微分中值定理的应用
1 引言
微分中值定理是微分学基本定理,是构成微分学基础理论的重要内容,它包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理.罗尔定理是拉格郎日中值定理的特殊情形,柯西中值定理是拉格郎日中值定理的推广.微分中值定理是沟通函数与其导数之间关系的桥梁,在数学分析中的地位是不容置疑的,然而大多数的学生在学习微分中值定理时忽视了它在解题中的应用,而微分中值定理的条件并不苛刻,应用起来非常方便,在解题中有广泛应用.针对这种情况,本文在前人研究的基础上,把微分中值定理在解题中的应用进行归纳整理,对微分中值定理在研究函数的性态、讨论方程的根、证明等式、证明不等式四个方面的应用进行探讨,有助于学生更好地掌握微分中值定理的应用,加深对微分中值定理的理解. 以提高学生对微分中值定理的进一步认识和理解,达到学以致用的目的.然而大多数的学生在学习微分中值定理时学习了理论而忽视了它在解题中的应用.而微分中值定理的条件并不苛刻,应用起来非常方便,在解题中有广泛应用. 因此,针对这种情况,把微分中值定理在解题中的应用进行归纳整理,以提高学生对微分中值定理的进一步认识和理解,达到学以致用的目的,同时对微分中值定理内容的教学提供一定的指导.
2文献综述
2.1 国内研究现状
近年来,国内许多学者对微分中值定理在解题中的应用进行了一定的研究. 文[1]从恒等式的证明、不等式的证明、方程及函数性质的讨论三个方面论述微分中值定理的应用;文[2]、文[6]从讨论方程根的存在性问题、讨论级数的敛散性、利用微分中值定理求极限等方面对微分中值定理在解题中的应用进行了研究;文[3]讨论函数零点的存在性、研究函数的单调性方面研究微分中值定理在解题中的应用;文[4]、文[12]从微分中值定理的内容,证明方法,应用方面进行了研究;文[5]从探究性教学研究方向出发,对微分中值定理在讨论函数性态、证明等式、证明不等式方面的应用做了一定探究;文[7]从利用微分中值定理证明相关的命题入手,研究微分中值定理在高等数学和初等数学方面的应用;文[8]主要从构造另类辅助函数入手,研究了微分中值定理的另类证明和应用;文[9]从一类特殊的命题—“含有的命题”的证明入手,介绍微分中值定理在这类问题中的应用.文[10]从研究函数性态方面入手研究微分中值定理在解题中的
应用;文[11]、文[13]通过举例说明了微分中值定理在研究函数性态、证明等式方面的应用;文[14]从证明等式,方程根的存在性与个数问题等方面研究微分中值定理在解题中的应用.文[15]介绍了拉格朗日中值定理的内容及其证明方法,同时介绍了它的推广—柯西中值定理的证明方法和应用.
2.2 国内外研究现状评价
综合国内外研究现状可以看出,国内对微分中值定理在解题中应用的研究,仁者见仁,智者见智.其中,较大多数只对函数的性态或者方程的根或者不等式、等式的证明研究微分中值定理在解题中某方面的应用,研究比较分散,没有系统地归纳和研究.并且部分研究着重于研究微分中值定理在求极限、讨论级数敛散性方面的运用,这超出了我们目前学习的范围,不利于对微分中值定理的理解.
2.3 提出问题
针对上面出现的情况,把在解题中利用到微分中值定理的问题进行归纳和整理,并总结出一些相应的技巧,有利于学生加深对微分中值定理的理解,同时,也有助于学生更好掌握微分中值定理的应用.也使新知识在原有基础上得到巩固和内化,并能使学生灵活运用所学的知识,探索新的问题的解决途径,从而达到拓宽思路,提炼和升华思维,建构起自己的知识体系.
3 微分中值定理
微分中值定理是微分学基本定理,是构成微分学基础理论的重要内容,它包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理.
定理1( 罗尔定理) 若函数f(x)满足下列条件:
(1)在闭区间[a,b]连续;
(2)在开区间(a,b)可导;
(3)f(a)f(b),
则在开区间(a,b)内至少有一点c,使
f(c)0.
