基于自相关函数相位的频率估计方法方差分析
第33卷 第4期2007年11月
大连海事大学学报Journal of D alian Maritime University
Vol. 33 No. 4Nov. , 2007
文章编号:1006 7736(2007) 04 0005 05
基于自相关函数相位的频率估计方法方差分析
齐国清, 吕 健
a
b
(大连海事大学a. 信息工程学院; b. 航海学院, 辽宁大连 116026)
摘要:为了分析基于自相关函数相位频率估计方法的性能, 推导了加性高斯白噪声背景中正弦信号观测数据
的相关函数相位噪声的表示式, 得到了相位噪声方差的计算公式和基于自相关函数相位的频率估计方差的计算公式, 给出了此类频率估计方法的估计方差与信噪比、观测数据长度以及对相关函数相位差进行平滑时利用的相关函数的点数关系. 仿真结果与该文给出的公式计算结果吻合很好.
关键词:自相关函数; 频率估计; 方差分析; 正弦信号; 误差分析
中图分类号:TN911. 72 文献标志码:A
Variance analysis on sinusoid frequency estimators based on
the argument of the sample autocorrelation function
QI Guo qing , LV Jian
a
b
(a . Colle ge o f In forma tion Enginee rin g ;
b . College o f N a vigation , Dalian Mariti me Universi ty, Dalian 116026, China)
Abstract :Frequency estimators based on the argu ment of the sample autocorrelation function ou tperform those based on the phase of the samples of the sinusoid si gnal in additi ve white Gaussian noise background. The expression of the noise in the argu ment of the sample au tocorrelation function was given to investigate the performance of these esti mators. And formulas for evaluating the variance of sample au tocorrelation argument noise and the variance of frequency estimation based on the sample autocorrelation argu ment were derived. The re lations among frequency esti mation variance and signal to noise ratio, length of the measuremen t time, and sample numbers used in smoothing the autocorrelation function can be determined using these formulas. Computer simulation results confirm the correctness of the proposed formulas.
Key words :autocorrelation function; frequency esti mation; variance analysis; sinusoid; error analysis
0 引 言
加性高斯白噪声(AW GN) 背景中单一正弦信
号频率的估计是通信、雷达以及振动信号处理等领域中经常遇到的一个问题. Rife 和B oorstyn 利用最大似然(ML)法估计正弦信号频率. 单一正弦信号频率估计率的关键问题是估计精度、频率范围和算法的速度. 虽然最大似然估计可使均方误差达到最小, 但ML 算法复杂、速度慢, 不利于实
[1]
时处理, 一般很少直接采用ML 估计. 为了实现快速高精度频率估计, 国内外学者提出了很多方法. 根据正弦信号瞬时相位与频率的关系, Tretter 提
出了利用信号瞬时相位估计频率的方法. 该方法理论上可获得较好的估计效果, 但实际中直接利用采样序列的瞬时相位估计频率存在致命的弱点. 相位只能在主值范围内测量, 而信号的相位在观测期间的实际变化范围一般远远超过2 , 因此在相位测量中存在模糊问题. 虽然可以利用相位
[2]
收稿日期:2007 09 11
:() , E
6 大连海事大学学报 第33卷 展开技术(phase unwrapping) 解决2 模糊问题, 但相位展开不仅增加了计算量, 而且在信噪比较低的情况下进行相位展开十分困难. 为了避免相位
[3]
