11稳恒电流和稳恒磁场习题解答
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第十一章 稳恒电流和稳恒磁场
一 选择题
1. 边长为l 的正方形线圈中通有电流I ,此线圈在A 点(如图)产生的磁感应强度B 的大小为( )
A. C .
μ0I μI
B. 0 4πl 2πl
2μ0I
D. 0 πl
解:设线圈四个端点为ABCD ,则AB 、AD 线段在A 点产生的磁感应强度为零,BC 、CD 在A 点产生的磁感应强度由
选择题1图
4πl 4πd
垂直纸面向里
μI 2μ0I ππ
B CD =0(cos-cos ) =,方向垂直纸面向里
4πl 428πl
2μ0I
合磁感应强度 B =B BC +B CD =
4πl
所以选(A )
2. 如图所示,有两根载有相同电流的无限长直导线,分别通过x 1=1、x 2=3的点,且平行于y 轴,则磁感应强度B 等于零的
地方是:( )
A. x =2的直线上
B =
μ0I
(cosθ1-cos θ2) ,可得 B BC =
μ0I
(cos
ππ-cos ) =422μ0I
,方向8πl
B. 在x >2的区域 C. 在x
选择题2图
D. 不在x 、y 平面上 解:本题选(A )
3. 图中,六根无限长导线互相绝缘,通过电流均为I ,
Ⅰ Ⅱ区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ均为相等的正方形,哪一个区域指向
Ⅲ Ⅳ纸内的磁通量最大?( )
A. Ⅰ区域 B. Ⅱ区域 C .Ⅲ区域
D .Ⅳ区域 E .最大不止一个
选择题3图
解:本题选(B )
2
4. 如图,在一圆形电流I 所在的平面内,选取一个同心圆形闭合回路L ,则由安培环路定理可知:( )
A. ∮L B ·d l =0,且环路上任意一点B =0
B. ∮L B ·d l =0,且环路上任意一点B ≠0 C. ∮L B ·d l ≠0,且环路上任意一点B ≠0 D. ∮L B ·d l ≠0,且环路上任意一点B =常量
选择题4图
解:本题选(B )
5. 无限长直圆柱体,半径为R ,沿轴向均匀流有电流,设圆柱体内(r R )的磁感应强度为B e ,则有:( )
A. B t 、B e 均与r 成正比 B. B i 、B e 均与r 成反比 C. B i 与r 成反比,B e 与r 成正比 D. B i 与r 成正比,B e 与r 成反比
I
解:导体横截面上的电流密度J =,以圆柱体轴线为圆心,半径为r
πR 2
μIr
的同心圆作为安培环路,当r
2πR μI
r
2πr
所以选(D )
6. 有三个质量相同的质点a 、b 、c ,带有等量的正电荷,它们从相同的高度自由下落,在下落过程中c a b
× × 带电质点b 、c 分别进入如图所示的匀强电场与匀强磁
× × 场中,设它们落到同一水平面的动能分别为E a 、E b 、
× × E c ,则( )
E
B
A. E a
选择题6图
C. E b >E a =E c D. E b >E c >E a
解:由于洛伦兹力不做功,当它们落到同一水平面上时,对a 、c 只有重力做功, 则E a =E c ,在此过程中,对b 不仅有重力做功,电场力也要做正功,所以E b >E a =E c
所以选(C )
7. 图为四个带电粒子在O 点沿相同方向垂直于磁力线射入均匀磁场后的偏转轨迹的照片,磁场方向垂直纸面向外,四个粒子的质量相等,电量大小也相等,则其中动能最大的带负电的粒子的轨迹是:( )
a A. Oa B. Ob b
C. Oc D . Od
