初二(下册)数学最经典题
初二(下册)数学题精选
分式:
111
一:如果abc=1,求证
ab +a +1+bc +b +1+ac +c +1=1
解:
911b a
二:已知+=
a b 2(a +b ) ,则a +b 等于多少?
解:
三:一个圆柱形容器的容积为V 立方米,开始用一根小水管向容器内注水,水面高度达到容器高度一半后,改用一根口径为小水管2倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t 分。求两根水管各自注水的速度。
解:
四:联系实际编拟一道关于分式方程=充分并写出解答过程。
解略
8x 8
+2的应用题。要求表述完整,条件2x
2xy x 2+y 2
五:已知M =22、N =22
x -y x -y
,+”或“-”连结M 、N, 有三种不同的
形式,M+N、M-N 、N-M ,请你任取其中一种进行计算,并简求值,其中x :y=5:2。
解:
反比例函数:
一:一张边长为16cm 正方形的纸片,剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一个“E ”图案如图1所示.小矩形的长x (cm )与宽y (cm )之间的函数关系如图2所示:
(1)求y 与x 之间的函数关系式; (2)“E ”图案的面积是多少?
(3)如果小矩形的长是6≤x ≤12cm ,求小矩形宽的范围.
二:是一个反比例函数图象的一部分,点A (110),,B (10,1) 是它的两个端点.
(1)求此函数的解析式,并写出自变量x 的取值范围; (2)请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例.
三:如图,⊙A 和⊙B 都与x 轴和y 轴相切,圆心A 和圆心B 都在反比例
1
x
函数y 的图象上,则图中阴影部分的面积等于
四:如图11,已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M (-2,-1),且P (-1,-2)为双曲线上的一点,Q 为坐标平面上一动点,PA 垂直于
x 轴,QB 垂直于y 轴,垂足分别是A 、B .
(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式;
(2)当点Q 在直线MO 上运动时,直线MO 上是否存在这样的点Q ,使得△
OBQ 与△OAP 面积相等?如果存在,请求出点的坐标,如果不存在,请说
明理由;
(3)如图12,当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时,作以OP 、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ ,求平行四边形OPCQ 周长的最小值.
图
五:如图,在平面直角坐标系中,直线AB 与Y 轴和X 轴分别交于点A 、点8,与反比例函数y 一罟在第一象限的图象交于点c(1,6) 、点D(3,x) .过点C 作CE 上
y 轴于
E ,过点D 作DF 上X 轴于F . (1)求m ,n 的值;
(2)求直线AB 的函数解析式;
勾股定理:
一:清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王.近日,•西安发现了他的数学专著,其中有一文《积求勾股法》,它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形,已知面积求边长”这一问题提出了解法:“若所设者为积数(面积),以积率六除之,平方开之得数,再以勾股弦各率乘之,即得勾股弦之数”.用现在的数学语言表述是:“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍,•设其面积为S ,则第一步:=m
=k;第三步:分别用3、4、5乘以k ,得三边长”.
(1)当面积S 等于150时,请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角
形的三边长;
(2)你能证明“积求勾股法”的正确性吗?请写出证明过程.
二:一张等腰三角形纸片,底边长l5cm ,底边上的高长22.5cm .现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条,如图所示.已知剪得的纸条中有一张是正方形,则这张正方形纸条是( )
A .第4张 B.第5张 C.第6张 D.第7张
三:如图,甲、乙两楼相距20米,甲楼高20米,小明站在距甲楼10米的A 处
S
6
目测得点A 与甲、乙楼顶B 、C 刚好在同一直线上,且A 与B 相距的身高忽略不计,则乙楼的高度是 米.
50
米,若小明3
四:恩施州自然风光无限,特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷(A ) 和世界级自然保护区星斗山(B ) 位于笔直的沪渝高速公路X 同侧,AB =50km ,A 、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ,向A 、B 两景区运送游客.小民设计了两种方案,图(1)是方案一的示意图(AP 与直线X 垂直,垂足为P ),P 到A 、B 的距离之和
图(2)是方案二的示意图(点A 关于直线X 的对称点是A ',连接BA 'S 1=PA +PB ,
交直线X 于点P ),P 到A 、B 的距离之和S 2=PA +PB . (1)求S 1、S 2,并比较它们的大小; (2)请你说明S 2=PA +PB 的值为最小;
(3)拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直,建立如图(3)所示的直角坐标系,B 到直线Y 的距离为30km ,请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ,使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.
图(1)
图(2) 图(3)
五:已知:如图,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC =90°,DE ⊥AC 于点F ,交BC 于点G ,交AB 的延长线于点E ,且AE =AC . (1)求证:BG =FG ;
(2)若AD =DC =2,求AB 的长.
A
B G
C D
四边形:
一:如图,△ACD 、△ABE 、△BCF 均为直线BC 同侧的等边三角形.
(1) 当AB ≠AC 时,证明四边形ADFE 为平行四边形;
(2) 当AB = AC 时,顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类?直接写出构成图形的类型和相应的条件.
