z

(d) 验证设计的滤波器的副频响应H (e j ω) 是否满足技术指标要求。 (2) 双线性变换法的优缺点：

缺点：模拟频率和数字频率不是线性关系，发生频率畸变。

优点：在模拟滤波器的折叠频率f s /2处不会发生混叠，能设计LP 、HP 、BP 、BS 滤波器。 5. 一般IIR 滤波器是设计步骤：

第一章 时域离散信号和时域离散系统

1. 正弦(余弦) 序列cos ω0n 、复指数序列e 当2π

j ω0n

周期性的判定：

0为整数时，为周期性序列，化为最简分式，最简分式的分子即为周期N

⎧叠加性：T [x 1(n ) +x 2(n )]=T [x 1(n )]+T [x 2(n )]

齐次性：T [ax (n )]=aT [x (n )]⎩

2. 时域离散系统线性时不变性的判定： (1) 线性：⎨

(2) 时不变性：若y (n ) =T [x (n )]，则y (n -n 0) =T [x (n -n 0)]

3. 时域离散系统因果稳定性的判定：

(1) 因果性的定义：若系统在当前时刻的输出只取决于当前时刻和当前时刻以前的输入，称该系统为因果系统。

(2) 因果性的判定方法(充要条件) ：时域：若n R 。 (3) 稳定性的定义：对于有界的系统输入，其输出也是有界的。 (4) 稳定性的判定方法(充要条件) ：时域：

∑|h (n ) |

∞

n =-∞

⎧h (n ) =0，n

(5) 因果稳定性的判定：时域：⎨，频域：H (z)的收敛域为|z |>R 且R

|h (n ) |

4. 时域采样定理及其延伸(第一种周期延拓关系) ： 采样信号的频谱是原模拟信号频谱以当Ωs ≥2Ωh 时，可以不失真地把原始信Ωs =2π/T (T 为采样间隔) 为周期进行周期延拓，

1∞2π

号恢复出来；X a (j Ω) =∑X a (j (Ω-k ))

T k =-∞T

^

5. 序列的线性卷积：

第二章 时域离散信号和系统的频域分析

1. 序列的FT 的定义、存在条件及IFT 的定义：

∞⎧j ω

X (e ) =∑x (n ) e -j ωn ⎪⎪n =-∞(1) 序列傅立叶变换公式：⎨

π1j ωj ωn ⎪x (n ) =X (e ) e d ω⎰⎪-π2π⎩

(2) FT存在的条件：

n =-∞

∑|x (n ) |

∞

(3) 模拟频率与数字频率的关系：ω=ΩT

∞

⎧j 0

⎪X (e ) =∑x (n )

(4) 特殊点的FT 及IFT ：⎨ n =-∞

π

⎪X (e j ω) d ω=2πx (0) ⎩⎰-π

2. 序列FT 的性质：

(1) 周期性(以2π为周期) ：2k π对应数字频率的低频，(2k +1)π对应数字频率的高频。 (2) 线性、时移、频移、时域卷积、频域卷积、帕斯瓦尔定理(能量守恒定理) ：

1

|x (n ) |=∑2πn =-∞

2

∞

⎰π|X (e

-

π

j ω

) |d ω

2

(3) FT的对称性★：

⎧若x (n ) =

⎪

共轭对称性之一：⎨

⎪则X (e j ω) =⎩⎧若x (n ) =⎪

共轭对称性之二：⎨

⎪则X (e j ω) =⎩

(4) 常用序列FT 对称性的特点：

实序列 －共轭对称 纯虚序列－共轭反对称

x r (n )

+

jx i (n ) X o (e j ω) x o (n ) jX I (e j ω)

X e (e j ω) +x e (n )

+

X R (e j ω) +

实偶序列－实偶对称 实奇序列－纯虚奇对称

实因果序列的特点及其FT(共轭对称) ：实因果序列可由其共轭对称序列或共轭反

对称序列加上序列在0点的值恢复。 3. 几种常用序列的FT ：δ(n ) 1，12π

k =-∞

∑δ(ω-2πk )

N

ω) -j N -1ωe 2

∞

∞

1

u (n ) +π∑δ(ω-2πk ) ，R N (n ) -j ω

1-e k =-∞

sin()