B 解:根据F =q v ⨯B ,从图示位置出发,带负O
选择题7图
3
电粒子要向下偏转,所以只有Oc 、Od 满足条件,又带电粒子偏转半径R =∴R 2=
2E k m B q
2
2
m v
,Bq
,质量相同、带电量也相等的粒子,动能大的偏转半径大,所以选
Oc 轨迹
所以选(C )
8. 如图,一矩形样品,放在一均匀磁场中,当样品中的电流I 沿X 轴正向流过时,实验测得样品A 、A '两
侧的电势差V A -V A '>0,设此样品的载流子带负电荷,则
磁场方向为:( )
A . 沿X 轴正方向 B .沿X 轴负方向
C .沿Z 轴正方向 选择题8图
D .沿Z 轴负方向 解:本题选(C )
9. 长直电流I 2与圆形电流I 1共面,并与其一直径相重合如图(但两者间绝缘),设长直电流不动,则圆形电流将:( )
A. 绕I 2旋转 B. 向左运动 C. 向右运动 D. 向上运动 E. 不动 I 1 解:圆形电流左半圆和右半圆受到长直电流安培力的方向均向右,所以圆形电流将向右运动
所以选(C ) 选择题9图
二 填空题
1. 成直角的无限长直导线,流有电流I =10A,在直角决定的平面内,距两段导线的距离都是a =20cm处的磁感应强度B = 。(μ0=4π×10-7N/A2)
解:两根导线在a 点产生的磁感应强度大小相等,方向相同
B 1=B 2=
μ0I
4πr
(c o θs 1-c o θs 2) =
μ0I
4πr
(
(2+2) μ0I 2
+1) = 28πr
(2+2) μ0I (2+2) ⋅10-7⋅10
==1. 7⨯10-5 T B =2B 1=
4πr 0. 2
4
2 图中,将一根无限长载流导线在一平面内弯成如图所示的形状,并通以电流I ,则圆心O 点的磁感应强度B 的值为 。
解:圆心处的磁感应强度是由半圆弧产生的,根据毕奥—萨伐尔定律
μI d l ⨯r B =0⎰ 34πr
填空题2图 μI π a μI
B =02=0
4πa 4a 3 磁感应强度为B =a i +b j +c k (T),则通过一半径为R ,开口向Z 正方向的半
球壳表面的磁通量的大小为 Wb 。
解:在Z 方向上的磁感应强度B Z = c,则在半球壳表面上的磁通量 Φm = BZ S=πR 2c Wb
4. 同轴电缆,其尺寸如图所示,它的内外两导体中的电流均为I ,且在横截面上均匀分布,但二者电流的流向正相反,则:(1)在r R 3处磁感应强度大小为 。
I
解:内筒的电流密度j =,由安培环路定理
πR 12
B ⋅2π r =μ0j π r 2 μj π r μ0Ir
=当
r
填空题4图
当r >R 3时,内外电流强度之和为零,所以B 2 =0
5. 将半径为R 的无限长导体薄壁管(厚度忽略)沿轴向抽去一宽度为h (h
均匀地流有电流,其面电流密度为i (如图) ,则管轴线上磁
感应强度的大小是 。
解:轴线上磁感应强度可看成是完整的无限长圆筒电流和狭缝处与圆筒电流密度相等但方向相反的无限长线
μ0ih
电流产生的磁场的合成。计算结果为。 2πR
6. 如图,一根载流导线被弯成半径为R 的1 / 4
× × × ×
圆弧,放在磁感强度为B 的均匀磁场中,则载流导
线a b 所受磁场作用力的大小为 ,方× 向 。
解:a b弧所受的安培力可等效为a b线段所受
× 填空题6图
5
到的安培力,由图示,则a b线段l =2R
∴F ab =BI l =2BIR ,方向沿y 轴正方向。
7. 磁感应强度B =0.02T的均匀磁场中,有一半径为10cm 圆线圈,线圈磁矩与磁力线同向平行,回路中通有I =1A的电流,若圆线圈绕某个直径旋转1800,使其磁矩与磁力线反向平行,设线圈转动过程中电流I 保持不变,则外力的功W 。