E
F
D
二:如图,已知△ABC 是等边三角形,D 、E 分别在边BC 、AC 上,且CD=CE,连
B
C
结DE 并延长至点F ,使EF=AE,连结AF 、BE 和CF 。
(1)请在图中找出一对全等三角形,用符号“≌”表示,并加以证明。 (2)判断四边形ABDF 是怎样的四边形,并说明理由。 (3)若AB=6,BD=2DC,求四边形ABEF 的面积。
三:如图,在△ABC 中,∠A 、∠B 的平分线交于点D ,DE ∥AC 交BC 于点E ,DF
∥BC 交AC 于点F .
(1)点D 是△ABC 的________心; (2)求证:四边形DECF 为菱形.
四:在矩形ABCD 中,点E 是AD 边上一点,连接BE ,且∠ABE =30°,BE =DE ,连接BD .点P 从点E 出发沿射线ED 运动,过点P 作PQ ∥BD 交直线BE 于点Q .
(1) 当点P 在线段ED 上时(如图1),求证:BE =PD +
3
3
PQ ;
(2)若 BC=6,设PQ 长为x ,以P 、Q 、D 三点为顶点所构成的三角形面积为y ,求y 与 x的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围);
(3)在②的条件下,当点P 运动到线段ED 的中点时,连接QC ,过点P 作PF ⊥QC ,垂足为F ,PF 交对角线BD 于点G (如图2),求线段PG 的长。
解:
五:如图, 这是一张等腰梯形纸片, 它的上底长为2, 下底长为4, 腰长为2, 这样的
纸片共有5张. 打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形, 那么你能拼出哪几种不同的等腰梯形? 分别画出它们的示意图, 并写出它们的周长.
...
解:如图所示
六:已知:如图, 在矩形ABCD 中,E 、F 分别是边BC 、AB 上的点, 且EF=ED,EF⊥ED. 求证:AE平分∠BAD.
(第23题)
七:如图, 矩形纸片ABCD 中, AB =8,将纸片折叠, 使顶点B 落在边AD 的E 点上, BG =10.
(1)当折痕的另一端F 在AB 边上时, 如图(1).求△EFG 的面积.
(2)当折痕的另一端F 在AD 边上时, 如图(2).证明四边形BGEF 为菱形, 并求出折痕GF 的长.
图(1)
图(2)
∠
E
F B
G
八:(1)请用两种不同的方法,用尺规在所给的两个矩形中各作一个
不为正方形的菱形,且菱形的四个顶点都在矩形的边上.(保留作图痕迹) (2)写出你的作法.
A F B
E D
G
C
九:如图,P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点(P 与A 、C 不重合),
点E 在射线BC 上,且PE=PB. (1)求证:① PE=PD ; ② PE ⊥PD ; (2)设AP =x , △PBE 的面积为y .
D
① 求出y 关于x 的函数关系式,并写出x 的取值范围; ② 当x 取何值时,y 取得最大值,并求出这个最大值.
B
E
D
D
D
B
C
F E
C
B
1
F E
C E
十:如图1,四边形ABCD 是正方形,G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重
合) ,以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ,连结BG ,DE .我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系: (1)①猜想如图1中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系; ②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针) 方向旋转任意角度
α,得到如图2、如图3情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论
是否仍然成立, 并选取图2证明你的判断.
(2)将原题中正方形改为矩形(如图4—6),且AB=a,BC=b,CE=ka, CG=kb (a ≠b ,k >0) ,第(1)题①中得到的结论哪些成立,哪些不成立?若成立,以图5为例简要说明理由.
(3)在第(2)题图5中,连结DG 、BE ,且a =3,b =2,k =,求BE 2+DG 2的值.
1
2
数据的分析:
一:4.为了帮助贫困失学儿童,某团市委发起“爱心储蓄”活动,鼓励学生将自己的压岁钱和零花钱存入银行,定期一年,到期后可取回本金,而把利.息捐给贫困失学儿童. 某中学共有学生1200人,.
图1是该校各年级学生人数比例分布的扇形统....计图,图2是该校学生人均存款情况的条形统计....图.
(1)九年级学生人均存款元; (2)该校学生人均存款多少元?
(3)已知银行一年期定期存款的年利率是2.25% (“爱心储蓄”免收利息税),且每351元能提供
给一位失学儿童一学年的基本费用,那么该校一学年能帮助多少为贫困失学儿童。
二:如图是连续十周测试甲、乙两名运动员体能训练情况的折线统计图。教练组规定:体能测试成绩70分以上(包括70分)为合格。
⑴请根据图11中所提供的信息填写右表:
⑵请从下面两个不同的角度对运动员体能测试结果进行判断:
①依据平均数与成绩合格的次数比较甲和乙, 的体能测试成绩较好;
②依据平均数与中位数比较甲和乙, 的体能测试成绩较好。
⑶依据折线统计图和成绩合格的次数,分析哪位运动员体能训练的效果较好。
三:如图所示,A 、B 两个旅游点从2002年至2006年“五、一”的旅游人数变化情况分别用实线和虚线表示.根据图中所示解答以下问题: (1)B 旅游点的旅游人数相对上一年,增长最快的是哪一年?
