子空间系统辨识方法的系统阶数估计

振　动　与　冲　击

第28卷第11期

JOURNAL OF V I B RATI O N AND SHOCK

Vol . 28No . 112009　

子空间系统辨识方法的系统阶数估计

杨　春

1, 2

, 欧进萍

1, 3

(1. 哈尔滨工业大学土木工程学院, 哈尔滨　150090; 2. 上海市政工程设计研究总院研发中心　200092;

3. 大连理工大学土木与水利学院, 大连)

　　摘　要:, “间断”点、奇异值梯度序列“间断”点、N I C (VC 4。并在S VC 的基础

上提出改进方法MS VC 。通过Monte o , MS VC 的估计效果优于其它4种准则。并。

关键词:; ;Monte Carl o 中图分类号+.5; N945. 14　　　文献标识码:A

　　子空间系统辨识方法是90年代初发展起来的一

种多输入多输出(M I M O ) 线性系统的离散时间状态空间模型的辨识方法。它以与传统的基于优化准则的系

[1]

统辨识方法相比具有多种优良特性而在许多领域得到广泛应用。目前, 子空间方法已形成4种具有代表

[2]

意义的离线算法, 分别为CVA (canonical variate anal 2

[3]

ysis ) ,MOESP (multivariable out put err or state s pace ) ,

[1]

N4SI D (nu merical algorith m s f or subs pace state s pace

[4]

syste m identificati on ) 和I V 24SI D (instrumental variable based subs pace state s pace syste m identificati on ) 。以上4种方法虽有所不同, 但将其中的矩阵投影视为经过不

[5]

同加权处理后则可以纳入统一理论框架。

在应用子空间方法时, 准确的系统阶数往往是未知的, 因此在辨识系统的同时也要估计系统的阶数。与其它系统辨识方法的阶数估计相比, 子空间方法的

[6]

优点是可以借助奇异值与阶数关系曲线确定。当被辨识系统阶数较小时, 关系曲线有明显的拐角, 这个拐角点对应的阶数即可作为系统阶数估计值。这种识图法对于低阶系统直观有效, 但不具有客观性和自动处理能力。对于高阶系统, 关系曲线比较平滑, 此时图识

[7]

法很难奏效。L jung 在Matlab 的系统辨识工具箱中使用搜索奇异值序列的“间断”点确定系统阶数。

[8]

Ta maoki 等人提出以奇异值的对数序列梯度最大点作为系统阶数。这两种方法具有自动处理能力, 不过仍缺乏客观性。另一类方法是具有自动化和客观性的

[9]

基于信息准则的系统阶数估计方法。Akaike 作为基于信息准则估计系统阶数的先驱, 提出了赤池信息准

基金项目:国家自然科学基金(50538020) ; 国家科技支撑计划项目

(2006BAJ03B05, 2006BAJ13B03)

[10]

则Akaike I nfor mati on Criteri on (A I C ) 。Kashyap 首次

[11]

引入Bayes 理论用于系统辨识, 之后Schwarz 正式提出系统阶数估计的Bayes 信息准则Bayes I nf or mati on Criteri on (B I C ) 。这两种信息准则都是在Kullback 2

[12][13]

Leibler 信息准则上发展而来的。然而子空间方法不能套用A I C 和B I C 估计系统阶数。目前, 只有少数学者对使用信息准则估计子空间方法的系统阶数做

[14]2

了专门研究。Peternell 由系统参数维数的χ分布, 提出一种形式上类似于信息准则的N -I nfor mati on Cri 2

[15]

teri on (N I C ) , 继而Bauer 在其基础上做出改进并提出奇异值准则Singular Value Criteri on (S VC ) 。以上两种准则都是利用奇异值所包含的信息构造类似于B I C 的信息准则。之所以说是类似于信息准则, 是因为其

[16]

似然函数比不具有标准渐近性。不过在满足一定的假设条件下, N I C 和S VC 得到的估计值为一致估计。这两种准则的不足是在有限样本的情况下, 往往低估系统阶数, 其原因是罚函数项较大。本文将在S VC 的基础上, 不影响估计一致性的前提下提出改进措施, 使用相对较小的罚函数项, 在相对少量的样本情况下就能得到准确估计。

