必修一 指数函数一对一个性化教案
指数与指数函数
（一）指数函数的定义
一般地，函数y =a x （a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？
（1）y =(-2) x （2）y =-2x （3）y =πx
（4）y =x 2 （5）y =4x 2 （6）y =(a -1) x （a ＞1，且a ≠2）
在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像y =2⋅3, y =x , y =形式y =a
x
x
1
2
y =2x -1 等函数均不符合
(a >0且a ≠1)，因此，它们都不是指数函数.
*
（二）指数与指数幂的运算
n
1．根式的概念：一般地，如果x =a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N ．
◆
负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作=0。
n
当n 是奇数时，a =a ，当n 是偶数时，a n =|a |=⎨2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
m n
m n
⎧a (a ≥0)
⎩-a (a
a =a (a >0, m , n ∈N , n >1) ，a
◆
n m *
-
=
1a
m n
=
1
a m
(a >0, m , n ∈N *, n >1)
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
3．实数指数幂的运算性质
r s rs r r r +s (a ) =a a a =a （1）· (a >0, r , s ∈R ) ； （2） (a >0, r , s ∈R ) ； r r s
(ab ) =a a (a >0, r , s ∈R ) ． （3）
一．求值
（2）
（三）指数函数的图像和性质
⎛1⎫
注：指数函数y =a 与y = ⎪(a >0且a ≠1) 的图像关于y 轴对称。
⎝a ⎭
x
x
（四）指数函数的底数与图像的关系
指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系 如图所示，则
01．已知a ，b ＞1，f (x ) ＝a x ，g (x ) ＝b x ，当f (x 1) ＝g (x 2) ＝2时， 有x 1＞x 2，则a ，b 的大小关系是( )
A ．a ＝b B ．a ＞b C ．a ＜b D ．不能确定
解析：∵a ＞1，b ＞1，由图示知b ＞a .
考点一：比较数值的大小
比较大小常用的方法有：①作差比较法 ②作商比较法 ③函数单调性法 ④中间值法， 在比较两个幂的大小时，除上述一般方法外，还应注意以下情况：
1) 对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，直接利用指数函数的单调性来判断。 2) 对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较 ，可利用指数函数的图像来判断。 3) 对于底数和指数均不同的两个幂的大小比较，可以利用中间值来比较 4) 对于三个及以上的数进行大小比较，则应先根据值的大小，（特别是0和1）进行分组，再比 较各组的大
小。
例1．比较大小
⎛3⎫⎛3⎫⎛3⎫
1.9 （2）0.7与0.3 （3）1.7与0.9 （4） ⎪，（1）1.9与 ⎪， ⎪
44⎝⎭⎝⎭⎝2⎭
-π
-3
-
330.33.1
1
3
-
14
-
14
考点二：指数函数图像过定点问题 例2. 函数y =a
x -3
+3(a >0且a ≠1) 的图象恒过定点____________。
例3．若函数y =a -(b +1)(a >0, a ≠1) 的图像经过第一、三、四象限，则一定有（ ）
A ．a >1且b >0 C ．00
B ．01且b >1
（ ）
x
例4．函数f (x ) =a x -b 的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是
A ．a >1, b 1, b >0 C ．00 D ．0
考点三：与指数函数有关的复合函数的性质 1. 与指数函数有关的复合函数的定义域与值域 （1）函数y =a （2）先确定
f (x )
的定义域与y =f (x ) 的定义域相同。
f (x ) 的值域，再根据指数函数的值域、单调性，可确定y =a f (x ) 的值域
2．与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 （1）求复合函数的定义域
（2）弄清复合函数是由哪些基本函数复合而成的 （3）分层逐一求解函数的单调性。 （4）求出复合函数的单调区间（“同增异减”） 例5. 求下列函数的单调区间和值域 （1）y =3
-x 2-x
（2）y =a
2x
-2a x -1(a >0, a ≠1)
【反思归纳】对于简单的复合函数的单调性，应首先弄清所给函数是由哪些基本函数复合而成的，然后再研究各自区域上的单调性，根据“同增异减”的法则作出判断。
考点四：指数方程：指数中含有未知数的方程 主要有a
f (x )
=a g (x ) 型，⇒f (x ) =g (x )
x
（换元）f (a x ) =0型，⇒t =a
a f (x ) =b 型，⇒f (x ) =l og a b (取对数)
例6. 解下列方程 （1）解方程2
-2x -14
⎛1⎫= ⎪⎝16⎭
x 2+2
（2）解方程3
x
-32-x =8
考点五：指数不等式：指数中含有未知数的不等式，通常把它们变为同底，再运用指数函数的单调性来转化为普通不等化。
例7. 求不等式的解集
⎛1⎫（1） ⎪
⎝3⎭
x 2-8
>3
-2x
（2）a
x 2-5x
>a x +7(a >0且a ≠1)
考点六：函数的单调性与奇偶性 例8. 已知f (x ) =
a x -x
(a -a )(a >0且a ≠1) 2
a -1
（1）判断
f (x ) 的奇偶性 （2）讨论f (x ) 的单调性
（3）当x ∈[-1,1]时，
f (x ) ≥b 恒成立，求b 的取值范围。
【反思归纳】（1）函数奇偶性与单调性是高考考查的热点问题，常以指数函数为载体考查函数的性质与恒成立问题
（2）求参数的范围也是常考内容，难度不大，但极易造成失分，因此对题目进行认真分析，必要的过程不可少，这也是高考阅卷中十分强调的问题。
例9. 若直线y =2a 与函数y =a -1(a >0且a ≠1) 的图像有两个公共点，则a 的取值范围是 。
x
12x
f (x ) 0且a ≠1, f (x ) =x -a 例10. 已知，当x ∈(-1均有，则实数a 的取值范围是 。 , 1)时，
2
考点七．图象变换及应用问题
例6 为了得到函数y =9⨯3x +5的图象，可以把函数y =3x 的图象（ ）．
A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度
分析：注意先将函数y =9⨯3x +5转化为t =3x +2+5，再利用图象的平移规律进行判断．
解：∵y =9⨯3x +5=3x +2+5，∴把函数y =3x 的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数y =9⨯3x +5的图象，故选（C ）．
评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数
的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．
►基础达标
1．函数f (x ) ＝1－2的定义域是( )
A ．(－∞，0) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0] D ．(－∞，＋∞)
2．一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个，„„每天分裂一次，现在将一个该细胞放入一个容器，发现经过10天就可充满整个容器，则当细胞分裂到充满容器的一半时需要的天数是( )
A ．5天 B ．6天 C ．8天 D ．9天
3．若0＜a ＜1，b ＜－2，则函数y ＝a x ＋b 的图象一定不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
4．函数＝y
6．将函数y ＝2x 的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位可得到函数__________的图象．
►巩固提高
⎛1⎫
3x －11 －的定义域是________．
8⎝2⎭
6．函数y ＝|2－x －2|的图象是(
)
7．已知(a 2＋a ＋2) x ＞(a 2＋a ＋2) 1－x ，则x 的取值范围为( )
⎛1⎫
A ．(－∞，1) B. 2⎪ C ．(0,2) D ．R
⎝⎭
1
8．已知函数f (x ) ＝a －f (x ) 为奇函数，则a ＝__________.
2＋1
9．若函数f (x ) ＝a x －1＋3恒过定点P ，试求点P 的坐标．