解:线圈磁通量Φ=BS =0. 02⋅π⋅(0. 1) 2=6. 28⨯10-4Wb ,外力做的功 W =-I ∆Φ=-I (-Φ-Φ) =2I Φ=1. 26⨯10-3J
8. 边长分别为a 、b 的N 匝矩形平面线圈中流过电流I ,将线圈置于均匀外磁场B 中,当线圈平面的正法向与外磁场方向间的夹角为1200时,此线圈所受的磁力矩的大小为 。
解:磁力矩M =m ⨯B =NISB sin 1200=NabIB /2
9. 面积相等的载流圆线圈与载流正方形线圈的磁矩之比为2:1,圆线圈在其中心处产生的磁感应强度为B 0,那么正方形线圈(边长为a )在磁感应强度为B 的均匀外磁场中所受最大的磁力矩为 。
m 2
解:设载流圆线圈与载流正方形线圈的磁矩分别为m 1、m 2,则1=,
m 21
I 2
又因为它们的面积相等,所以1=,圆线圈在其中心处产生的磁感应强度
I 21μI μI
B 0=0,圆线圈的半径r =01, S 1=π r 2,S 2=a 2,且S 1=S 2,
2B 02r
μI
∴π(01) 2=a 2
2B 0
I 2aB 0aB 02
可得I 1=,又由1=,∴I 2=,
I 1μ0πμ0π2
∴M 2=m 2B =I 2S 2B =
aB 0
μ0⋅a ⋅B =
2
B 0Ba 3
μ0
三 计算题
1. 在真空中,电流由长直导线1沿底边ac 方向经a 点流入一电阻均匀分布的正三角形线框,再由b 点沿平行底边ac 方向从三角形框流出,经长直导线2返回电源(如图)。已知直导线的电流强度I ,三角形框的每一边长为l ,求三角形中心O 处的磁感应强度B 。
6
解:令B 1、B 2、B acb 和B ab 分别代表长直长导1、2和三角形框的ac 、cb 边及ab 边在O 点产生的磁感应强度。则B =B 1+B 2+B acb +B ab 由毕奥一萨伐尔定律,有
μI π
B 1=0(cos0-cos ), Oe =3l /6
64πOe
∴B 1=
μ0I
(23-3), 方向垂直纸面向外 4πl
(cos
计算题1图
B 2:对O 点导线2为半无限长直载流导线
4πOb
由于电阻均匀分布,又ab 与acb 并联,有 I ab ⋅ab =I acb ⋅(ac +cb ) =2I acb ⋅ab , 即
I ab =2I acb
B 2=
μ0I
μ0I π
-cos π) =, Ob = l /3 方向垂直纸面向里 24π l
代入毕奥—萨伐尔定律有 μI ππ
B ab =0ab [cos-cos(-)],方向垂直纸面向里
664πOe μI ππ
B ac =B cb =0acb [cos-cos(-)],方向垂直纸面向外
664πOe
有 B ab +B a c b =0
∴B =B 1+B 2+B ab +B acb =B 1+B 2
μ0I μI
(1-2+) =03(-1) 方向垂直纸面向里 4πl 4πl
2. 在半径为R 的木球上绕有细导线,每圈彼此平行紧密相靠,并以单层覆
即 B =B 2-B 1=
盖住半个球面,共有N 匝。设导线中通有电流I ,求球心处的磁感应强度。
解:B =⎰d B =⎰
μ0r 2d I
2R
3
NI
R d θ 其中:r =R sin θ,d I =R 2
所以: B =⎰
μ0r d I
2R 3
2
=
π⎰02
μ0IN sin θ
πR
2
d θ=
μ0IN
4R
7
3. 有一闭合回路由半径为a 和b 的两个同心共半圆连接而成,如图,其上均匀分布线密度为λ的电荷,当回路以匀角速度ω 绕过O 点垂直于回路平面的轴转动时,求圆心O 点处的磁感应强度。
