关于用微积分理论证明不等式的方法毕业论文

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本科毕业论文（设计）

题 目：关于用微积分理论证明不等式的方法

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2012年 5月 13日

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目 录

中文摘要 ········································································································· Ⅰ 英文摘要 ········································································································· Ⅱ

第一章 用微积分理论证明不等式常见的几种方法 ······································ 1

第一节 用可导函数的单调性证明不等式法 ·········································· 1

第二节 利用函数的最大值或最小值证明不等式法 ······························ 2

第三节 用拉格朗日中值定理证明不等式法 ·········································· 3

第四节 用柯西中值定理证明不等式法 ·················································· 4

第五节 上述几种方法小结 ····································································· 6

第二章 用微积分理论证明不等式其他几种方法 ·········································· 7

第一节 用导数定义证明不等式法 ·························································· 7

第二节 用函数的凹凸性证明不等式 ······················································ 8

第三节 用泰勒公式证明不等式法 ·························································· 9

第四节 用幂级数展开式证明不等式法 ················································ 10

第五节 用定积分理论来证明不等式法 ················································ 11

第六节 引入参数证明不等式法 ···························································· 12

第七节 利用二重积分性质来证明不等式 ············································ 13

参考文献 ········································································································ 15

致谢 ········································································································ 16

关于用微积分理论证明不等式的方法

摘 要：随着数学的发展，人们对数学的认识不断深化。高等数学中所涉及到的不等式，大致可分为两种：函数不等式(含变量)和数值不等式(不含变量)。对于前者，一般可直接或稍加变形构造一函数，从而可通过研究所构造函数的性质，进而证明不等式；对于后者，我们也可根据数值不等式的特点，巧妙的构造辅助函数，从而将数值不等式问题转化为函数的问题，研究方法正好与前者相似。

微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，若能根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式。

关键词：不等式；导数；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；泰勒公式

Methods for Proving Inequality by Using Calculus

Abstract：With the development of mathematics, mathematics is more and more important in our life. Higher mathematics involved in inequality, can be roughly divided into two types: function inequality (including variables ) and numerical inequality ( do not contain variables). For the former, the general can be straight or slightly deformed tectonic function, thereby through the Institute constructor nature, and then to prove inequality; for the latter, we can also according to the characteristics of numerical inequality, the ingenious structure auxiliary function, thus the numerical inequality problem is transformed into a function problem, research method is similar to the former.

Calculus is an important part of higher mathematics, taking it as a tool to better study the function of form, some conventional methods to prove inequality. According to the inequality structure, ingenious constructor, the inequality problem is transformed into a function problem, using the calculus theory to study the nature of function, application function to prove inequality.

Keywords：Inequality; derivative; the Lagrange mean value theorem; Cauchy theorem; Taylor formula

第一章 用微积分理论证明不等式常见的几种方法

第一节 用可导函数的单调性证明不等式法

1.证明方法根据：可导函数的一阶导数符号与函数单调性关系定理

定理一：若函数f(x)在(a,b)可导，则f(x)在(a,b)内递增（递减）的充要条件是：f(x)0(f(x)0),x(a,b)。

定理二：设函数f(x)在[a,b]连续，在(a,b)内可导，如果在(a,b)内f(x)0（或f(x)0），那么f(x)在[a,b]上严格单调增加（或严格单调减少）。

定理三：设函数f(x)在(a,b)内可导，若f(x)0（或f(x)0），则f(x)在(a,b)内严格递增（或严格递减）。

上述定理反映了可导函数的一阶导数符号与函数单调性的关系，因此可用一阶导数研究函数在所讨论区间上的单调性。

2.证明方法：

（1）构造辅助函数f(x)，取定闭区间[a,b]；

（构造辅助函数方法：①利用不等式两边之差构造辅助函数；②利用不等式两边相同“形式”的特征构造辅助函数；③若所证的不等式涉及到幂指数函数，则可通过适当的变形将其化为易于证明的形式，再如前面所讲那样，根据不等式的特点，构造辅助函数。）