(2)求A 、B 两个旅游点从2002到2006年旅游人数的平均数和方差,并从平均数和方差的角度,用一句话对这两个旅游点的情况进行评价;
(3)A 旅游点现在的门票价格为每人80元,为保护旅游点环境和游客的安全,A 旅游点的最佳接待人数为4万人,为控制游客数量,A 旅游点决定提高门票价格.已知门票价格x (元)与游客人数y (万人)满足函数关系y =5-
x
.若要100
6 5 4 3 2 1
2002 2003 2004 2005 2006 年 A B
使A 旅游点的游客人数不超过4万人,则门票价格至少应提高多少?
参考答案
初二(下册)数学题精选
分式:
111
一:如果abc=1,求证
ab +a +1+bc +b +1+ac +c +1=1
解:原式=
ab a 1
++2
ab +a +1abc +ab +a a bc +abc +ab
1a ab
++
ab +a +11+ab +a a +1+ab ab +a +1
=
ab +a +1
= =1
911b a
二:已知+=
a b 2(a +b ) ,则a +b 等于多少?
解:
119+= a b 2(a +b )
9a +b = ab 2(a +b )
2(a +b ) =9ab 2a +4ab +2b =9ab 2(a +b )=5ab
2
2
2
22
a 2+b 25
= 2ab b a 5
+= a b 2
三:一个圆柱形容器的容积为V 立方米,开始用一根小水管向容器内注水,水面高度达到容器高度一半后,改用一根口径为小水管2倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t 分。求两根水管各自注水的速度。
解:设小水管进水速度为x ,则大水管进水速度为4x 。
v v +=t 2x 8x 5v
解之得:x =
8t 5v
经检验得:x =是原方程解。
8t
5v 5v
∴小口径水管速度为,大口径水管速度为。
8t 2t
88
四:联系实际编拟一道关于分式方程=+2的应用题。要求表述完整,条件
x 2x
由题意得:
充分并写出解答过程。
解略
2xy x 2+y 2
五:已知M =22、N =22
x -y x -y
,+”或“-”连结M 、N, 有三种不同的
形式,M+N、M-N 、N-M ,请你任取其中一种进行计算,并简求值,其中x :y=5:2。
2xy x 2+y 2(x +y ) 2x +y
解:选择一:M +N =2, +==
x -y 2x 2-y 2(x +y )(x -y ) x -y 5
y +y 57当x ∶y =5∶2时,x =y ,原式==. 2
y -y 32
2xy x 2+y 2-(x -y ) 2y -x
选择二:M -N =2, -==
x -y 2x 2-y 2(x +y )(x -y ) x +y 5y 53当x ∶y =5∶2时,x =y ,原式==-. 527y +y 2
y -
x 2+y 22xy (x -y ) 2x -y
选择三:N -M =2, -==
x -y 2x 2-y 2(x +y )(x -y ) x +y 5
y -y 53=. 当x ∶y =5∶2时,x =y ,原式=52
y +y 72
反比例函数:
一:一张边长为16cm 正方形的纸片,剪去两个面积一定且一样的小矩形得
到一个“E ”图案如图1所示.小矩形的长x (cm )与宽y (cm )之间的函数关系如图2所示:
(1)求y 与x 之间的函数关系式; (2)“E ”图案的面积是多少?
(3)如果小矩形的长是6≤x ≤12cm ,求小矩形宽的范围.
解:(1)设函数
∵函数图象经过(10,2) ∴2= (2)∵y =
关系式为y =
k
x
y =
20 x
k
∴k =20, ∴10
202
∴xy =20, ∴S E =S 正-2xy =16-2⨯20=216 x
2010= (3)当x =6时,y =63205= 当x =12时,y =
123
510
cm ∴小矩形的长是6≤x ≤12cm ,小矩形宽的范围为≤y ≤
33
,,B (10,1) 是它的两个端点. 二:是一个反比例函数图象的一部分,点A (110)
(1)求此函数的解析式,并写出自变量x 的取值范围; (2)请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例.
解:(1)设y =
k k
,在图象上,∴10=,即k =1⨯10=10, , A (110)
x 110
∴y =,其中1≤x ≤10;
x
10. v
(2)答案不唯一.例如:小明家离学校10km ,每天以v km/h的速度去上学,那么小明从家去学校所需的时间t =
三:如图,⊙A 和⊙B 都与x 轴和y 轴相切,圆心A 和圆心B 都在反比例
1x
函数y =的图象上,则图中阴影部分的面积等于
答案:r=1
S=πr ²=π
四:如图11,已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M (-2,-1),且P (-1,-2)为双曲线上的一点,Q 为坐标平面上一动点,PA 垂直于
x 轴,QB 垂直于y 轴,垂足分别是A 、B .