1　状态空间模型与系统参数化

子空间方法中新息形式的离散时间状态空间模型可表示为:

x k +1=A x k +B u k +Ke k y k =Cx k +D u k +e k

n

m

r

r

(1)

其中, x k ∈R 、u k ∈R 和y k ∈R 分别为k 时刻的系统状态、输入和输出, e k ∈R 为k 时刻的系统干扰。A ∈、B ∈R 、C ∈R 、D ∈R 和K ∈R 为系统矩阵。假定系统稳定且最小相位, 则A 和A -KC 的特征值均位于单位圆内。e k 假设为零均值各态历经白噪

R

n ×n

n ×m

r ×n

r ×m

n ×r

收稿日期:2008-10-23　修改稿收到日期:2009-02-04第一作者杨　春男, 硕士, 1982年2月生通讯作者欧进萍男, 博士, 教授, 中国工程院院士

14振动与冲击　　　　　　　　　　　　　　　　　　2009年第28卷

声, u k 为持续激励的过滤白噪声。

子空间方法的优点之一是不需事先对系统进行参数化。这里的系统参数化是为了确定伪信息准则N I C 和S VC 中罚函数项里的系统独立参数θ的维数di m

[14]

(θ) 。Peternell 建议取di m (θ) =(pr -n ) (fr -n ) , 其中p 和f 为分别“过去”和“将来”输出数据块Hankel

[17]

矩阵的块行数。Bauer 根据传递函数与系统矩阵间的双射关系, 基于梯式规范型给出了系统(A, B , C, D,

[15, 16]

K ) 的参数θ的维数di m (θ) =2nr +nm +m r 。若系统矩阵D 为零矩阵, 则系统(A, B , C, K ) θ维数di m (θ) =2nr +nm 。

范数的平方, 即:

^n +1+S VC (n ) =σ

2

, T

1Φn Φf r -1(8) (9)

^=arg m in S VC (n ) n

1Φn Φf r-1

2　以下将回顾L Peternell 和Bauer 给出

的系统阶数估计准则, 并提出对S VC 的改进措施。

L jung 认为真实系统阶数对应的奇异值与后续奇异值间有明显的“间断”点, 提出一种搜索奇异值序列形式上的“间断”点以确定系统阶数, 即:

其中, T 取为数据样本数, 即T =j -1。S VC 能得到

。需要说明的是I C S VC, ]的模拟试验可以看出, 在样本数量有, S VC 对低阶系统能得到良好的阶数估计, 对高阶系统往往低估其阶数。其原因是S VC 中的罚函数项C (T ) d (n ) /T 相对较大。这里, 在不改变一致估计所需满足的条件下, 在S VC 基础上提出改进奇异值准则Modified Singular Value Criteri on (MS VC ) , 将T 的取值替换为输出数据块Hankel 矩阵中元素个数, T =f ×j ×r , 即:

^n >0. 5(ln ^1+ln ^fr ) }, σσσMO E (n ) ={n ∶ln

(2) 1Φn Φf r

^=arg m ax MO E (n ) n

1Φn Φfr

^n +1+M S VC (n ) =σ

2

() ()

, T

(10) (9)

1Φn Φf r -1

(3)

^=arg m in M S VC (n ) n

1Φn Φfr-1

其中, 符号“^”表示估计值。

Ta maoki 给出的方法的思想与L jung 的相似, 将搜索“间断”点变为搜索奇异值的相对变化最大点, 即:

RG (n ) =

其中, T 的取值与A I C 或B I C 的取值原则一致。由于

罚函数项的减小,MS VC 在样本数量相对较少的情况下就能得到准确的阶数估计。

^n -ln ^n +1σσln ^n +1σln

　1Φn Φfr -1(4)

^f r +ησ-ln

1Φn Φfr-1

3　模拟试验

为验证以上5种系统阶数

估计准则的可靠性以及f, p, j 的取值对各准则估计结果的影响, 对图1所示5层平面框架的N4SI D 子空间系统辨识做Monte Carl o 试验。试验数据采用AN 2

SYS 模拟, 在结构基底作用白噪声激励(可视为过滤白噪声的特殊情况) , 响应采用1、3、5、7、9节点的水平加速度。激励和响应的采样频率均为50Hz 。

结构尺寸单位为mm , 各构件的图1　5层平面框架截面为矩形, 尺寸为10×10结构示意图mm 。构件1～15的材料弹性模量(单位GPa ) 分别为210、210、200、210、200、190、190、190、180、190、180、200、180、170、190, 柱和梁的质量密

