三角函数图像及其变换
三角函数图像及其变换
知识要点:
一、正弦、余弦、正切函数图象和性质
二.研究函数y =A sin(ωx +ϕ), x ∈R (其中A >0, ω>0) 的单调性、对称轴、对称中心仍然是将ωx +ϕ看着整体并与基本正弦函数加以对照而得出。它的最小正周期T =基础练习
2π |ω|
1π
1. 函数y =2sin(x +) 的最小正周期T =
23
2.函数y =sin
ππx
的最小正周期是 若函数y =tan(2ax -) 的最小正周期是, 则a=____.
223
3.函数y =2π
6
-2x )(x ∈[0, π])为增函数的区间是
4.函数y =2cos(x -5. 函数y =2sin(2x -
ππ
2
)(≤x ≤π) 的最小值是363
π
3
) 的对称中心是;对称轴方程是
增区间是 .
6. 已知a=tan1,b=tan2,c=tan3,则a,b,c 的大小关系为
7.给出下列命题: ①存在实数x ,使sin x cos x =1成立;
⎛5π⎫
-2x ⎪是偶函数; ⎝2⎭π5π⎫⎛
③直线x =是函数y =sin 2x +⎪的图象的一条对称轴;
4⎭8⎝
④若α和β都是第一象限角,且α>β,则tan α>tan β.
②函数y =sin ⑤f (x ) =3sin(2x +
, 0) 对称; 63
其中结论是正确的序号是.
π
), x ∈R 的图象关于点(-
π
三、利用“五点法”作函数y =A sin(ωx +ϕ), x ∈R (其中A >0, ω>0) 的简图,是将ωx +ϕ看着一个整体,先令ωx +ϕ=0,
π
2
, π,
3π
, 2π列表求出对应的x 的值与y 的值,用平滑曲线连结各点,即可得到其在一个周期2
内的图象。
例:画出函数f (x )=2sin(2x+30)在一个周期内的简图。
四.图象变换
(1)振幅变换 y =s i n x , x ∈R y =A sin x , x ∈R
(2)周期变换 y =s i n x , x ∈R y =sin ωx , x ∈R
(3)相位变换 y =s i n x , x ∈R y =sin (x +ϕ) , x ∈R
(4)上下平移变换 y =sin x , x ∈R
y=sinx +k
(5)复合变换 由y =sin x , x ∈R 变为 y =A sin(ωx +ϕ), x ∈R
y =s i n x , x ∈R y =sin (x +ϕ) , x ∈R
y =sin(ωx +ϕ), x ∈R
y =A sin(ωx +ϕ), x ∈R
例题:1. 函数y =
3x π
周期是频率是;相位是初sin(+) 的振幅是;
226
相是 .
x π
2. 为了得到函数y =2sin(+), x ∈R 的图像,只需把函数y =2sin x , x ∈R 的图像上所有的点
36
( )
π6π
(B )向右平移
6π
(C )向左平移
6π
(D )向右平移
6
变式训练:
(A )向左平移
1
个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)
31
个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)
3
个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
1.已知简谐运动f (x ) =2sin
π⎫⎛π⎫⎛
1) ,则该简谐运动的最小正周期T 和x +ϕ⎪ϕ
2⎭⎝3⎭⎝
初相ϕ分别为
3
π
2. 若把一个函数的图象按a =(-,-2)平移后得到函数y =cos x 的图象,则原图象的函数解析式是
( )
(A )y =cos(x +) -2 (B )y =cos(x -) -2 (C )y =cos(x +) +2 (D )y =cos(x -) +2
3
3
3
3
ππππ
3.为了得到函数y =sin(2x -
π6π
C. 向左平移
6
A. 向右平移
π
)的图象,可以将函数y =cos2x 的图象 ( ) 6
π
个单位长度 B. 向右平移个单位长度
3π
个单位长度 D. 向左平移个单位长度
3
五.求函数y= Asin(wx+φ)+b 的解析式的方法与步骤
① 求A 、b ,确定函数的最大值M 和最小值m ,
则 A= b=
②求w ,确定函数的周期T ,则 ③求φ,常用方法有: (1)代入法:
(2)五点法:
例题 1、已知函数y =A sin(ωx +ϕ) 在同一周期内,当x =小值-
π
9
时,取得最大值
14π,当x =时,取得最29
1
,则该函数的解析式是 ( ) 2
1π1π
(A ) y =2sin(x -) (B ) y =sin(3x +)
36261π1π
(C ) (D ) y =sin(3x -) y =sin(-3x +) 2626
2、1. 下列函数中,图像的一部分如右图所示的是( ) π(A )y =sin(x +) (B )y =sin(2x -π) 66π(C )y =cos(4x -) (D )y =cos(2x -π) 36
变式训练
1、一正弦曲线的一个最高点为(,3) ,从相邻的最低点到这最高点的图象交x 轴于(-纵坐标为-3, 则这一正弦曲线的解析式为 .