(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式;
(2)当点Q 在直线MO 上运动时,直线MO 上是否存在这样的点Q ,使得△
OBQ 与△OAP 面积相等?如果存在,请求出点的坐标,如果不存在,请说
明理由;
(3)如图12,当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时,作以OP 、OQ 为邻
,求平行四边形OPCQ
图1解:(1)设正比例函数解析式为y =kx ,将点M (-2,-1)坐标代入得k =,所以正比例函数解析式
2
为y =
1
x 2
2 x
同样可得,反比例函数解析式为y =(2)当点Q 在直线DO 上运动时, 设点Q 的坐标为Q (m m ) ,
12
于是S △OBQ =而S △OAP =所以有,
1
OB ? BQ 2111
m m =m 2, 224
1
(-1) ? (2) =1, 2
12
m =1,解得m =±2 4
所以点Q 的坐标为Q 1(2,1) 和Q 2(-2,-1)
(3)因为四边形OPCQ 是平行四边形,所以OP =CQ ,OQ =PC ,
而点P (-1,-2)是定点,所以OP 的长也是定长,所以要求平行四边形OPCQ 周长的最小值就只需求OQ 的最小值.
因为点Q 在第一象限中双曲线上,所以可设点Q 的坐标为Q (n ) , 由勾股定理可得OQ =n +所以当(n -2
2
2n
422
=(n -) +4, n 2n
222
) =0即n -=0时,OQ 2有最小值4, n n
又因为OQ 为正值,所以OQ 与OQ 2同时取得最小值, 所以OQ 有最小值2.
由勾股定理得OP
OPCQ 周长的最小值是
2(OP +OQ ) =2) =4.
五:如图,在平面直角坐标系中,直线AB 与Y 轴和X 轴分别交于点A 、点8,与反比例函数y 一罟在第一象限的图象交于点c(1,6) 、点D(3,x) .过点C 作CE 上y 轴于E ,过点D 作DF 上X 轴于F . (1)求m ,n 的值;
(2)求直线AB 的函数解析式;
勾股定理:
一:清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王.近日,•西安发现了他的数学专著,其中有一文《积求勾股法》,它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形,已知面积求边长”这一问题提出了解法:“若所设者为积数(面积),以积率六除之,平方开之得数,再以勾股弦各率乘之,即得勾股弦之数”.用现在的数学语言表述是:“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍,•设其面积为S ,则第一步:=m
=k;第三步:分别用3、4、5乘以k ,得三边长”.
(1)当面积S 等于150时,请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角
形的三边长;
(2)你能证明“积求勾股法”的正确性吗?请写出证明过程.
解:(1)当S=150时,
S
6
==, 所以三边长分别为:3×5=15,4×5=20,5×5=25;
(2)证明:三边为3、4、5的整数倍, 设为k 倍,则三边为3k ,4k ,5k ,•
而三角形为直角三角形且3k 、4k 为直角边. 其面积S=
12
(3k )·(4k )=6k, 2
所以k =
2
S ,
(取正值), 6即将面积除以6,然后开方,即可得到倍数.
二:一张等腰三角形纸片,底边长l5cm ,底边上的高长22.5cm .现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条,如图所示.已知剪得的纸条中有一张是正方形,则这张正方形纸条是( )
A .第4张 B.第5张 C.第6张 D.第7张
答案:C
三:如图,甲、乙两楼相距20米,甲楼高20米,小明站在距甲楼10米的A 处目测得点A 与甲、乙楼顶B 、C 刚好在同一直线上,且A 与B 相距
50
米,
若小明3
的身高忽略不计,则乙楼的高度是 米.
答案:40米
四:恩施州自然风光无限,特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷(A ) 和世界级自然保护区星斗山(B ) 位于笔直的沪渝高速公路X 同侧,AB =50km ,A 、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ,向A 、B 两景区运送游客.小民设计了两种方案,图(1)是方案一的示意图(AP 与直线X 垂直,垂足为P ),P 到A 、B 的距离之和
图(2)是方案二的示意图(点A 关于直线X 的对称点是A ',连接BA 'S 1=PA +PB ,
交直线X 于点P ),P 到A 、B 的距离之和S 2=PA +PB . (1)求S 1、S 2,并比较它们的大小; (2)请你说明S 2=PA +PB 的值为最小;
(3)拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直,建立如图(3)所示的直角坐标系,B 到直线Y 的距离为30km ,请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ,使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.
P
图(1)
图(2) 图(3)
解:⑴图10(1)中过B 作BC ⊥AP, 垂足为C, 则PC =40, 又AP =10,
∴AC =30
在Rt △ABC 中,AB =50 AC=30 ∴BC =40
∴ BP=2+BC 2=2 S 1=2+10
⑵图10(2)中,过B 作BC ⊥AA ′垂足为C ,则A ′C =50, 又BC =40
∴BA' =402+502=41 由轴对称知:PA =PA' ∴S 2=BA' =1041 ∴S 1﹥S 2
(2)如 图10(2),在公路上任找一点M, 连接MA,MB,MA' ,由轴对称知MA =MA' ∴MB+MA=MB+MA'﹥A'B ∴S 2=BA' 为最小
(3)过A 作关于X 轴的对称点A', 过B 作关于Y 轴的对称点B'
连接A'B', 交X 轴于点P, 交Y 轴于点Q, 则P,Q 即为所求
过A' 、 B'分别作X 轴、Y 轴的平行线交于点G,
A'B' =2+502=
∴所求四边形的周长为50+5
五:已知:如图,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC =90°,DE ⊥AC 于点F ,交BC 于点G ,交AB 的延长线于点E ,且AE =AC . (1)求证:BG =FG ;
(2)若AD =DC =2,求AB 的长.
