无限长均匀带电圆柱面上的电场强度如何计算
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第２１卷总第１９ｒ７期
物理教学探讨
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液体中的木块；（６）中ｕ形管中的液面；（ｃ）中静止在圆筒中的活塞；（ｄ）中静止的点电荷ｑ。它们都处于平衡状态，已知量在各图中都已标明。不计摩擦，现用外力使木块、液面、活塞及点电荷＋ｇ偏离原平衡位置一微小位移，要求确定
实问题的条件却并非如此，当弹簧质量不能忽略，周期又该怎样确定？引导学生效仿“实验探究”中研究周期与振子质量的关系的方法，按发现问题一提出假说一设计实验验证假说一结论这一思路与程序进行探究。在实验数据的分
它们的黝删各题熊删舱《ｍ霎篓票搽霉萎鍪萋羹芸翥妻嚣燃霁据ｍ偶ｍ儡，。
推、依据数据评价一个被检验的假说、依据发现的关系作出相应的归纳等环节，必要时应予以点拨。通过以上探究，得出考虑弹簧自身质量下
掣至掣
＋铅
０
周期的修正公式为Ｔ＝２丌簧质量）。
＋４ａ
（肘为弹
．ｔ－ｇ
●０
以上内容是学生在探究过程中要涉及到的知识、方法及实验操作，对学生来说它们并非全然的“未知”，这一方面说明学生对周期的探究是基于一定背景和依托上的探究，另一方面也要求教师应明确自身是组织者、引导者、合作者的角色，对学生的指导不能“越殂代庖”。
（栏目编辑
Ｉ＝上■。—一
（ｃ）
图
２
（ｄ）
２．探究弹簧质量对周期的影响万方数据
ｒ：２，ｒ√乏是在弹簧质量比振子质量小
得多。即弹簧质量可忽略的情况下得出的，但现罗琬华）
无限长均匀带电圆柱面上的电场强度如何计算
陕西宝鸡文理学院物理系（７２ｌＯａｒ７）
在静电场中，当电荷激发的电场具有均匀球对称、均匀面对称、均匀轴对称时，我们可根据具体的对称性特点，找出合适的高斯面，使电场强度都垂直于这个闭合面，而且大小处处相等；或者使闭合面的一部分上场强处处与该面垂直，且大小相等，另一部分上场强与该面平行，因而通过该面的Ｅ通量（或Ｄ通量）为零，由此很方便地求出场强。关于这一点，在一般的大学基础物理教材中都有论述，并且通过例题演示了高斯定理的应用。对于电荷ｑ均匀分布在半径为Ｒ的无限长均匀带电圆柱面上的空间场强分布问题，一般教材给出了如下的结果Ｅ＝
ｒ
刘景世
（即ｒ＝尺时）的电场强度，一般教材未给出确定值。在教学中经常有学生提问，当ｒ＝Ｒ时（即在圆柱面上）的电场强度应该是多少？下面我们来分析一下这个问题。
首先要明确，无限长均匀带电圆柱面上的电场强度不能采用高斯定理直接求解。因为高斯面是一个几何面，当把高斯面取在圆柱面上时，带电圆柱面的带电模型已经失效，无法确定高斯面所包围的电量；其次要明确，无限长均匀带电圆柱面只是一种理想模型，在实际问题中，长为Ｚ的均匀带电圆柱面的长度Ｚ远大于讨论中所涉及的距离（例如所考察的场点到圆柱中央的距离）时，就可以认为此圆柱面是无限长的。文献［１］，［２］通过理论计算得出ｒ＝Ｒ时岛＝
ｎ－／Ｄ
｛：’二÷“、
。。而对于圆柱面上一点
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物理教学探讨第２ｌ卷总第１９７期
Ａ／（４难ｏＲ），从而解决了这一问题。然而上述文献作者都采用了将无限长均匀带电圆柱面看作无穷多个无限长均匀带电直线构成的方法，通过积分计算出圆柱面上的场强。本文从其他角度出发，采用另外两种方法来分析这个问题。