2、函数y =A sin(ωx +ϕ), (A >0, ω>0, |ϕ|
141
,0) ,最低点的4
π
) 的最小值是-2,其图象相邻最 2
高点与最低点横坐标差是3π,又:图象过点(0,1),求函数解析式。
课后练习
1.函数y =sin 2x 的图象向右平移ϕ(ϕ>0)个单位,得到的图象关于直线x =为 ( )
π
6
对称,则ϕ的最小值
5π11π11π (B ) (C ) (D ) 以上都不对 12612
2.若函数f (x ) 图象上每一个点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的两倍,然后再将整个图象沿x 轴
π1
向右平移个单位,向下平移3个单位,恰好得到y =sin x 的图象,则
22
f (x ) =. (A )
3.将函数y =5sin(-3x ) 的周期扩大到原来的2倍,再将函数图象左移( )
π
,得到图象对应解析式是 3
3π3x 7π3x -) (B ) y =5sin(-) 22102π3x
(C ) y =5sin(-) (D ) y =5sin(-2π-6x )
22(A ) y =5sin(
4.要得到函数y =
2cos x 的图象,只需将函数y =2sin(2x +
π
4
) 的
图象上所有的点的( )
π
个单位长度 4π
B .横坐标伸长到原来的2倍,再向右平行移动个单位长度
8
1π
C .横坐标缩短到原来的倍,再向右平行移动个单位长度
241π
D.横坐标缩短到原来的倍, 再向左平行移动个单位长度
28
A .横坐标伸长到原来的2倍,再向左平行移动5.函数y =
6.已知函数y =A sin(ωx +ϕ) (A >0,|ϕ|
π1π2x
sin (-)的单调减区间是 . 243
下图所示,则函数的解析式为 .
4π
7. 把y =cos(x +)图象向左平移ϕ(ϕ>0) 个单位,所得函数为偶函数,则ϕ的最小值是 .
3
题型3:图像性质的简单应用
例3、已知函数f (x )=A sin (ωx +θ) A >0, ω>0,|θ|
2⎭
侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x 0,3),(x 0+2π, -3),
⎛⎝
π⎫
⎪的图象与y 轴交于点 0, ⎪,它在y 轴右
⎛⎝3⎫2⎭
(1)求函数y =f (x )的解析式;
能力检测题
1.(2007年福建).已知函数f (x ) =sin ωx +
⎛
⎝π⎫
⎪(ω>0) 的最小正周期为π,则该函数的图象( ) 3⎭
A .关于点
ππ⎛π⎫⎛π⎫
,0⎪对称 B .关于直线x =对称 C .关于点 ,0⎪对称 D .关于直线x =对称
43⎝3⎭⎝4⎭
2.(2007年江苏卷1).下列函数中,周期为
A .y =sin
π
的是( ) 2
x x
B .y =sin 2x C .y =cos D .y =cos 4x 24
⎛
⎝
π⎫
⎪的图象( ) 3⎭
3.(07年山东卷文4).要得到函数y =sin x 的图象,只需将函数y =cos x -A .向右平移
πππ
个单位 B .向右平移个单位C .向左平移个单位 633
D .向左平移
π
个单位 6
5.(2007年江西卷文2).函数y =5tan(2x +1) 的最小正周期为 6.要得到y =sin
7.对于函数y =A sin(ωx +ϕ) , (A,ω, ϕ均为不等于0的常数) ,有下列说法: ①最大值为A ; ②最小正周期为|④由2k π-
2π
|; ③在[0, π]至少有一个x ,使得y =0;
x ⎛x π⎫
的图象,只需将函数y =cos -⎪的图象 2⎝24⎭
ω
π
2
≤ωx +ϕ≤2k π+
π
2
(k ∈Z ) 解得x 的区间范围即为原函数的单调增区间。其中正确的说法是
8.函数y =tan(2x -
π
4
) 的单调增区间为.
π
)的最小正周期是π,
2
14.(07年浙江卷理2)若函数f (x ) =2sin(ωx +ϕ) ,x ∈R (其中ω>0,
f (x )=