,DE ⊥AC 于点F , 解:(1)证明: ∠ABC =90°
∴∠ABC =∠AFE .
AC =AE ,∠EAF =∠CAB , A ∴△ABC ≌△AFE ∴AB =AF . 连接AG ,
AG =AG,AB =AF ,
∴Rt △ABG ≌Rt △AFG . ∴BG =FG .
B
(2)解:∵AD =DC,DF ⊥AC ,
A
B D G
C D
F
C
G
11
∴AF =AC =AE .
22
∴∠E =30°.
∴∠FAD =∠E =30°,
∴AF = ∴AB =AF =
E
四边形:
一:如图,△ACD 、△ABE 、△BCF 均为直线BC 同侧的等边三角形.
(1) 当AB ≠AC 时,证明四边形ADFE 为平行四边形;
(2) 当AB = AC 时,顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类?直接写出构成图形的类型和相应的条件.
解:(1) ∵△ABE 、△BCF 为等边三角形,
∴AB = BE = AE ,BC = CF = FB ,∠ABE = ∠CBF = 60°. ∴∠FBE = ∠CBA . ∴△FBE ≌△CBA .
B
∴EF = AC .
又∵△ADC 为等边三角形, ∴CD = AD = AC . ∴EF = AD.
同理可得AE = DF .
∴四边形AEFD 是平行四边形.
(2) 构成的图形有两类,一类是菱形,一类是线段.
当图形为菱形时,∠ BAC≠60°(或A 与F 不重合、△ABC 不为正三角形) 当图形为线段时,∠BAC = 60°(或A 与F 重合、△ABC 为正三角形).
E
F
D
C
二:如图,已知△ABC 是等边三角形,D 、E 分别在边BC 、AC 上,且CD=CE,连
结DE 并延长至点F ,使EF=AE,连结AF 、BE 和CF 。
(1)请在图中找出一对全等三角形,用符号“≌”表示,并加以证明。 (2)判断四边形ABDF 是怎样的四边形,并说明理由。 (3)若AB=6,BD=2DC,求四边形ABEF 的面积。
解:(1)(选证一) BDE ≅ FEC
ABC 是等边三角形,∴BC=AC,∠ACB=600 CD =CE , ∴BD =AE , EDC 是等边三角形 ∴DE =EC , ∠CDE =∠DEC =600
∴∠BDE =∠FEC =1200
EF =AE , ∴BD =FE , ∴ BDE ≅ FEC
(选证二) BCE ≅ FDC
证明: ABC 是等边三角形, ∴BC =AC , ∠ACB =60
CD =CE , ∴ EDC 是等边三角形∴∠BCE =∠FDC =600, DE =CE
EF =AE , ∴EF +DE =AE +CE , ∴FD =AC =BC ∴ BCE ≅ FDC
(选证三) ABE ≅ ACF
证明: ABC 是等边三角形, ∴AB =AC , ∠ACB =∠BAC =600
CD =CE , ∴ EDC 是等边三角形∴∠AEF =∠CED =600
EF =AE , ∴ AEF 是等边三角形 ∴AE =AF , ∠EAF =600∴ ABE ≅ ACF
(2)四边形ABDF 是平行四边形。
由(1)知, ABC 、 EDC 、 AEF 都是等边三角形。
∴∠CDE =∠ABC =∠EFA =600
∴AB DF , BD AF , ∴四边形ABDF 是平行四边形
(3)由(2)知,)四边形ABDF 是平行四边形。
∴EF AB , EF ≠AB , ∴四边形ABEF 是梯形过E 作EG ⊥AB 于G ,则EG =AE sin 600=∴S 四边形ABEF
2 BC =311=EG AB +EF =(
)⨯(
6+4)=22
三:如图,在△ABC 中,∠A 、∠B 的平分线交于点D ,DE ∥AC 交BC 于点E ,DF
∥BC 交AC 于点F .
(1)点D 是△ABC 的________心; (2)求证:四边形DECF 为菱形.
解:(1) 内.
(2) 证法一:连接CD , ∵ DE ∥AC ,DF ∥BC ,
∴ 四边形DECF 为平行四边形, 又∵ 点D 是△ABC 的内心,
∴ CD 平分∠ACB ,即∠FCD =∠ECD , 又∠FDC =∠ECD ,∴ ∠FCD =∠FDC ∴ FC =FD ,
∴ □DECF 为菱形. 证法二:
过D 分别作DG ⊥AB 于G ,DH ⊥BC 于H ,DI ⊥AC 于I .
∵AD 、BD 分别平分∠CAB 、∠ABC , ∴DI =DG , DG =DH . ∴DH =DI .
∵DE ∥AC ,DF ∥BC ,
∴四边形DECF 为平行四边形, ∴S □DECF =CE ·DH =CF ·DI , ∴CE =CF .
∴□DECF 为菱形.