(2)研究f(x)在[a,b]上的单调性，从而证明不等式。

22(1x)ln(1x)x3.例：求证：当x>0时，

222f(x)x(1x)ln(1x)f'(x)2xln(1x)2ln(1x)， 证明：令，则

f''(x)222ln(1x)220xln(1x)1+x1x1x1x 因，所以f''(x)与xln(1x)

G(0)0,G'(x)11x0(x0)1x1x，可见同号。 由于G(x)xln(1x)满足

G(x)0，于是f''(x)0。由此可得f'(x)在x>0单调增加，又f'(0)0，于是f'(x)0(x0) 所以f(x)在x>0单调增加，又f(0)0，故f(x)0当x>0时成

22x(1x)ln(1x)(x0) 立，即

4.适用范围：

利用函数单调性证明不等式，不等式两边的函数必须可导；对所构造的辅助函数f(x)应在某闭区间上连续，开区间内可导，且在闭区间的某端点处f(x)的值为0，然后通过在开区间内f(x)的符号来判断f(x)在闭区间上的单调性。

第二节 利用函数的最大值或最小值证明不等式法

1．证明方法根据：极值的充分条件定理

0xf(x)0定理四（极值的第一充分条件）：设在连续，在(x0,)内可导，（I）

x(x0,x0)时，f(x)0,则f(x)在x0取若当x(x0,x0)时，f(x)0,当

x(x0,x0)时，f(x)0,得极大值;(II) 若当x(x0,x0)时，f(x)0,当

则f(x)在x0取得极小值。

定理五（极值的第二充分条件）：设f(x)在的某领域(x0,)内一阶可导，在xx0处二阶可导，且f(x0)0，f(x0)0,(i)若f(x0)0，则f(x)在x0取得极大值；(ii)若f(x0)0，则f(x)在x0取得极小值。

极值和最值是两个不同的概念，极值仅是在某点的邻域内考虑，而最值是在某个区间上考虑。若函数在一个区间的内部取得最值，则此最值也是极值。极值的充分条件定理反映了可导函数的一阶导数符号或二阶导数在可疑点上的导数符号与函数极值的关系。

2.证明方法：

（1）构造辅助函数f(x)，并取定区间；

（构造辅助函数的方法：①当不等式两边均含有未知数时，可利用不等式两边之差构造辅助函数；②当不等式两边含有相同的“形式”时，可利用此形式构造辅助函数；③当不等式形如g(x)a（或g(x)a）（a为常数）时，可设g(x)为辅助函数）

(2)求出f(x)在所设区间上的极值与最大、最小值。

（极值与最大、最小值的求法：①极值求法：（1）求出可疑点，即稳定点与不可导的连续点；（2）按极值充分条件判定可疑点是否为极值点。②最大、最小值的求法：（1）闭区间[a,b]上连续函数的最大、最小值的求法：先求出可疑点，再将可疑点处的函数值与端点a,b处的函数值比较，最大者为最大值，最小者为最小值。（2）开区间(a,b)内可导函数的最大值、最小值的求法：若f(x)在(a,b)内可导，且有唯一的极值点，则此极值点即为最大值点或最小值点）

3.例：证明：当x0，n为自然数时

证明：构造辅助函数f(x)(tt2)sin2ntdt0xx0(tt2)sin2ntdt1(2n2)(2n3) '22nf(x)(xx)sinx 当0

f'(x)0；当x>1时，除xk(k1,2,3,)时f'(x)0外，均有f'(x)0，故f(x)在0x1单调上升，在x1单调减小，因此f(x)在[0,)上取最大值f(1)。于是f(x)f(1)(tt2)sin2ntdt(tt2)t2ndt0011有111(x0)2n22n3(2n2)(2n3)

4.适用范围:

若f(x)在区间I上达到最大值M，则f(x)M(xI)。若f(x)在区间I上达到最小值m，则f(x)M(xI)。

第三节 用拉格朗日中值定理证明不等式法

1.证明方法根据：拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理：若函数f(x)满足下列条件：（I）f(x)在闭区间[a,b]上连续；（II）f(x)在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点，使得f()f(b)f(a)

ba。

拉格朗日中值定理反映了函数或函数增量和可导函数的一阶导数符号之间的关系。

2.证明方法：

①构造辅助函数f(x)，确定f(x)适用拉格朗日中值定理的区间[a,b]； ②对f(x)在[a,b]上施用拉格朗日中值定理；

③利用与a,b的关系，对拉格朗日公式进行加强不等式。

3.例：设eabe，证明

222ln2bln2a4(ba)e2 4ln2bln2a4lnblna2(ba)22f(x)lnx，在a,b上用拉ebae证明：。令

f(b)f(a)ln2bln2a2lnf'()2(a,b)(e,e)。baba格朗日中值定理，有 其中

ln2lne2lnx2()(e)2(x)2(e,)ee 所以x在又上，单调减少，故

ln2bln2a42bae

4.适用范围：

当所证的不等式中含有函数值与一阶导数，或函数增量与一阶导数时，可用拉格朗日中值定理来证明。

第四节 用柯西中值定理证明不等式法

1.证明方法根据：柯西中值定理

柯西中值定理：若⑴函数f(x)与g(x)都在闭区间[a,b]上连续；⑵f(x)与g(x)

都在开区间(a,b)内可导；⑶f(x)与g(x)在(a,b)内不同时为0；⑷g(a)g(b)。

f()f(b)f(a)(a,b)则在内至少存在一点，使得g()g(b)g(a) 。

柯西中值定理反映了两个函数或两个函数增量与它们一阶导数之间的关系。

2.证明方法：

①构造两个辅助函数f(x)和g(x)，并确定它们施用柯西中值定理的区间

[a,b]；

②对f(x)与g(x)在[a,b]上施用柯西中值定理；

③利用与a,b的关系，对柯西公式进行加强不等式。

3.例：设

yae,0xyyxx2，证明aa(cosxcosy)alna ayax

aa(cosxcosy)alnaaxlnatf(t)acosycosx证明：，构造函数，xx

g(t)cost,因f(t),g(t)均在[x,y]上连续，在(x,y)上可导，且f(t)atlna0，又0xy

2，则g(t)sint0,g(x)cosxg(y)cosy，所以f(t),g(t)在[x,y]上

满足柯西中值条件，于是存在(x,y)，使得

f()f(y)f(x)ayaxalna0xy,g()g(y)g(x)cosycosxsin，又因ae,(x,y),2有

1alnaalnaxxaa,1,lna1alna,alnasinsinsin ,因此 ，得：xayax

axlnayxxaa(cosxcosy)alna。 cosycosx,即

4.适用范围：

当不等式含有两个函数的函数值及其一阶导数，或两个函数的函数增量及其一阶导数时，可用柯西中值定理证明。

5

第五节 上述几种方法小结

前面几种方法中，均可利用差式构造函数，但有时应用导数研究函数单调性证明不等式，有时应用导数研究函数极值证明不等式，而有时应用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明不等式。三者的区别主要有：

⑴若所证不等式含有函数值及其导数，宜用中值定理；若所证不等式f(x)g(x),x(a,b)，其两端函数f(x),g(x)均可导，且F(a)f(a)g(a)或F(b)f(b)g(b)有一为0时，宜用函数的单调性。

⑵若所证不等式的两端函数有不可导时，不能用函数单调性证明，宜用中值定理。

⑶若所证不等式f(x)g(x),x(a,b)，两端函数f(x),g(x)均可导，但F(x)f(x)g(x)不是单调的函数时，宜用函数的极值来证明。

6

第二章 用微积分理论证明不等式的其他几种方法

第一节 用导数定义证明不等式法

1．证明方法根据：导数定义

导数定义：设函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义，若极限xx0limf(x)f(x0)ylimx0xxx0存在，则称函数f(x)在点x0处可导，称这极限为函数yf(x)在点x0的导数，记作yf(x0)。