定理2(拉格朗日中值定理) 若函数f(x)满足下列条件:
(1)在闭区间[a,b]连续;
(2)在开区间(a,b)可导,
则在开区间(a,b)内至少有一点c,使
f(c)f(b)f(a) . ba
定理3(柯西中值定理) 若函数f(x)与g(x)满足下列条件:
(1)在闭区间[a,b]连续;
(2)在开区间(a,b)可导,且x(a,b),有g(x)0,则在(a,b)内至少存在一点c,使
f(c)f(b)f(a). g(c)g(b)g(a)
4 微分中值定理在解题中的应用
4.1 研究函数的性态
利用拉格朗日中值定理能够很方便的判断出函数的单调性,其方法是:若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则有:如果在(a,b)内f(x)0,则f(x)在[a,b]上严格单调增加;如果在(a,b)内f(x)0,则f(x)在[a,b]上严格单调减少.
再利用函数的单调性及函数图象上峰值点与各值点的性质,便可以很方便地求出函数的极值.其方法为:确定函数的定义域,并求出f(x),然后求出定义域内的所有驻点,并找出f(x)连续但f(x)不存在的所有点,讨论驻点和不可导点左右两侧附近f(x)的符号变化情况,从而确定函数的极值点,并求出相应的极大值和极小值.
例1 设函数f(x)在[0,)内连续,在(0,)内可导,且f(0)0,其导函数f(x)在(0,)内严格单调增加. 求证:函数g(x)f(x)在(0,)内严格单调增加1. x
分析:根据题设可得g(x)满足拉格朗日中值定理的条件,因此,要证明
g(x)f(x) x
在(0,)内严格单调增加,利用拉格朗日中值定理,只需要证明g(x)0即可. 证明:由于g(x)f(x),有 x
g(x)xf(x)f(x)1f(x)f(x) ① 2xxx
由题设知f(x)在(0,x)内满足拉格郎日中值定理,故(0,x),使得
f(x)f(0)
x0f()
又由于f(0)0,所以有
f(x)
xf()
将②带入①,得:
g(x)1
xf(x)f()
由于yf(x)在(0,x)内严格单调增加,故
f(x)f()
于是
g(x)0, 即g(x)f(x)
x在(0,)内严格单调增加.
例2 求函数yx
x的极值2
ln.
分析:利用拉格朗日中值定理,根据解此类题的步骤,可容易解题.
解:函数的定义域为:(0,1)(1,).而
ylnx1
ln2x,
令y0,即
lnx1
ln2x0,
解得驻点xe,由于该函数在定义域内没有导数不存在的点,
且当xe时,y0;当xe时,y0.
②
所以,xe是函数f(x)的极小值点,其极小值为f(e)e.
4.2 讨论方程的根
在我们所学过的方程中,除了二次方程根的问题容易讨论外,如果遇到复杂的方程,往往无从下手.对于存在性问题,我们一般通过分析题设条件,结合已学过的定理进行分析并解决.在讨论根的存在性问题时,罗尔定理为我们解决一些复杂的代数方程的根的存在性问题提供了一个很好的方法.并且罗尔定理的条件并不苛刻,给一个定义在闭区间[a,b]上的函数,只需要这个函数在这个区间连续,在开区间(a,b)内可导,再满足f(a)f(b).通过构造函数来验证函数是否满足罗尔定理,若满足,则可用罗尔定理来解决函数根的存在问题.
例3 证明方程5x44x10在[0,1]内至少有一个根3.
分析:通过观察可发现方程左端5x44x1是函数f(x)x52x2x的导数,而f(x)在闭区间[0,1]内连续,在开区间(0,1)内可导,且f(1)f(0),满足罗尔定理.因此,可通过构造函数运用罗尔定理解题.
证明:构造函数
f(x)x52x2x,
显然,f(x)在闭区间[0,1]内连续,在开区间(0,1)内可导,又由于
f(1)f(0)0,
由罗尔定理可知,在0与1之间至少存在一点c,使得f(c)0,而
f(x)5x44x1,
即方程5x44x10在[0,1]内至少有一个根.