四:在矩形ABCD 中,点E 是AD 边上一点,连接BE ,且∠ABE =30°,BE =DE ,连接BD .点P 从点E 出发沿射线ED 运动,过点P 作PQ ∥BD 交直线BE 于点Q .
(1) 当点P 在线段ED 上时(如图1),求证:BE =PD +
3
3
PQ ;
(2)若 BC=6,设PQ 长为x ,以P 、Q 、D 三点为顶点所构成的三角形面积为y ,求y 与 x的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围);
(3)在②的条件下,当点P 运动到线段ED 的中点时,连接QC ,过点P 作PF ⊥QC ,垂足为F ,PF 交对角线BD 于点G (如图2),求线段PG 的长。
解:(1)证明:∵∠A=90° ∠ABE=30° ∠AEB=60° ∵EB=ED ∴∠EBD=∠EDB=30°
∵PQ ∥BD ∴∠EQP=∠EBD ∠EPQ=∠EDB ∴∠EPQ=∠EQP=30° ∴EQ=EP
过点E 作EM ⊥OP 垂足为M ∴PQ=2PM ∵∠EPM=30°∴PM=
PE ∴PE=PQ 23
3
PQ 3
∵BE=DE=PD+PE ∴BE=PD+
(2)解:由题意知AE=
1
BE ∴DE=BE=2AE 2
∵AD=BC=6 ∴AE=2 DE=BE=4 当点P 在线段ED 上时(如图1)
过点Q 做QH ⊥AD 于点H QH=
11PQ=x 22
由(1)得PD=BE-
3PQ=4-x
33
∴y=
12
PD ·QH=-x +x 212
1
x 2
当点P 在线段ED 的延长线上时(如图2)过点Q 作QH ⊥DA 交DA 延长线于点H ’ ∴QH ’=
过点E 作EM ’⊥PQ 于点M ’ 同理可得EP=EQ=
33PQ ∴BE=PQ-PD 33
∴PD=
12
x -x x-4 y=PD ·QH ’=
2312
(3)解:连接PC 交BD 于点N (如图3)∵点P 是线段ED 中点 ∴EP=PD=2 ∴PQ=2 ∵DC=AB=AE·tan60°=23 ∴PC=PD 2+DC 2=4 ∴cos ∠DPC= ∴∠QPC=180°-∠EPQ-∠DPC=90° ∵PQ ∥BD ∴∠PND=∠QPC=90° ∴PN=
PD 1
= ∴∠DPC=60° PC 2
1
PD=1 2
22
QC=PQ +PC =27 ∵∠PGN=90°-∠FPC ∠PCF=90°-∠FPC
∴∠PCN=∠PCF „„„„„1分 ∵∠PNG=∠QPC=90° ∴△PNG ~△QPC ∴
21PG PN 1
=⨯27= ∴PG=
3QC PQ 23
五:如图, 这是一张等腰梯形纸片, 它的上底长为2, 下底长为4, 腰长为2, 这样的
纸片共有5张. 打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形, 那么你能拼出哪几种不同的等腰梯形? 分别画出它们的示意图, 并写出它们的周长.
...
解:如图所示
六:已知:如图, 在矩形ABCD 中,E 、F 分别是边BC 、AB 上的点, 且EF=ED,EF⊥ED. 求证:AE平分∠BAD.
证明:∵四边形ABCD 是矩形
∴∠B=∠C=∠BAD=90° AB=CD ∴∠BEF+∠BFE=90°
∵EF ⊥ED ∴∠BEF+∠CED=90° ∴∠BEF=∠CED ∴∠BEF=∠CDE 又∵EF=ED∴△EBF ≌△CDE ∴BE=CD
∴BE=AB∴∠BAE=∠BEA=45° ∴∠EAD=45° ∴∠BAE=∠EAD ∴AE 平分∠BAD
(第23题)
七:如图, 矩形纸片ABCD 中, AB =8,将纸片折叠, 使顶点B 落在边AD 的E 点上, BG =10.
(1)当折痕的另一端F 在AB 边上时, 如图(1).求△EFG 的面积.
(2)当折痕的另一端F 在AD 边上时, 如图(2).证明四边形BGEF 为菱形, 并求出折痕GF 的长.
图(1)
图(2)
解:(1)过点G 作GH ⊥AD , 则四边形ABGH 为矩形, ∴GH =AB =8,AH =BG =10,由图形的折叠可知△BFG ≌△EFG , ∴EG =BG =10,∠FEG =∠B =90°;∴EH =6,AE =4,∠AEF +∠HEG =90°, ∵∠AEF +∠AFE =90°, ∴∠HEG =∠AFE , 又∵
1
EF ·EG =×5×10=25. 22EG GH
(2)由图形的折叠可知四边形ABGF ≌四边形HEGF , ∴BG =EG , AB =EH , ∠BGF =∠EGF , ∵EF ∥BG ,∴∠BGF =∠EFG , ∴∠EGF =∠EFG , ∴EF =EG ,
∴BG =EF , ∴四边形BGEF 为平行四边形, 又∵EF =EG , ∴平行四边形BGEF 为菱形; 连结BE ,BE 、FG 互相垂直平分,在Rt △EFH 中, EF =BG =10,EH =AB =8,由勾股定理可得
∠EHG =∠A =90°, ∴△EAF ∽△EHG , ∴
EF
=
AE
, ∴EF =5,∴S △EFG =
1
FH =AF =6,∴AE =16,∴BE
=FG =2OG
=8,∴BO
=4,∴
八:(1)请用两种不同的方法,用尺规在所给的两个矩形中各作一个
不为正方形的菱形,且菱形的四个顶点都在矩形的边上.(保留作图痕迹) (2)写出你的作法.