测量中出现2 模糊问题, Kay 利用采样序列的相位差来估计频率. 相位差估计频率虽然较好地解决了相位模糊问题, 但在信噪比较低时, 估计性能仍与ML 估计相差较大, 即Kay 法的信噪比阈值较高. 为了解决Kay 法在低信噪比时性能下降的问题, Fitz 提出以相关函数相位加权平均作为ML 估计的近似. 当信号频率较低且信噪比较低时相邻两个采样点的瞬时相位的变化与噪声幅度相比很小, 因此相位差的估计很困难. 而Fitz 法不仅利用了相邻采样点的相位差, 还利用了相距较远的采样点的相位差, 因而在低信噪比时估计性能比Kay 法好. 但求相隔较远的采样点的相位差也使得该方法的频率估计范围减小. 因为频率较高时, 相隔较远的采样点的相位差容易超出 . 基于同样的考虑, Luise 和Reggiannini 提出了加权线性预测频率估计方法(L&R).L &R法与Fitz 法原理基本一致, 因为在高信噪比时Fitz 法的频率估计公式中对相关函数求相位可以移到求和号外面. 另外, 为了实现方便, L&R法略去了Fitz 估计公式中的加权系数而取等权求和. 显然, Kay 法的不加权相位平均方法相当于Fitz 法和L &R法M =1的情况. Fitz 法及L&R法由于利用相关函数的相位而不是采样序列本身的相位来估计频率, 从而使得信噪比较低时的估计性能得到改善(信噪比阈值降低) , 但求相关函数的相位也使得频率估计范围很小, 因为信号频率较高时, 相关函数的相位同样会出现2 模糊问题. 为了增大频率估计范围, 可以减小L &R法和Fitz 法频率估计公式中的M , 但随着M 的减小, 频率估计均方误差也会相应的增加. 为了改进频率估计范围, Mangali 和Morelli 提出利用相关函数的相位差而不是相位本身来估计频率(M&M)的方法, 使频率估计范围大大增加, 但计算量比Fitz 法和L &R法略大, 且均方根误差也略高. 上述方法中, Fitz 法的信噪比阈值较低, 可达-10dB, 而M&M法在0dB 以上, 而且Fitz 法均方根误差也小于M&M法. Fitz 法的最大缺点是频率估计范围小. 为此, 本文作者提出一种在Fitz 法基础上改进的频率估计方法, 此法在保留Fitz 法优点的基础上, 大大提高了Fitz 法的频率估计范围. 目前还没有一种频率估计方法[7]
[5]
[4]
优. 国内外学者仍在探讨更好的方法, 近几年又有几种正弦信号频率估计新方法被提出
[8 10]
. 本文
在文献[4]、[7]的基础上, 对基于信号采样数据的相关函数相位的频率方法进行深入的研究, 并对
其性能进行详细的分析.
1 改进的Fitz 法频率估计原理
针对直接利用观测信号的相位估计频率在低信噪比时性能差的问题, Fitz 提出了利用自相关函数的相位估计AW GN 背景中单一频率复正弦信号频率的方法. AW GN 背景中的单一频率复正弦信号的观测序列可表示为
j ( n t +! )
0+w (n ) , z (n ) =b 0e
n =0, 1, 2, , N -1
2
2
2
[4]
(1)
式中:w (n ) 为复白噪声; ∀为方差, SNR 0=b 0 ∀. 利用观测序列估计正弦信号的频率归结为求使下式达到最大对应的 , 即
#( ) =
N
i =1N
2
!
z i e
-j i t
(2)
定义非归一化的相关函数
R (m ) =
N -1
k =m +1
!
z k z k -m , 1∀m ∀N -1
*
(3)
求式(2) 对 的导数并令其为零, 得
Im[
m =1
!
mR (m ) e
-j m t
]|
=^
ML
=0(4) (5)
相关函数可以表示为
R (m ) =A e
j m t
+v m
其中, v m 为等效噪声. 在 t 较小情况下, R (m ) 的相位(或虚部) 随m 的增加近似线性增加, 而噪声与m 无关. 对于一定频率的信号, m 越大估计 的误差越小, 因此式(4) 中的加权系数随m 增加.
由于
arg{E [R (m ) ]}= m t
在N 较大、 t 较小情况下, 有
Im[R (m ) e
-j m t
(6)
]=A sin(arg{R (m ) }-(7)
m t ) #A (arg{R (m ) }- m t )
式(4) 可近似为
N -1
Im[
m =1
! m [arg{R (m ) }-
m t ]|
=^
ML
=0
(8)
解上式得到 的近似ML 估计为
m arg{R (m ) }^ ML =! N (N -1) (2N -1) t m =1
N -1
第4期 齐国清, 等:基于自相关函数相位的频率估计方法方差分析 7 若只利用M (
m arg{R (m ) }! M (M +1) (2M +1) t m =1
(10)
为了简化计算, 便于实时处理, 可略去式(8) 中加权系数m 而进行等权平均, 这时频率估计简化为
^ =arg{R (m ) }! M (M +1) t m =1
M
M
详细推导给出Fitz 法及改进方法的频率估计方差的计算公式, 以便对其性能进行理论分析.
2 频率估计位误差分析
式(1) 重写为
z (n ) =b 0{e
j ( n t +! )
+u (n ) },
(16)
(11)
0∀n ∀N -1
差为var(u n ) =1 SNR 0. 式(6) 可表示为
z (n ) =b 0e
j ( n t +! )
式中, u (n ) =w (n ) b 0仍为复高斯白噪声. 其方
[1+u (n ) ]
模拟试验结果显示, 相位加权平均与不加权
平均性能差别很小, 而且在M =N 2附近不加权的频率估计均方根误差略小于加权平均.