例4 不求函数f(x)(x1)(x2)(x3)的导数,说明方程f(x)0有几个实根,并指出它们所在的区间.
分析:根据题目已知条件,可知f(x)0是一个一元二次方程,最多有两个实根,而f(x)在区间[1,2]和区间[2,3]上都满足罗尔定理,故方程f(x)0至少有两个实根,可
利用罗尔定理解此题,需要注意的是此题与上例的不同之处在于,此题不需要构造函数.
解:由题意可知,函数f(x)在闭区间[1,2]上连续,在开区间(1,2)上可导,且有
f(2)f(1),
由罗尔定理可得,至少存在一点1(1,2),使得
f(1)0.
同理,函数f(x)在闭区间[2,3]上连续,在开区间(2,3)上可导,且有
f(3)f(2),
由罗尔定理可得,至少存在一点2(2,3),使得
f(2)0,
故方程f(x)0至少有两个实根,因为f(x)0是一个一元二次方程,所以f(x)0最多有两个实根.因此,方程f(x)0有且仅有两个实根,分别在区间(1,2)和区间(2,3)中.
4.3 证明等式
证明等式是数学分析中常见的问题,而许多复杂等式的证明,根据等式两边式子的形式,可通过构造函数的方式,验证是否满足微分中值定理,如果满足,则可运用微分中值定理,以得到与待证等式相接近的式子,通过变形,整理,最后化为待证式子,在证明此类问题时,通常运用到的是柯西中值定理,关键在于要能构造出适当的函数.
例5 证明:若函数f(x)在[a,b]上可导(0ab),则存在c(a,b),使得
f(b)f(a)bf(c)ln4. ca
分析:观察待证等式两边,可将待证等式变形为
f(b)f(a)f(c). b1lnac
而
lnb1lnblna,(lnc), ac
故可构造函数
g(x)lnx,
由题目已知条件可知,f(x)和g(x)满足柯西中值定理的条件,故可用柯西中值定理证明.
证明:构造函数
g(x)lnx,
由题意知,f(x)在在[a,b]上可导,故f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导而
g(x)lnx,
故g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且
g(x)10, x
满足柯西中值定理,因此c(a,b),使得
f(b)f(a)f(c), g(b)g(a)g(c)
整理得
f(b)f(a)f(c), 1lnblna
c
即
f(b)f(a)bf(c)ln. ca
命题得证.
例6 若函数f(x)在[x1,x2]中可导且x1x20,证明存在(x1,x2)使得
x1f(x2)x2f(x1)[f()f()](x1x2).
分析:可构造函数
g(x)1f(x),h(x), xx
通过验证满足柯西中值定理,再进行解题.与例5不同之处在于,例6所需构造的函数较复杂,不易得出.因此,要解此类型的题,需要多做练习,总结规律,巧妙构造函数.
证明:构造函数
g(x)1f(x), h(x). xx
由于x1x20,所以0[x1,x2] ,从而g(x),h(x)在[x1,x2]上可微,且g(x),h(x)不同时为零,g(x1)g(x2),因此,g(x)、h(x)满足柯西中值定理的条件,故(x1,x2),使得
h(x2)h(x1)h(), g(x2)g(x1)g()
即
f(x2)f(x1)f()f()x2x12
, 1112x2x1
整理得
x1f(x2)x2f(x1)f()f(), x1x2
即
x1f(x2)x2f(x1)[f()f()](x1x2).
注意:若此题改为证明
x2f(x2)x1f(x1)[f()f()](x2x1),
则构造函数
g(x)xf(x),h(x)x,
再运用柯西中值定理进行求解;或者构造函数
F(x)xf(x),
用拉格朗日中值定理进行求解.
4.4 证明不等式
不等式是数学中的重要内容,微分中值定理在证明不等式中起着很大的作用.对于部分不等式的证明可构造函数,运用微分中值定理判断出此函数的单调性,利用单调性证明不等式;除此之外,部分不等式的证明可构造函数后直接运用微分中值定理得出一
个等式后,对这个等式根据自变量取值范围的不同进行讨论,得到不等式.
x2
例7 求证x0时,ln(1x)x. 2
分析:可构造函数
x2
f(x)ln(1x)(x), 2
则可得f(x)在[0,)上连续,在(0,)内可导,可运用微分中值定理判断其单调性,再利用单调性进行证明.