解:(1)所作菱形如图①、②所示.
说明:作法相同的图形视为同一种.例如类似图③、图④的图形视为与图②是同一种.
(2)图①的作法:
作矩形A 1B 1C 1D 1四条边的中点E 1、F 1、G 1、H 1; 连接H 1E 1、E 1F 1、G 1F 1、G 1H 1. 四边形E 1F 1G 1H 1即为菱形. 图②的作法:
在B 2C 2上取一点E 2,使E 2C 2>A 2E 2且E 2不与B 2重合; 以A 2为圆心,A 2E 2为半径画弧,交A 2D 2于H 2;
以E 2为圆心,A 2E 2为半径画弧,交B 2C 2于F 2; 连接H 2F 2,则四边形A 2E 2F 2H 2为菱形.
九:如图,P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点(P 与A 、C 不重合),
点E 在射线BC 上,且PE=PB. (1)求证:① PE=PD ; ② PE ⊥PD ; (2)设AP =x , △PBE 的面积为y .
D
① 求出y 关于x 的函数关系式,并写出x 的取值范围; ② 当x 取何值时,y 取得最大值,并求出这个最大值.
解:(1)证法一:
① ∵ 四边形ABCD 是正方形,AC 为对角线, ∴ BC=DC, ∠BCP =∠DCP=45°. ∵ PC=PC ,
∴ △PBC ≌△PDC (SAS ).
∴ PB = PD, ∠PBC =∠PDC . 又∵ PB = PE ,
∴ PE =PD .
② (i )当点E 在线段BC 上(E 与B 、C 不重合) 时,
∵ PB=PE ,
∴ ∠PBE =∠PEB , ∴ ∠PEB =∠PDC ,
∴ ∠PEB +∠PEC =∠PDC +∠PEC =180°,
∴ ∠DPE =360°-(∠BCD +∠PDC +∠PEC )=90°, B ∴ PE ⊥PD . )
(ii )当点E 与点C 重合时,点P 恰好在AC 中点处,此时,PE ⊥PD . (iii )当点E 在BC 的延长线上时,如图. ∵ ∠PEC =∠PDC ,∠1=∠2, ∴ ∠DPE =∠DCE =90°, ∴ PE ⊥PD . 综合(i )(ii )(iii ), PE⊥PD .
(2)① 过点P 作PF ⊥BC ,垂足为F ,则BF =FE .
∵ AP =x ,AC =2,
22
∴ PC =2- x,PF =FC =(2-x ) =1-x .
22
E
D
C E
D
22
x . x )=22
1222
∴ S △PBE =BF ·PF =x (1-x . x ) =-x 2+
2222
BF =FE =1-FC =1-(1-
B F E C
12
即 y =-x 2+x (0<x <).
22
121221
② y =-x 2+x =-(x -) +.
222241
∵ a =-<0,
2
12
时,y 最大值=.
42
(1)证法二:① 过点P 作GF ∥AB ,分别交AD 、BC 于G 、F . 如图所示. ∵ 四边形ABCD 是正方形, G
∴ 四边形ABFG 和四边形GFCD 都是矩形, △AGP 和△PFC 都是等腰直角三角形. ∴ 当x =
∴ GD=FC=FP ,GP=AG=BF ,∠PGD =∠PFE =90°.
又∵ PB =PE , ∴ BF =FE , ∴ GP =FE ,
∴ △EFP ≌△PGD (SAS ). ∴ PE =PD . ② ∴ ∠1=∠2.
∴ ∠1+∠3=∠2+∠3=90°. ∴ ∠DPE =90°.
∴ PE ⊥PD . (2)①∵ AP =x ,
D
B F E 22x ,PF =1-x .
22
1222
∴ S △PBE =BF ·PF =x (1-x . x ) =-x 2+
2222
12
即 y =-x 2+x (0<x <).
22121221
② y =-x 2+x =-(x -) +.
222241
∵ a =-<0,
2
∴ BF =PG =∴ 当x =
12
时,y 最大值=.
42
十:如图1,四边形ABCD 是正方形,G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重
合) ,以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ,连结BG ,DE .我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系: (1)①猜想如图1中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系;
②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针) 方向旋转任意角度
α,得到如图2、如图3情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论
是否仍然成立, 并选取图2证明你的判断.
(2)将原题中正方形改为矩形(如图4—6),且AB=a,BC=b,CE=ka, CG=kb (a ≠b ,k >0) ,第(1)题①中得到的结论哪些成立,哪些不成立?若成立,以图5为例简要说明理由.
(3)在第(2)题图5中,连结DG 、BE ,且a =3,b =2,k =,求BE 2+DG 2的值.