33

度分别为7800kg/m和3×7800kg/m。结构的阻尼采用Rayleigh 模型, 质量、刚度矩阵乘子由前两阶模态阻尼比确定, 前两阶模态阻尼比均取为0. 02。

由于输出采用加速度响应, 输入将直接影响输出,

^=arg m ax RG (n ) n

其中, η为任意正常数, 以避免分母出现0或负数。

Peternell 基于信息准则思想提出N I C 准则:

N I C (n ) =

k =n +1

(5)

() () 2

^σ+, k ∑

T

fr

1Φn Φfr -1(6) (7)

^=arg m in N I C (n ) n

1Φn Φf r-1

其中, T 取为输出数据块Hankel 矩阵的块列数j , C (T )

为T 的函数, d (n ) 为系统参数θ的维数。当m in (f, p )

α

Εn 0, max (f, p ) /(ln T ) →0, α=f +p +1, C (T ) >0, C (T ) /T →0, C (T ) /ln (ln T ) →∞时, N I C 能得到一致估计。这里n 0为真实的系统阶数。在满足以上条件的情况下, Peternell 取C (T ) 为ln T, 这个取值与B I C 相似。N I C 中第一项实际上等于模型降阶后的数据投影矩阵残余的Fr obenius 范数的平方。

针对由于N I C 中的Fr obenius 范数为奇异值平方之和的形式, 使其对f 和p 的取值比较敏感, Bauer 对N I C 做出改进, 将Fr obenius 范数的平方替换为矩阵2

第11期　　　　　　　　　　　　　　　杨　春等:子空间系统辨识方法的系统阶数估计15

系统矩阵D 不为零, 这里将N I C 、S VC 和MS VC 中的d (n ) 取为2n r +nm +m r 。结构的第6至10阶模态振型都是以竖向振动为主导, 不能由水平响应辨识得到。结构的第11阶模态频率为27. 65Hz, 超出了Nyquist 频率。因此该试验最多只能辨识得到结构的前5阶模态, n 0的准确取值为10。另外试验样本有限, 而且计算机存储也有限, f 和p 的取值不能无限大。在N4SI D

[14]

子空间方法中, f 和p 的取值相等。Peternell 将f 和p

α[15]

取为n 0Φf =p Φ(ln T ) , 其中1

观察表1至表5的Monte Carl o 试验统计结果,

j

MOE 准则没有低估现象, 当30Φf =p Φ45时, 准确估

^f =p =d p A I C , 其中d >1。[18]

计系统阶数的概率随j 的增大而增大, f 和p 越大, 高估

的概率越大; 当f =p =50时, 不论j 取值如何, 高估的概率均为1。这说明采用MOE 准则时, f 和p 的取值应较小, 而j 的取值应较大。RG 准则总体来说几乎没有高估现象, 。f 和p 较小时, RG , f 和p 较大时, VC 受试验样本数, 1。MS VC 的效果, MS VC 准确估计阶j 的增大而增大。当30Φf =p Φ40时, 均无高估现象, 且几乎不受f 和p 变化的影响; 当f =p =45时出现高估现象, 但j 的增大减小了高估的概率。MS VC 出现高估的原因可能是试验条件不能严格满足第2节的假设条件。这个现象也在文献[15]的低阶系统阶数估计中出现。以上分析表明这5种准则中MS 2VC 的总体估计结果最好。

15000

>100. 060. 000. 000. 000. 00

=101. 000. 290. 000. 000. 33

>100. 000. 000. 000. 000. 00

20000=101. 000. 360. 000. 001. 00

>100. 000. 000. 000. 000. 00

表1　各准则的系统阶数估计概率(f =p =30)