解:圆心O 点处的磁感应强度是带电的大半圆线圈转动产生的磁感应强度B 1、带电的小半圆线圈转动产生的磁感应强度B 2和两个带电线段b-a 转动产生的磁感应强度B 3的矢量和,由于它们的方向相同,所以有 B o =B 1+B 2+B 3
2π2b 2b ⋅2π4
μI μωπa λμ0ωλωπa λ
, B 2=02=0 I 2==2π2a 2a ⋅2π42λωd r b
, B 3=d B 3=μ0⋅2λωd r =μ0λωln b d I 3=⎰
⎰a 2r 2π2π2πa
I 1=
ωπb λ
, B 1=
μ0I 1
=
μ0ωπb λ
=
μ0ωλ
故 B o =
μ0λω
b (π+ln ) 2πa
4. 已知空间各处的磁感应强度B 都沿x 轴正方向,而且磁场是均匀的,
B =1T,求下列三种情形中,穿过一面积为2m 2的平面的磁通量。求:(1)平面与yz 平面平行;(2)平面与xz 平面平行;(3)平面与y 轴平行,又与
x 轴成450角。
解:(1)平面法线与x 轴平行,B =1i ∴Φ=B ⋅S =±2Wb
(2)平面与xz 坐标面平行,则其法线与B 垂直,有Φ=B ⋅S =0
(3)与x 轴夹角为450的平面,其法线与B 的夹角为450或1350故有 ∴Φ=B ⋅S =BS cos 45︒=1. 41Wb 或Φ=B ⋅S =BS cos 135︒=-1. 41Wb 5. 如图有一长直导线圆管,内外半径为R 1和R 2,它所载的电流I 1均匀分布在其横截面上,导体旁边有一绝缘“无限长”直导线,载有电流I 2,且在中部绕了一个半径为R 的圆圈,该导体管的轴线与长直导线平行,相距为d ,而且它们与导体圆圈共面,求圆心O 点处的磁感应强度B 。
解:圆电流产生的磁场:
B 1= μ0 I 2 /(2R ) 方向垂直纸面向外
长直导线电流的磁场:
B 2=μ0 I 2 /(2πR )方向垂直纸面向外
导体管电流产生的磁场: 计算题5图
8
B 3= μ0 I 1/ [2π(d +R )] 方向垂直纸面向里 圆心点处的磁感应强度 B =B 1+B 2-B 3 =
μ0I 2
2R
+
μ0I 2
2πR
-
μ0I 1
2π(d +R )
=
μ0I 2(R +d )(1+π) -RI 1
2π.
R (R +d )
方向垂直纸面向外
6 一无限长圆柱形铜导体(磁导率μ0),半径为R ,通有均匀分布的电流I ,今取一矩形平面S (长为1m ,宽为2R ),位置如右图中画斜线部分所示,求通过该矩形平面的磁通量。
I
解:圆柱体的电流密度j =,在圆柱体内部与导体中心轴线相距为r 处2
πR
的磁感强度的大小,由安培环路安律可得: μI
B =02r , (r ≤R )
2πR 因而,穿过导体内画斜线部分平面的磁通量φ1为
μ0I R μ0I Φ1=⎰B ⋅d S =⎰B d S =⎰o d r =
4π2πR 2
在圆形导体外,与导体中心轴线相距r 处的磁感强度计算题6图 大小为
μI
B =0, (r >R )
2π r
因而,穿过导体外画斜线部分平面的磁通量φ2为
μI 2R μ0I Φ2=⎰B ⋅d S =⎰R d r =0ln 2
2π r 2π
穿过整个平面的磁通量
μI μI
Φ=Φ1+Φ2=0+0ln 2
4π2π
7. 在如图所示的质谱仪中,P 与P '板间电场是300V ⋅cm -1,磁场为B =0.5T,如果离子源包含镁的三种同位素,12Mg 24、12Mg 25、12Mg 26,这三种离子的质量差为m 3-m 2=m 2-m 1=1.67×10-27kg ,且都只有单位电荷,那么这三种同位素在照相底板上所成三条纹之间的距离是多少?