证明:构造函数
x2
f(x)ln(1x)(x), 2
因为f(x)在[0,)上连续,在(0,)内可导,且
1x2
f(x)1x. 1x1x
当x0时,
x2
f(x)0, 1x
所以当x0时,f(x)是单调增加的,故当x0时,
f(x)f(0)0,
即f(x)0,从而
x2
ln(1x)x 2
例8 证明不等式sinbsinaba.
证明:构造函数
f(x)sinx,
则f(x)在区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且
f(x)cosx,
由拉格朗日中值定理得,(a,b),使得
f(b)f(a)f(), ba
即
sinbsinacos, ba
整理得
sinbsinacos(ba). 因为cos1,所以
sinbsinacosbaba.
不等式得证.
例9 利用微分中值定理证明: 证明:构造函数
f(x)ln(1x), xln(1x)x,x0. 1x
则f(x)在[0,x)上连续,在(0,x)内可导,且
f(x)1, 1x
由拉格朗日中值定理得,(0,x),使得
ln(1x)ln11, x01
即
ln(1x)x, 1
因为0x,所以
xxx, 1x1
即
xln(1x)x. 1x
5 结论
5.1 主要发现
微分中值定理是微分学基本定理,微分中值定理是沟通函数与其导数之间关系的桥梁,在数学分析中的地位是不容置疑的,微分中值定理的条件并不苛刻,因此,可用它来解决数学分析中的许多问题.本文通过介绍微分中值定理在研究函数的性态、讨论方程的根、证明等式、证明不等式四个方面的应用,有助于学生更好地掌握该定理的解题应用,加深对微分中值定理的理解.
5.2 启示
通过微分中值定理在数学分析中解题时的应用的归纳整理,给出微分中值定理在研究函数性态,讨论方程的根、证明等式、证明不等式中的应用,使学生更进一步理解微分中值定理,也使新知识在原有基础上得到巩固和内化,并能使学生灵活运用所学的知识,探索新的问题的解决途径,从而达到拓宽思路,提炼和升华思维,建构起自己的知识体系.
5.3 局限性
由于微分中值定理运用广泛,涉及到的解题运用问题也较多,限于本人的能力水平有限,文中未能一一列出,这是本文的不足. 且在文中提到的微分中值定理在研究函数的性态、讨论方程的根、证明等式、证明不等式四个方面的应用问题时,多半要通过构造函数来解决,构造函数是解题的关键,而构造函数不是一个简单的过程,许多问题不能根据已知条件快速构造出函数,这是在运用微分中值定理解题时的一大难题,而本文并未提出解决这一难题的办法,是本文的又一不足之处.
5.4 努力方向
在今后的学习和研究中将不断地深入探讨微分中值定理在求解其他问题中的应用,并且研究解决在运用微分中值定理研究函数的性态、讨论方程的根、证明等式、证明不等式四个方面问题时构造函数这一难题,以弥补本文的不足.
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[15] A.R.辛钦著,王会林,齐民友译.数学分析八讲[M].武汉:武汉大学出版社.1998:127~129.
致 谢
感谢曲靖师范学院丁雪梅老师,丁老师是一位平易近人的良师,同时也是一名优秀的导师,感谢您对我论文耐心的指导,新锐的启发,认真的审阅。感谢您在百忙之中对我毕业论文从选题到写作再到最后定稿所付出的辛劳!感谢您在我即将离开曲靖师范学院最后的这个炎热的夏天对我人生方向的指引!
感谢易美英、陈加杰、张巧莲、菊培花、游涵羽同学,在论文写作信息及联系指导老师方面对我的帮助。
在过去的四年日子里,我满怀憧憬和希望,用自己的青春写下了美丽的大学篇章。在师长和前辈的帮助下,走出了迷茫,走向了理想。在这里我想向所有帮助过我,鼓励过我的人们致以最诚挚的谢意,感谢你们在人生最关键的时刻给予我的指引!