ｌ均匀带电圆柱面上的电场强度１．１
利用功能原理来求解这个问题
设无限长均匀带电圆柱面上的电场强度为翰，由对称性分析，其方向垂直柱面呈辐射状，当ｇ＞０时，蜘的方向垂直柱面向外辐射。现在设想把均匀带电圆柱面从半径Ｒ缓慢压缩到半径为Ｒ—ｄＲ，则外力克服电场力做的功为以：ｑＥｓｄＲ（１）（式中岛是圆柱面上的电场强度）。圆柱面半径减小ｄＲ后，距轴线为Ｒ以外的空间的电场及场的能量不变，上述克服电场力所做的功应该转变为被收缩区域的电场能，即有烈：
ｄＷ＝音￡ｏＥ２ｄｙ＝｛ｅｏＥ２２，ｒＲ／ｄＲ（２）
万方数据
式中Ｅ是已经收缩的带电圆柱面之外距轴
线为Ｒ处的电场强度，由高斯定理易知Ｅ＝
五彖（３）（．；【＝寻为圆柱面每单位长度的电量）。
由（１）、（２）、（３）式可得圆柱面上的一点的
电场强度大小为Ｅｎ＝石螽。
１．２
利用圆柱形电容器能量的变化来解
决这个问题
设真空中圆柱形电容器极板上的电荷各为
＋口与一口，两极板半径分别为心和如，长度为
Ｚ，又设极板的长度Ｚ较之板间的距离如一心大很多，即ｄ＝ＲＢ—ＲＡ《风，所以两端的边缘效应可以略去不计。
由于两极板的电荷符号相反，相互作用力应为吸引力。因为两极板之间距离ｄ很小，而而
和如相对来说都很大，ｄ＝Ｒｎ一心《心，因此
此时圆柱形电容器的电容Ｃ＝石２碱尢＇ｅＯｌ
＝
１
ａ２７ｒ￡ｏｌＲ／ｄ
＝ｅｏｓ／ｄ（ｓ＝２ａｒＲｌ为此时圆柱壳的面积）。
当Ａ极板离开曰极板在垂直于轴线向内的
方向上统一发生虚位移由时，外力克服静电场力Ｆ所做的功为一Ｆ・由。根据能量守恒定律，此机械功转化为电容器所储存的静电能形，使电容器的能量增加了ｄＷ。根据圆柱形电容器的
能量公式形＝音９２／ｃ和电容公式Ｃ＝
百１ｅｏｓ／ｄ，可得矽＝ｑ２ｄ／（２ｅｏｓ），于是ｄ形＝
ｑ２ｄｒ／（２ｅｏｓ）＝一Ｆ・ｄｒ，故有Ｆ＝一ｑ２／（２ｅｏｓ），式中负号表示电场力为吸引力。
圆柱形电容器两极板间的相互作用应该是一个极板的电荷与该极板上的场强之积。设内
极板心上的电荷在外极板如上某一点产生的
场强为Ｅｌ，外极板如上的电荷在外极板上同一点产生的场强为Ｅ２（由对称性分析可知，外极板‰上的电荷在外极板上任一点产生的场强Ｅ２均相等，因内外极板电荷电性相反，Ｅ２与Ｅｌ反
向），由高斯定理可知Ｅｌ＝磊会瓦＊西知。即
外层圆柱面上的电荷在其上任一点产生的场强
为，１／（４ｎ芭ｏＲ）。
反之，设内极板上的电荷在内极板上某一点产生的场强为Ｆ。。外极板上的电荷在该点产生的场强为Ｆ２，合场强为Ｆ。由高斯定理可得Ｆ２＝Ｏ（即无限长均匀带电圆柱面内任一点场强为Ｏ），因此Ｆｌ＝Ｅ’一Ｅ’２＝．；Ｉ／（４，ｒ￡ｏＲ）。
由此可知，无限长均匀带电圆柱面在面上产生的电场强度大小为２／（４ａ苫。冠）。
２
结论
本文利用功能原理和圆柱形电容器能量的变化定量计算出了无限长均匀带电圆柱面上的电场强度大小为．；【／（４瓶ｏＲ），从而采用面模型表达了整个空间电场的全貌，在教学中具有一
定的意义。
参考文献
［１］边志华，马湘东．均匀带电球面和长直圆柱面上一点的电场强度［．，］．太原理工大学学报，１９９８．２９（２）：２１４—２１６．
［２］陈正武．关于长直圆筒面上电场和磁场’的定量计算［＿，］．甘肃教育学院学报（自然科学版），２００２．１６（１）：７４—７６．（ｅ－目编辑罗琬华）
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