Fitz 法利用相关函数R (m ) 的相位arg{R (m ) }的平均值估计频率. 为了保证频率估计的正确性, R (m ) 每个值的相位都不能出现模糊. m =0时arg{R (0) }=0, arg{R (m ) }随m 增加而线性增加, 当arg{R (m ) }超过 时, arg{R (m ) }的测量值开始出现模糊. 因此Fitz 法的无模糊频率估计范围为
| M t |
用 表示Fitz 法的频率范围, 则有
=
M t
(13) (12)
(17)
式中, u (n ) =u (n ) e
-j ( n t +! )
, u (n ) 的统计特性
与u (n ) 相同. 将式(17) 代入式(3) , 得
R (m ) =b 0e
k =m +1
2
j m t
{N -m +
!
N
[u (k ) +u (k -m ) +u (k ) u (k -m ) ]}
*
*
(18)
令
k =m +1
!
N
[u (k ) +u (k -m ) +u (k ) u (k -m ) ]=
v I (m ) +jv Q (m )
(19)
**
则有
R (m ) =b 0e
2
j m t
L&R法和M&M法的频率范围分别为2 (M t ) 和 t , 可见Fitz 法的频率范围为L&R法的一半, 仅为M&M法的1 M . 为了获得较大的频率范围, M 应尽量小. 为了使得均方根误差达到最小, M 应接近N 2. 可见Fitz 法无法同时使频率范围较大和估计误差最小.
为了增大Fitz 法的频率范围, 本文作者在文献[7]中提出了一种改进的Fitz 法. 定义R (m ) 的相位差
∃(m ) =arg{R (m +1) }-arg{R (m ) }
(15)
不考虑噪声影响, 只要 ∃(m )
文献[4]、[7]分别讨论了上述方法的频率估计原理, 并通过仿真实验分析了频率估计误差, 但而
{N -m +
(20)
v I (m ) +jv Q ) (m ) }
显然, E [v I ]=E [v Q ]=0, 当信噪比较高时, std[v Q ] N -m , P [|v Q |>(N -m ) ] 1, 所以R (m ) 的相位可表示为
arg{R (m ) }=tan {
0m t #
N
-1
v Q (m )
}+
N -m +v I (m )
(21)
v Q (m )
+ 0m t
N -m
v Q (m ) =Im{
k =m +1
*
!
[u (k ) +u (k -m ) +
*
u (k ) u (k -m ) ]}=
k =m +1
!
N
[u Q (k ) -u Q (k -m ) +u I (k ) ∃
(22)
u Q (k -m ) +u Q (k ) u I (k -m ) ]}
式中, u I (k ) 和u Q (k ) 分别为u (k ) 的实部和虚部. var(u I ) =var(u Q ) =var(u ) 2=var(u ) 2=1 (2SNR 0). 对于不同的m , 上式中前两项下标相同的虚部互相抵消. 对于m ∀N 2, v Q (m ) 中的前
8 大连海事大学学报 第33卷
v Q (m ) =
k =1
!
m
[-u Q (k ) +u Q (N +1-k ) ]+
m =1
6
∃
M (M +1) (2M +1) t
k =m +1
!
N
[u I (k ) u Q (k -m ) +u Q (k ) ∃
u I (k -m ) ]
(23)
!
M
N -m
k =1
! [-
m
u Q (k ) +u Q (N +1-k ) ]
(28)
信噪比较高时, 可忽略式(23) 中第2项, 得v Q (m ) #
k =1
将相同的u Q (k ) 及u Q (N +1-k ) 的项合并, 得
v =M (M +1) (2M +1) t ∃
m =1
! [-
m
u Q (k ) +u Q (N +1-k ) ]
(24)
! !
