基本不等式求最值技巧
03-11
基本不等式求最值技巧
一. 加0
在求和的最小值时，为了利用积的定值，有时需要加上零的等价式。 例1. 已知，且，求的最小值。 解：因为，所以
号当且仅当取最小值，所以，所以
，。式中等时成立，此时。 。所以当
时，例2. 设，且，求的最小值。
解：因为，，所以，所以，且。 所以
式中等号当且仅当
中得。 。所以当时成立，此时时，
。将它代入取最小值
2. 乘1
在求积的最大值时，为了凑出和的定值，有时需要乘上1的等价式。 例3. 已知，且，求xyz的最大值。 解：因为，且， 所以 式中等号当且仅当时成立，此式可写为，令其比值为t，则，，，把它们代入，解得。所以当
，
时，xyz取最大值
3. 拆式 。
在运用基本不等式求最值时，为满足解题需要，有时要进行拆式。
例4. 求函数的最小值。 解：因为，所以， 所以
式中等号当且仅当时成立，解得，所以当时，。 例5. 设且，求的最小值。 解：因为， 所以 式中等号当且仅当取最小值3。
4. 拆幂 时成立，此时，所以当时，
在求积的最大值时，为了满足和为定值时对项数的要求，有时要拆幂。 例6. 设，求函数的最大值。 解：因为，所以 所以 式中等号当且仅当时即时成立。所以当时，。 例7. 设，且为定值，求的最大值。
解：因为 所以
式中等号当且仅当时成立，此时。 所以当5. 平方 ，取最大值。
在求积的最大值时，有时要凑出和的定值很困难，但积式平方后却容易凑出和的定值。
例8. 设，且为定值，求的最大值。 解：因为， 所以
所以 式中等号当且仅当时成立，此时
所以当时，取最大值。
例9. 已知，求的最大值。 解：因为，所以， 所以
所以。式中等号当且仅当，即时成立。 所以当 时，。