5000

=100. 460. 120. 000. 000. 00

>100. 540. 000. 000. 000. 00

10000=100. 940. 200. 000. 000. 13

估计阶数

MOE RG N I C S VC MS VC

表2　各准则的系统阶数估计概率(f =p =35)

j

5000

=100. 100. 070. 000. 000. 03

>100. 900. 000. 000. 000. 00

10000=100. 470. 150. 000. 000. 19

>100. 530. 000. 000. 000. 00

15000=100. 790. 160. 000. 000. 40

>100. 210. 000. 000. 000. 00

20000=100. 920. 150. 000. 001. 00

>100. 050. 000. 000. 000. 00

估计阶数

MOE RG N I C S VC MS VC

表3　各准则的系统阶数估计概率(f =p =40)

j

5000

=100. 010. 020. 000. 000. 03

>100. 990. 000. 000. 000. 00

10000=100. 290. 080. 000. 000. 19

>100. 710. 000. 000. 000. 00

15000=100. 320. 030. 000. 000. 44

>100. 680. 000. 000. 000. 00

20000=100. 730. 000. 000. 001. 00

>100. 270. 000. 000. 000. 00

估计阶数

MOE RG N I C S VC MS VC

16振动与冲击　　　　　　　　　　　　　　　　　　2009年第28卷

表4　各准则的系统阶数估计概率(f =p =45)

j

5000

=100. 000. 010. 000. 000. 03

>101. 000. 000. 000. 000. 00

10000=100. 020. 000. 000. 000. 13

>100. 980. 000. 000.

15000=100. 010. 000. 000. 0. >100. 990. 000. 0007

20000=100. 330. 000. 000. 001. 00

>100. 670. 000. 000. 000. 00

估计阶数

MOE RG N I C S VC MS VC

表5(=p =50)

j

5000. 991. 001. 000. 97

0. 000. 000. 000. 000. 03

>101. 000. 010. 000. 000. 00

=100. 000. 000. 000. 000. 09

>101. 000. 000. 000. 000. 03

15000=10

0. 000. 000. 000. 000. 01

>

101. 000. 000. 000. 000. 28

20000=100. 000. 000. 000. 000. 83

>101. 000. 000. 000. 000. 15

估计阶数

MOE RG N I C S VC MS VC

值为8或10, 为8的概率大于为10的概率, 且两者的

概率几乎不受f 和p 变化的影响; 当f =p =50时出现高估现象。概率分布图的分析结果也表明MS VC 的性能相对更好。

4　结　论

系统阶数估计是子空间方法的一个重要环节。准确的系统阶数估计是得到最优辨识系统的前提。但目前针对子空间方法的系统阶数估计进行理论研究的文献屈指可数。本文总结了具有自动处理能力的4种准则, 并在S VC 准则的基础上, 在不影响估计一致性的前提下给出了其改进措施。通过对一个5层平面框架系统阶数估计的Monte Carl o 试验, 比较了这5种准则的估计可靠性以及f, p, j 对估计结果的影响, 得到以下主要结论:

(下转第24页)

　　图2至图4为j =10000, f 和p 由30变化至50的各准则的系统阶数估计概率分布图。可以看出MOE 估计的概率分布较宽, 最高估计值达到20。RG 的估计值为8或10, 且估计值为8的概率大于10的概率。N I C 的估计值在4至6之间, 估计值为6的概率随f 和p 的增大而增大。S VC 的估计值为2或4, 当f =p Ε40时估计值为4的概率为1。MS VC 在f =p Φ45时, 估计

24振动与冲击　　　　　　　　　　　　　　　　　　2009年第28卷

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3　结　论

通过实验分析可以获得以下结论:

(1) 将列车通过产生的各种噪声综合近似为一个线声源, 并假设每一小段辐射功率相同, 用单极子和偶极子辐射模型近似噪声的传播方式是可行的;

(2) 根据近轨和远轨的不同情形, 对处于声影区和声亮区的测试点分别建立模型, 声影区测点的噪声采用偶极子线声源模型; 子线声源模型预测;

(3) , 好, 性提供了参考, 。

参考文献

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[3]Leeu wen H J A. Rail w ay noise p redicti on models:a compari 2

(上接第16页)

　　(1) 各准则的准确估计、低估和高估的概率及估

计值的概率分布结果显示MS VC 的总体性能优于其它4种方法。

(2) 根据MS VC 的试验结论, f 和p 的最佳取值为3n 0至4n 0, j 的取值应尽量大。

N I C 、S VC 和MS VC 是使用信息准则的形式的伪信息准则, 而且只是一致估计的充分条件。因此以后需要继续研究真正意义上基于信息准则且计算不太复杂的系统阶数估计方法和一致估计的必要条件。另外第2节中的相关假设在实际应用中较难满足, 在不满足假设的情况下其估计结果的误差规律也值得研究。