2．证明方法：

(1)找出x0，使得yf(x0)恰为要证结论中不等式的一边；(2)利用导数的定义并结合已知条件去证明。

3．例：设函数f(x)a1sinxa2sin2xansinnx，其中a1,a2,an都为实数，n为正整数，已知对于一切实数x，有f(x)sinx，试证：a12a2nan1。 证明：因f(x)a1cosx2a2cos2xnancosnx则f(0)a12a2nan 且f(0)0则 f(0)limx0f(x)f(0)f(x)f(x)limlimx0x0xxx0x由于f(x)sin 所以f'(0)limx0f(x)sinxlim1x0xx即a12a2nan1。

4.适用范围：

用导数的定义证明不等式，此方法得适用范围不广，我们应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系．有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以达到化繁为简的目的。

7

第二节 用函数的凹凸性证明不等式

1.证明方法根据：凹凸函数定义及其性质

定义：设f(x)为定义在区间I上的函数，若对于I上任意两点x1,x2和实数(0,1)，总有f(x1(1)x2)f(x1)(1)f(x2),则称f(x)为I上的凸函数，若总有f(x1(1)x2)f(x1)(1)f(x2),则称f(x)为I上的凹函数。

定理六：设f(x)为I上的二阶可导函数，则f(x)为I上的凸函数（或凹函数）的充要条件是在I上f(x)0(或f(x)0) 。

函数的凹凸性特点：如函数f(x)是凸函数，则在(a,b)上有：

[f(x1)f(x2)]f(

[f(x1)f(x2)]f(x1x2),如函数f(x)是凹函数，则在(a,b)上有：2x1x2)。 2

2.证明方法：

将不等式写成定义的形式，构造辅助函数f(x)，并讨论f(x)在所给区间上的凹凸性。

3.例：设f(x)在(a,b)内二阶可导，x1,x2(a,b)，且x1x2，若当x(a,b)时，f''(x)0，则f(x)x2xf(x)xx1f(x)对任何x(x1,x2)成立 12x2x1x2x1

证明：f(x)x2xxx1f(x1)f(x2)(x2x)[f(x)f(x1)](xx1)[f(x2)f(x)] x2x1x2x1

由拉格朗日中值定理知

（x2x）f(x)f(x1)(x2x)(xx1)f'(1),x11x，

。 （xx1）f(x2)f(x)(xx1)(x2x)f'(2),x2x2

)由于f''(x0f,x(图形为凹的，知f'(x)单增，故f'(1)f'(2)，显然

（x2x）f)x((f1x)（x）xx(2f)1f)x(成立。

8

4.适用范围：

凹凸性是函数一个重要性质，它不仅是证明不等式的重要工具，也是讨论一些重要不等式的重要工具。当不等式可写成凹凸函数定义的形式或对一些函数值和且能够构造凸函数的不等式。

第三节 用泰勒公式证明不等式法

1.证明方法根据：泰勒定理

泰勒定理：若函数f(x)满足如下条件：

⑴在闭区间[a,b]上,函数f(x)存在直到n阶连续导数;⑵在开区间(a,b)内,存在f(x)的n1阶导数，则对任何x(a,b)，至少存在一点(a,b)，使得:

f(a)f(n)(a)f(n1)(a)2nf(x)f(a)f(a)(xa)(xa)(xa)(xa)n1

2!n!(n1)!

