2014年华约自主招生数学试题及答案
2014年华约自主招生数学试题
1. x , x , x , x , x 是正整数, 任取四个其和组成的集合为{44,45,46,47},求这五个数.
1
2
3
4
5
2. 乒乓球比赛, 五局三胜制. 任一局甲胜的概率是p (p >1) , 甲赢得比赛
2
的概率是q , 求p 为多少时, q -p 取得最大值.
3.
函数f (x ) =
π
x -sin x )sin(x +) -2a sin x +b (a >0) 的最大值为1, 最小值4
为-4, 求a , b 的值.
4.(1)证明y =f (g (x )) 的反函数为y =g (f (x )) ;
(2)F (x ) =f (-x ), G (x ) =f (x ) , 若G (x ) 的反函数是F (x ) , 证明f (x ) 为奇函数.
-1
-1
-1
x 2y 2
5. 已知椭圆2+2=1与圆x 2+y 2=b 2, 过椭圆上一点M 作圆的两切线, 切
a b
点分别为P , Q , 直线PQ 与x , y 轴分别交于点E , F , 求S 的最小值.
6. 已知数列{a }满足:a =0, a =np +qa .(1)若q =1, 求a ;(2)若|p |
∆EOF
n
n 1n +1n n
n
7. 已知n ∈N
*
x
, x ≤n , 求证:n -n (1-) n e x ≤x 2.
n
华约参考答案:
1. 【解】五个数任取四个应该可以得到C =5个不同的和, 现条件中只
45
有4个不同的和, 故必有两个和值相同. 而这五个和值之和为4(x +x +x +x +x ) , 是4的倍数, 所以这个相同的和值只可能是46,
1
2
3
4
5
从而有x
+x 2+x 3+x 4+x 5=1
44+45+46+46+47
=57
4
, 故这五个数分别为
3
57-44=13,57-45=12,57-46=11,57-47=10,57-46=11,即10,11,11,12,13. 2. 【解】若共比赛了3局, 则甲赢得比赛的概率为p ;
若共赛了4局, 则最后一局甲胜, 甲赢得比赛的概率为C p (1-p ) ; 若共比赛了5局, 则最后一局甲胜, 甲赢比赛的概率为C p (1-p ) , 因此
q =p +C p (1-p ) +C p (1-p ) ,
23
3
24
32
32323
34
所以q -p =p 设f (p ) =6p
5
3
+C 32p 3(1-p ) +C 42p 3(1-p ) 2-p =6p 5-15p 4+10p 3-p , p >
1; 2
1
, 则f '(p ) =30p 4-60p 3+30p 2-1, 2
即f '(p ) =30p 4-60p 3+30p 2-1=30[p 2(p 2-2p +1) -1],
30
1p 2-p , 所以f '(p ) =30[p 2(p -1) 2-]=30(p 2-p 300, 又因为p ∈(1,1) , 所以p 2
故p 2-p 2-15p 4+10p 3-p , p >
2
所以令f '(p ) =0时,
即p
2
-p =0,
得p ==
1±2 又因为p ∈(1,1) ,
所以取p =12
易知当p ∈(1, 1221时
, f '(p ) >0, p ∈(时, f '(p )
2所以当p =1+
22
, f (p ) 有唯一极大值, 也是最大值.
1
, 令t =sin x , 2
3. 【解】易知f (x ) =(cos
x -sin 2x ) -2a sin x +b =-sin 2x -2a sin x +b +
2
则问题等价于g (t ) =-t
-2ax +b +
1
在[-1,1]上的最大值和最小值分别2
为1和-4.
①当对称轴t =-a ≤-1, 即a ≥1时, 则g (t ) 在[-1,1]上递减, 则
1⎧
g (-1) =a 2+b ⎪⎪2⎨
1⎪g (1=) -a 2+b ⎪2⎩
5⎧
⎪a =,
, 解得⎨4
⎪=-4⎩b =-1
=1,
1⎧2
g (-a ) =a +b +=1⎪⎪2②当对称轴-11⎪g (1)=-2a +b -=-4
⎪2⎩
消去b 得a 2+2a -4=0,
解得a =-1±(0,1), 舍去.
综上①②可知, a =5, b =-1为所求.
4
4. 【解】(1)证明:由反函数定义可知y =f (g (x )) 的反函数为x =f (g (y )) , 故
f (x ) =f (f (g (y ))) =g (y ) , 从而g (f (x )) =g (g (y )) =y , 所以y =g (f (x )) 为y =f (g (x )) 的反函数.
(2)由G (x ) 的反函数是F (x ) , 故G (F (x )) =G (G (x )) =x ,
则f (x ) =f (G (F (x ))), 又因为G (x ) =f (x ) , 所以G (F (x )) =f (-F (x )) , 代入得f (x ) =f (G (F (x ))), =f (f (-F (x ))) =-F (x ) =-f (, 所以f (x ) 为奇函-x ) 数.
5. 【解】设M (a cos θ, b sin θ)(θ∈[0,2π)) , 直线PQ 为点M 关于圆x +y =b 的
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
222
b 2b
, y F =切点弦, 其方程为(a cos θ) x +(b sin θ) y =b , 从而x E =
a cos θsin θ
1b 3b 3
≥, 于是S ∆EOF =|x E |⋅|x F |=
2a |sin 2θ|a
2
,
当且仅当M (, ) 时, 上述等号成立. n
n -1
n +1
n
n
n -1
6. 【解】(1)当q =1时, a -a =np , 则a -a =(n -1) p (n ≥2)
由累加法得a =a -a +a -a ++a -a +a (n ≥2) , 即a =p +2p +3p ++(n -1) p (n ≥2) ……(1)
n
n
n -1
n -1
n -2
2
1
1
23n -1
n
n (n -1)
; 当n =1时, a 1=0也适合; n
2
②当p ≠1时, pa n =p 2+2p 3++(n -1) p n ……(2)
①当p =1时, a
=
由(1)-(2)得a
-pa n =p +p 2+p 3++p n -1-(n -1) p n , p (1-p n -1)
-(n -1) p n
(n -1) p n +1-np n +p 1-p
= 所以a n =, 当n =1时, a 1=0也适合; 2
1-p (1-p )
n
⎧n (n -1) ⎪2
于是a n =⎪⎨n +1n
⎪(n -1) p -np +p ⎪(1-p ) 2⎩
n
n
n +1
n
n
n -1
p =1
.
p ≠1
n
(2)由|a |=|np +qa |≤|np |+|qa |≤n |p |
于是|a |-|a |≤(n -1) |p |(n ≥2) 由累加法得a =a -a +a -a +
n
n -1
n
n
n -1
n -1
n -2
+|a n |, 所以|a n +1|-|a n |≤n |p |n , +a 2-a 1+a 1(n ≥2)
故|a
n
|≤|p |+2|p |+
n +1
2
(n -1) |p |n +1-n |p |n +|p |
, +(n -1) |p |=
(1-|p |)2
n -1
而(n -1) |p |
-n |p |n ≤(n -1) |p |n -n |p |=-|p |n
于是当n ≥2时, 有|a n |
(1-|p |)
n
于是a 有上界.
x
x n
7. 【证明】原不等式等价于n -x ≤n ((1-) ⋅e ) n .
n
当x 2≥n , 上述不等式左边非正, 不等式成立;
2
当x
2
-1) ,
x
x x x n x 2n x 2
n n
从而n ((1-) ⋅e ) ≥n ((1-) ⋅(1+)) =n (1-2) ≥n (1-n ⋅2) =n -x 2, 即证.
n n n n n