[1]

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200　　　　　　　　　　　JOURNAL OF V I B RATI O N AND SHOCK 　　　　　　　　　　　　Vol . 28No . 112009

O rder esti m a ti on for subspace system i den ti f i ca ti on m ethods

YAN G Chun

1, 2

, OU J in 2ping

1, 3

(1. School of Civil Engineering, Harbin I nstitute of Technol ogy, Harbin 150090, China;

2. Research and Devel opment Center, ShanghaiM unici pal Engineering Design General I nstitute, Shanghai 200092, China;

3. School of Civil and Hydraulic Engineering, Dalian University of Technol ogy, Dalian )

　　Abstract:　Four different esti m ati on criteri ons, na mely, the of the gradient gap of singular value sequences, N I C and singular value criteri on (S , r criteri on MS VC was p r oposed based on S VC . The perf or mances of these five Monte Carl o test . The results in 2dicate that the effect of MS VC is superi or t . were p resented for the choice of the numbers of bl ock r ows and bl ock based on the test results .

(pp:13-16, 24) Key words:ati on; singular value criteri on; Monte Carl o

Fault d i a gnosis of rolli n g elem en t bear i n g

ba sed on m orpholog i ca l f ilter and grey i n c i dence

SHEN L u, ZHOU X iao 2j un, ZHAN G W en 2bin, ZHAN G Zh i 2gang

(Zhejiang Pr ovince Key Laborat ory of Advanced Manufacturing Technol ogy,

I nstitute ofModern M anufacturing Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310027, China )

　　Abstract:　Considering the str ong noise backgr ound and lack of sa mp le in fault diagnosis of r olling ele ment bearing, a r olling ele ment bearing fault diagnosis method was p r oposed based on mor phol ogical filter and grey incidence . Fault characteristic can be extracted by mor phol ogical difference filter without considering frequency s pectrum of vibrati on sig 2nal . The method of grey incidence has good perfor mance in s mall 2sa mp le classificati on and can be used in recogniti on of r olling ele ment bearing fault pattern . The fault signal was filtered by mor phol ogical filter, the unitary magnitude of charac 2teristic frequency extracted was considered as characteristic vect or and then the fault pattern was classified by use of grey incidence bet w een unkno wn pattern and standard fault pattern . Experi m ent results show the effectiveness of the method .

Key words:mor phol ogical filter; grey incidence; difference filter; r olling ele ment bearing; fault diagnosis

(pp:17-20)

Pred i cti n g tra i n no ise rad i a ti on on eleva ted v i a duct and its appli ca ti on

ZHAN G Hai 2bin, WAN Q uan, J I AN G W ei 2kang

(State key laborat ory of mechanical syste m and vibrati on, Shanghai J iaot ong University, Shanghai 200240, China )

　　Abstract:　The p redicti on of traffic noise radiati on and the evaluati on of its i m pact on the regi ons al ong the elevated viaduct are hel p lul t o op ti m ize the design of the elevated viaduct and t o l ower the noise disturbance . On the munici pal ele 2vated viaducts, the train noise p r ofile was modeled by assu m ing the train passing noise as a line s ound s ource with constant power per unit length . Both monopole and di pole directivities were emp l oyed t o describe the s p read of train noise . The ex 2peri m ent was done t o illustrate the validity of models . These t w o models are suitable f or different cases of measuring points l ocati ons . The work p r ovides a good reference f or p redicting the train noise radiati on on the elevated viaducts .

(pp:21-24) Key words:train noise; nu merical model; munici pal elevated viaduct

Ana lyti c m odel for the respon se to wa ter bl a st of

one 2d i m en si ona l nava l structure w ith el a sti c foam coa ti n gs

CHEN Yong , ZHAN G Zh i 2yi , HUA Hong 2xing , WAN G Yu

1

1

1

2

(1. State Key Laborat oryMechanical Syste m of V ibrati on, Shanghai J iaot ong University, Shanghai 200240, China;

2. Naval Research Center, Beijing 100085, China )

　　Abstract:　Theoretical modeling on the water blast res ponse of one 2di m ensi onal naval structure coated with elastic