2

ω

e

j ω0n

(2π/ω0为有理数) π

1

1-ae -j ω

k =-∞

∑[δ(ω-ω

∞

-2πk ) +δ(ω+ω0-2πk )]

a n u (n )(|a |

4. 序列的Z 变换及逆Z 变换：

∞

⎧

X (z ) =∑x (n ) z -n ⎪⎪n =-∞

(1) 定义⎨

1n -1

⎪x (n ) =X (z ) z dz 2πj c ⎪⎩

(2) 存在条件：

n =-∞

∑|x (n ) z

∞

-n

|

(3) 常用序列的收敛域：有限长序列、因果序列、反因果序列

(4) 逆Z 变换的求法：留数定理和部分分式展开法

(5) Z变换的应用：求解差分方程、分析系统的因果稳定性、分析系统的频域特性 5. 序列的Z 变换与傅立叶变换的关系：H (e

j ω

) =H (z ) |z =e j ω

第三章 离散傅立叶变换

1. 有限长序列的DFT 及IDFT 的定义：

2πN -1-j kn ⎧N

, k =0, 1, , N -1⎪X (k ) =∑x (n ) e

⎪n =0

(1) 离散傅立叶变换公式：⎨, N ≥M 2πN -1j kn

⎪x (n ) =1X (k ) e N , n =0, 1, , N -1∑⎪N k =0⎩N -1⎧

X (0) =∑x (n ) ⎪⎪n =0

(2) 特殊点的DFT 及IDFT ：⎨ N -1

1⎪x (0) =∑X (k )

⎪N k =0⎩

(3) 序列的FT 、ZT 、DFT 之间的关系：H (k ) =H (e

j ω

) |

ω=

2π

k N

=H (z ) |

z =e

j

2πk N

(4) 周期序列的DFS 与其主值序列的DFT 的关系(第二种延拓关系) 2. 序列DFT 的性质：

(1) 隐含周期性(以N 为周期)

(2) 时域及频域循环位移性质、时域循环卷积定理、帕斯瓦尔定理(能量守恒定理) ：

1N -1

|x (n ) |=∑|X (k ) |2 ∑N k =0n =0

2

N -1

(3) DFT的对称性(关于N /2的对称性) ★：

⎧若x (n ) =

⎪

共轭对称性之一：⎨

⎪则X (k ) =⎩⎧若x (n ) =⎪

共轭对称性之二：⎨

⎪则X (k ) =⎩

x r (n )

+

jx i (n ) X op (k ) x op (n ) jX I (k )

X ep (k ) +x ep (n )

+

X R (k ) +

(4) 常用序列DFT 对称性的特点：

实序列 －共轭对称 纯虚序列－共轭反对称 实偶序列－实偶对称 实奇序列－纯虚奇对称

3. 频域采样定理★(第三种周期延拓关系) 及内插公式：

(1) 频域采样定理：若果序列的x (n ) 的长度为M ，对其频域进行N 点进行等间隔采样得到X (k ) ，其离散傅立叶逆变换得到的有限长序列x N (n ) 为原序列进行周期延拓序列的主值序列，即x N (n ) =

r =-∞

∑x (n +rN ) R

∞

N

(n ) ；只有当频域采样点数满足N ≥M 时，才能不失真地把原

序列恢复出来。

⎧1-z -N N -1X (k )

X (z ) =∑⎪-k

N k =01-W N ⎪

(2) 内插公式：⎨N -1 N -1-j ω2π1sin(N ω/2) 2⎪X (e j ω) =X (k ) ϕ(ω-k ) ，ϕ(ω) =e ∑⎪N N sin(ω/2) k =0⎩

4. DFT的应用：

(1) 计算线性卷积(循环卷积与线性卷积的关系－第四种周期延拓关系，二者相等的条件)

2f h ⎧N ≥⎪F (2) 进行谱分析－连续信号谱分析参数选取准则：⎨

1

⎪T p ≥

F ⎩

第四章：掌握基2 DIT-FFT和基2 DIF-FFT的蝶式运算图、特点及N =8时完整的运算流图

第五章：梅森公式、IIR 滤波器的网络结构、FIR 滤波器的网络结构（线性相位、频率采样）