解:通过速度选择器(即由电场和磁场共存的空间)的离子速度满足等式 q v B =qE ,
计算题7图
9
∴v =E / B
离子在磁场中(进入S 3后)作圆周运动射到照相底片上,其圆周运动的半径为
R =m v / (qB )=m E / (q B2)
D =2R =2m E /(q B 2 )
∴∆l 32=D 3-D 2=2E (m 3-m 2) /(qB 2)
∆l 21=D 2-D 1=2E (m 2-m 1) /(qB 2)
△l 32=△l 21=
2⋅300⋅1. 67⨯10-271. 6⨯10-19⋅(0. 5) 2
m =2. 51⨯10-3m =2. 51m m
8.
9. 一无限长直导线通以电流I ,其旁有一直角三角形线圈通以电流I 2,线圈与直导线共面,相对位置如图,试求电流I 1对AB 、CA 两段载流导体的作用力。
μ0I 1
. l 2d l 解:在AB 段导线上 d F AB =
2π(a +l ) b μ0I 1I 2μI I a +b
F AB =⎰d l =012ln
02π(a +l ) I 1 2πa 2
方向垂直AB 向下 在AC 段导线上任取一电流元I 2d l ,它离开I 1的距离为r ,I 2d l 所受力的大小为 dF AC =I d l ⋅B
d r
根据几何关系有 d l =
c o θs
μI I d r
所以 d F AC =012
2π r cos θ
.
. μ0I 1I 21a +b a +b μ0I 1I 2d r F AC =⎰a =ln . 2π r cos θ2πcos θa
. F AC 的方向与AC 垂直,斜向上。
10. 一圆线圈的半径为R ,载有电流I ,置.
计算题9图
. . . . . . . . . . . . . . A .
于均匀外磁场B 中(如图示)。在不考虑载流圆计算题10图 线圈本身所激发的磁场情况下,求线圈导线上的张力。(已知载流圆线圈的法线方向与B 的方向相同)。 解:考虑半圆形载流导线所受的安培力 F m =IB ⋅2R 列出力的平衡方程式 IB ⋅
2R =2T
10
故 T =IBR
11. 一半径为R =0.1m的半圆形闭合线圈,载有电流I =10A,放在均匀外磁场中,磁场方向与线圈平面平行,磁感应强度B =5.0×10-2T ,求:
(1) 线圈所受力矩的大小?
(2) 线圈在该力矩作用下转900角,该力矩所作的功?
πR 2
e n ,e n 为垂直纸面向外的单位矢量 解:(1)m =I S =I 2
I πR 2
M =m ×B =e n ×B
2
I πR 2B 1
=×10π(0. 10) 2×5. 0×10-2=7. 9×10-3N ⋅m M 的大小 M =22
(2) W =⎰M d ϕ=I ∆Φ=
o
π
1
I πR 2B =7. 9×10-3J 2
12. 一矩形线圈边长分别为a=10 cm 和b =5 cm,导线中电流为I = 2 A,此线圈可绕它的一边OO '转动,如图.当加上正y 方向的B =0.5 T 均匀外磁场B ,且与线圈平面成30°角时,线圈的角加速度为β = 2 rad/s2,求∶(1) 线圈对OO '轴的转动惯量J ;(2) 线圈平面由初始位置转到与B 垂直时磁力所做的功?
13. 半径为R 的圆盘,带有正电荷,其电荷面密度σ = kr ,k 是常数,r 为圆盘上一点到圆心的距离,圆盘放在一均匀磁场B 中,其法线方向与B 垂直,当圆盘以角速度ω绕过圆心O 点,且垂直于圆盘平面的轴作逆时针旋转时,求圆
11
盘所受磁力矩的大小和方向。
解:r →r +d r 环上电荷 d q =σ⋅2π r d r 环以ω角速度转动电流
d I =d q ω=d q =ωσ r d r T 2πB
磁矩大小为d m =πr 2d I =πr 2(kr ) ω r d r
计算题13图
相应于环上的磁力矩
d M =B d m =πk ω r 4B d r
圆盘所受总磁力矩的大小 M =⎰d M = M 方向垂直B 向上
R ⎰o ππk ωBR 5k ωBr d r = 54