2.证明方法：

①根据已知条件，围绕证明目标，选取恰当的点将函数在这些点展成泰勒展开式；

②根据已知条件，向着有利于证明目标不等式的方向对上面的展式作适当的处理，直到可以结合已知条件证出不等式为止。（注意具体的题目应用此方法时要灵活运用，有些题目在进行①前，要先对已知条件或证明目标进行适当的转化，以更有利于证明的进行，使②不会过于繁琐。）

3.例：设f(x)二阶可导，且f''(x)0，x0

证明：由于f(x)连续。且x0

而x0limf(x)f(0)0limf(x)1x，求证f(x)x limf(x)f(x)11(x)xx，故有，即f(x)x(x)x，从 又f'(0)limx0f(x)f(0)f(x)lim1x0xx，由f(x)的带拉格朗日余f''()2f''()2xxx2!2! （在0与x之项的一阶泰勒公式，有f(x)f(0)f'(0)x

9

间），因为f''(x)0，故f(x)x

4.适用范围：

当遇到含有函数或高阶导数，或函数增量与高阶导数，或要证的是导数（一阶或二阶）不等式时，可利用泰勒公式来证明有关的不等式。

第四节 用幂级数展开式证明不等式法

１．证明方法根据：几个重要的初等函数的幂级数展开式

几个重要的初等函数的幂级数展开式如下：

ex1x121xxn,x(,)2!n!；

sinxx131x(1)n1x2n1,x(,)3!(2n1)!；

121412nxx(1)nx,x(,)2!4!(2n)!； cosx1

11xx2xn,x(0,1)1x；

11xx2x3(1)nxn,x(0,1)1+x；

n1213n1xln(1x)xxx(1),x(1,1]23n ；

(1x)1x(1)

2!x2(1)(n1)

n!xn,(1x1)。

初等函数是数学教学重点，某些初等函数可展开成幂级数，在展开式中添加或删去某些幂级数时，可很快证明出某些含幂级数的不等式。

2.证明方法：

先把初等函数展开成幂级数，然后在展开式中添加或删去某些幂级数即可快速证明此不等式。

10

1xe2x

3.例：当x(0,1)，证明1x

1,e2x

证明：因1x分别可写成幂级数展开式，有：1x(1x)(1xx2xn)12x2x22xn,x(0,1)1x

e2x2222nn12xxx,x(,)2!n!

2nxn2n

n3,2nn!时则左边的一般项为2x，右边的一般项为n!，因此当

1xe2x,x(0,1)1x

4.适用范围：

当不等式中含有上面几个重要初等函数之一，且用其他方法行不通时，可用幂级数展开式法来证明此不等式。

第五节 用定积分理论来证明不等式法

1.证明方法根据：定积分的性质和变上限辅助函数理论

积分不等式性质：设f(x)与g(x)为定义[a,b]在上的两个可积函数，若f(x)g(x),x[a,b]则有af(x)dxag(x)dx。 bb

微积分学基本定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，则由变动上限积分(x)f(t)dt,x[a,b]ax，定义的函数在[a,b]上可导，而且(x)f(x)。也就是说，函数是被积函数f(x)在[a,b]上的一个原函数。

微积分学基本定理沟通了导数和定积分这两个从表面看去似不相干的概念之间的内在联系。

2.证明方法：

1 1

①利用定积分的性质证明不等式法：对可积函数f(x)，g(x)，先证出f(x)g(x)，然后由定积分的性质可证af(x)dxag(x)dx； bb

②构造变上限辅助函数证明不等式法：对于含有定积分的不等式，可把常数变为变数构造辅助函数，利用变上限积分

类不等式。

3.例：证明：12xaf(t)dt及函数的单调性解决此xlnxdxxlnxdx12

证明（利用定积分性质）：当x[1,2]xx,lnx0，则xlnxxlnx。因xlnx，xlnx在[1,2]上均为连续函数，则xlnx,xlnx在[1,2]均可导，由定积分性质可知：2

1xlnxdxxlnxdx12

4.适用范围:

当不等式含有定积分（或被积函数f(x)g(x)时），可用定积分的性质来证明或构造上限辅助函数来证明。

第六节 引入参数证明不等式法

1.证明方法根据：将对数值不等式的证明转化为对函数不等式的证明，用微积分理论研究函数的性质，从而证明不等式。

2.证明方法：

引入参数t，构造辅助函数2[f(x)tg(x)]dx0ab，得到关于t的二次多项式，利用判别式0来证明不等式。

3.例：设

b2b2

aaf(x),g(x)在区间[a,b]上连续，证明：ba(f(x)g(x)dx)f(x)dxg2(x)dx

12 （柯西－许瓦茨不等式）

22f(x),g(x)，以及f(x)g(x)的积分不等式，引入参数分析：欲证不等式是函数

t，考虑辅助函数[f(x)tg(x)]在区间[a,b]上的积分。 2

证明：利用定积分的性质易知

bb2[f(x)tg(x)]dx0ab，

即t2g2(x)dx2tf(x)g(x)dxf2(x)dx0aaa

bb。这是关于t的二次多项式不等式，b2b

aa因此，判别式：

b2b2

aa4(f(x)g(x)dx)4f(x)dxg2(x)dx0ab2，即：(f(x)g(x)dx)f(x)dxg2(x)dxa．

4.适用范围：

22f(x)f当积分式含有平方项，或(x)的情形。

第七节 利用二重积分性质来证明不等式

1.证明方法根据：二重积分的性质

定理8：（二重积分的保序性）若f(x,y)与g(x,y)在D上可积，且f(x,y)g(x,y)，x,yD，则：f(x,y)dg(x,y)d。

2.证明方法：构造辅助函数，利用二重积分的保序性化简。

3.例：设f(x)，g(x)均为a,b 上得单调不减（增）连续函数，证明：(ba)f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx。

证明：由于f(x)，g(x)同为单调不减（增）函数， 令F(x,y)[f(x)f(y)][g(x)g(y)]，又[f(x)f(y)][g(x)g(y)]0

由二重积分的保序性，有：

[f(x)g(x)f(y)g(x)f(x)g(y)f(y)g(y)]dxdy0，

即f(x)g(x)dxdyf(x)g(y)dxdyf(y)g(x)dxdy，

于是有(ba)f(x)g(x)dxf(x)dxg(y)dyf(x)dxg(x)dx。

1 3

4.适用范围：当命题涉及积分f(x)dx,g(x)dx,f(x)g(x)dx，且f(x)与g(x)均单调增（减）时，可利用二重积分的保序性解题。

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山西财经大学毕业论文（设计）

参考文献

[1] 高等数学.同济大学数学系.高等教育出版社.2006

[2] 常微分方程.北京高等教育出版社.2006

[3] 数学分析.华东师范大学数学系.高等教育出版社.2001

[4] 概率论与数理统计.浙江大学.高等教育出版社.2008

[5] 数学三研究生历年真题.考研数学系列

[6] 数学三复习全书.李永乐.国家行政学院出版社.2012

[7] 数学基础过关660题.李永乐. 国家行政学院出版社.2011

[8] 考研数学基础教程.万学海文考研系列.2012

[9] 数学模考试题.叶盛标.2012

[10] 微积分教程.赵显曾.东南大学出版社.2002

[11]Inequality. G.H.Hardy, J.E.Littlewood, G.Pólya. 人民邮电出版社.2008.10

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[13] Calculus with Maple Labs. Wieslaw Krawcewica. 机械工业出版式社. 2008年09月第一版

[14] Introduction to Calculus and Analysis Volume. Richard Courant Fritz John. 世界图书出版公司北京公司.2008.1

[15]微积分.韩建新.经济科学出版社.2007

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致 谢

通过这次论文写作，我学到了很多知识，也掌握了很多技巧，虽然我的论文仍有很多的不足之处，有待改良和完善，但是这并不重要，重要的是我对这个问题有了更深一层的认识。非常感谢指导老师在写作中对我的帮助。这次毕业论文写作过程中，我还得到了很多同学的帮助以及很多老师的指点，他们给我提供了很多有材料和讲解，所以我的论文才得以顺利完成，在此我非常感谢给过我帮助的人和指导过我的所有老师。出来找工作了才发现学校的日子都成为了历史，我会珍藏这非常宝贵的时光。

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