M m
k =1
[
][-u Q (M +1-m )+N -k
u Q (N -M +m ) ]
(29)
2
此时, R (m ) 的相位方差可近似表示为
var{arg[R (m ) ]}=
var[v Q (m ) ]
#(N -m )
频率估计方差可表示为
var(^ ) =
M (M +1) (2M +1) t
m =1
1m 1
{2m var[u Q ]}=(N -m ) (N -m ) SNR 0
(25)
利用R (m ) 的相位误差可以分析与Tretter 方法相比Fitz 法采用R (m ) 的相位估计频率的优点. 相位展开出错的概率与相位测量误差的大小有关. Tretter 法直接利用z (n ) 的相位估计频率, 需要对z (n ) 的相位进行展开, 展开效果取决于z (n ) 的相位测量误差. 根据Tretter 式(9) , z (n ) 相位方差为var{arg[z ]}#1 (2SNR 0). Fitz 法及改进方法的频率估计性能取决于R (m ) 的相位方差. 根据式(25) , R (m ) 的相位方差随m 的增加而增加,
当
m
=
N 2
时(m =1~N 2) ,
var{arg[R (m ) ]}达到最大, var{arg[R (N 2) ]}= R (m )
[1+]N 2SNR 02SNR 0
(26)
的相位展开误差主要由
var{arg[R (m ) ]}最大处的误差决定, 其最大误差与Tretter 法的相位方差的关系可表示为
max var{arg[R (m ) ]}#
4
arg[z ]}(27) N
∃
!
M
M
[
k =1
!
m
m
]2[2var{u }=
Q
N -k
2
M (M +1) (2M +1) t
m =1
∃
(30)
!
%
[
k =1
!
]2N -k SNR 0
同理, 可得按式(11) 进行不加权频率估计时的频率估计方差为
var{ }=
M (M +1) t
2
∃
(31)
m =1
!
M
[
k =1
!
m
2]N -k SNR 0
式(30) 、(31) 可作为信噪比较高情况下, Fitz 法及
本文改进的Fitz 法的频率估计方差计算公式.
3 计算及仿真结果
为了方便比较, 在下面的计算及仿真中均使用不带量纲的频率%= t . 首先通过仿真实验验证按式(25) 计算的R (m ) 的方差的准确性. 图1中实线所示为在SNR =20dB, N =40, %=
由此可见, 当N 较大时, R (m ) 的相位最大方差远小于z (n ) 的相位方差. 因此, 对R (m ) 的相位进行展开比直接z (n ) 的相位展开容易得多.
m 取不同值时, R (m ) 不是独立的, 而是相关的, 故不能直接利用arg{R (m ) }的方差求^ 的方差. 为了分析^ 的方差, 分析式(10) 中噪声成分. 根据式(21) 和(24) , 式(10) 表示的频率估计的噪声可表示为
m 6
(m ) =v =1) M 1) t m 1-Q
M
图1 R (m ) 的方差计算结果与仿真对比
0. 4 条件下, 按本文给出的公式计算的相关函数R (m ) 的方差随m 变化的情况, 图中&*∋表示1000次仿真的平均结果. 可见本文给出的公式的图
第4期 齐国清, 等:基于自相关函数相位的频率估计方法方差分析 9 24, %=0. 48 时改进的Fitz 法与相位展开后的Tretter 方法的频率估计方差突变时的信噪比阈值的仿真结果对比, 图中实线为改进后的结果,
虚线
4 结 语
本文研究的方法通过对相关函数的相位进行展开, 改进了该方法的频率估计范围. 相关函数对噪声具有平滑作用, 因此对观测信号的相关函数的相位进行展开比直接展开观测信号本身的相位受噪声影响小得多. 理论分析和仿真结果表明, 改进的Fitz 法的阈值明显低于(相位展开的) Tretter 法. 本文给出了分析改进Fitz 法的频率估计方差的公式. 仿真实验结果与本文给出的公式计算结果吻合很好, 给出公式也适用于原始Fitz 法的频率估计方差分析. 参考文献(References):
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图2 改进Fitz 法与Tretter 法阈值比较
为Tretter 方法结果. 可见改进的Fitz 法的阈值比
Tretter 法低约10dB. 按式(27) 计算改进的Fitz 法的相关函数的相位方差的最大值比相同条件下Tretter 法低约8dB, 仿真结果与计算结果基本吻合. 按式(30) 和(31) 计算N =40, SNR =20dB 条件下, 用Cramer Rao 下限(CRB) 归一化的改进Fitz 法的频率估计均方根误差随M 变化的情况, 结果如图3所示. 图3中实线表示加权情况, 虚线表示不加权情况, 加权与不加权相差很小, 而且M =N 2以后再继续增加, 效果不明显. 图4所示为N =24, SNR =20dB, %=0. 48 , 按式(30) 计算结果(加权情况) 与仿真结果(10000次) 的对比情况, 图4中实线为按公式计算结果, &。∋表示仿真结果. 可见仿真结果与本文给出的计算公式吻合得非常好
.
图3 频率估计归一化标准差随M
变化情况
图4 归一化标准差计算结果与仿真结果对比