解: (1)①BG =DE , BG ⊥DE
②BG =DE , BG ⊥DE 仍然成立
在图(2)中证明如下
∵四边形ABCD 、四边形ABCD 都是正方形
∴ BC =CD ,CG =CE , ∠BCD =∠ECG =90
12
∴∠BCG =∠DCE
∴∆BCG ≅∆DCE (SAS ) ∴BG =DE ∠CBG =∠CDE
又∵∠BHC =∠DHO ∠CBG +∠BHC =90
∴∠CDE +∠DHO =90 ∴∠DOH =90 ∴BG ⊥DE
(2)BG ⊥DE 成立,BG =DE 不成立 简要说明如下
∵四边形ABCD 、四边形CEFG 都是矩形,
且AB =a ,BC =b ,CG =kb ,CE =ka (a ≠b ,k >0)
BC CG b
==,∠BCD =∠ECG =900 DC CE a
∴∠BCG =∠DCE ∴∆BCG ∆DCE ∴∠CBG =∠CDE
∴
又∵∠BHC =∠DHO ∠CBG +∠BHC =90
∴∠CDE +∠DHO =90 ∴∠DOH =90 ∴BG ⊥DE
(3)∵BG ⊥DE ∴BE +DG =OB +OE +OG +OD =BD +GE 又∵a =3,b =2,k =
2
2
2
2
2
00
22222222
1 2
∴ BD +GE =2+3+1+() =
32
2
656522
∴BE +DG =
44
数据的分析:
一:4.为了帮助贫困失学儿童,某团市委发起“爱心储蓄”活动,鼓励学生将自己的压岁钱和零花钱存入银行,定期一年,到期后可取回本金,而把利.息捐给贫困失学儿童. 某中学共有学生1200人,.
图1是该校各年级学生人数比例分布的扇形统....计图,图2是该校学生人均存款情况的条形统计....图.
(1)九年级学生人均存款元; (2)该校学生人均存款多少元?
(3)已知银行一年期定期存款的年利率是2.25%
(“爱心储蓄”免收利息税),且每351元能提供 给一位失学儿童一学年的基本费用,那么该校一学年能帮助多少为贫困失学儿童。
解:(1)240
(2) 解法一:
七年级存款总额:400×1200×40% = 192000(元) 八年级存款总额:300×1200×35% = 126000 (元) 九年级存款总额: 240×1200×25% = 72000 (元) (192000+126000+72000)÷ 1200 = 325 (元) 所以该校的学生人均存款额为 325 元
解法二: 400×40% + 300×35% + 240×25% = 325 元 所以该校的学生人均存款额为 325 元
(3)解法一: (192000+126000+72000)×2.25% ÷351= 25(人) 解法二: 325×1200×2.25%÷351 = 25(人)。
二:如图是连续十周测试甲、乙两名运动员体能训练情况的折线统计图。教练组规定:体能测试成绩70分以上(包括70分)为合格。
⑴请根据图11中所提供的信息填写右表:
⑵请从下面两个不同的角度对运动员体能测试结果进行判断:
①依据平均数与成绩合格的次数比较甲和乙, 的体能测试成绩较好; ②依据平均数与中位数比较甲和乙, 的体能测试成绩较好。
⑶依据折线统计图和成绩合
格的次数,分析哪位运动员体能训练的效果较好。
解:(1)如表所示:
⑵ ①乙;②甲
⑶ 从折线图上看,两名运动员体能测试成绩都呈上升趋势,但是,乙的增长速度比甲快,并且后一阶段乙的成绩合格次数比甲多,所以乙训练的效果较好。
三:如图所示,A 、B 两个旅游点从2002年至2006年“五、一”的旅游人数变化情况分别用实线和虚线表示.根据图中所示解答以下问题: (1)B 旅游点的旅游人数相对上一年,增长最快的是哪一年?
(2)求A 、B 两个旅游点从2002到2006年旅游人数的平均数和方差,并从平均数和方差的角度,用一句话对这两个旅游点的情况进行评价;
(3)A 旅游点现在的门票价格为每人80元,为保护旅游点环境和游客的安全,A 旅游点的最佳接待人数为4万人,为控制游客数量,A 旅游点决定提高门票价格.已知门票价格x (元)与游客人数y (万人)满足函数关系y =5-
x
.若要100
6 5 4 3 2 1
2002 2003 2004 2005 2006 年 A B
使A 旅游点的游客人数不超过4万人,则门票价格至少应提高多少?
解:(1)B旅游点的旅游人数相对上一年增长最快的是2005年.
(2)X A =
1+2+3+4+5
=3(万元)
5
13+3+2+4+3222222
=3(万元) S A =[(-2)+(-1)+0+1+2]=2 X B =
55
12222222
=[0+0+(-1)+1+0]= S B
55
从2002至2006年,A 、B 两个旅游点平均每年的旅游人数均为3万人,但A 旅游点较B 旅游点的旅
游人数波动大.
(3)由题意,得 5-
x
≤4 解得x ≥100 100-80=20 100
答:A 旅游点的门票至少要提高20元。