裂项放缩证明数列不等式
策略一、裂项放缩证明数列不等式
若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和,可采用数列中裂项求和等方法来解题。 例1-1、(全国I 理-22压轴题)设数列{a n }的前n 项的和S n =
n
32n
,证明:∑T i
2S n i =1
412
(Ⅰ)求首项a 1与通a n -⨯2n +1+,n =1,2,3,
333
例1-2、(湖北理-17)已知二次函数y =f (x ) 的图像经过坐标原点,其导函数为f ' (x ) =6x -2,数列{a n }的前n 项
*
和为S n ,点(n , S n )(n ∈N ) 均在函数y =f (x ) 的图像上。(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)设b n =
3
,T n 是
a n a n +1
数列{b n }的前n 项和,求使得T n
m
对所有n ∈N *都成立的最小正整数m ; 20
例1-3、(重庆理-22压轴题)设数列{a n }满足a 1=2, a n +1=a n +成立;(Ⅱ)令b n =
例1-4、已知n ∈N *,求1+
例1-5、设a n =1+
a n n
1
(n =1, 2, ). (Ⅰ)证明a n >2n +1对一切正整数n a n
(n =1, 2, ) ,判定b n 与b n +1的大小,并说明理由
12
+
1+„+
1n
<2n
111++ +, a ≥2. 求证:a n
策略二、均值不等式放缩证明不等式
例2-1、设S n =⋅2+2⋅3+ +n (n +1) . 求证
n (n +1) (n +1) 2
114x
f (1) +f (2) + +f (n ) >n +n +1-. 例3-2、已知函数f (x ) =x 求证:221+4
例3-3、已知a , b 为正数,且a +b =1,试证:对每一个n ∈N *,(a +b ) n -a n -b n ≥22n -2n +1.
1
1
策略三、调整分式值放缩证明数列不等式(尾式或局部放缩)
一个分式若分母不变分子变大则分式值变大,若分子不变分母变大则分式值变小;一个真分式,分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大(“加糖不等式”)---姐妹不等式:>
b
a
b b +m b +m
(b >a >0, m >0) 和b >0, m >0) a +m a a +m
例3-1、(福建理-22压轴题)已知数列{a n }满足a 1=1, a n +1=2a n +1(n ∈N *) (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn }满足4
b1-1 b2-2
4„4
bn -1
=( an +1) (n∈N ), 证明:{bn }是等差数列;
bn *
a n n 1a 1a 2n
-<++⋯+<(n∈N *). (Ⅲ)证明:
23a 2a 3a n +12
例3-2、证明: (1+1)(1+3)(1+5) (1+2n -1) >
即证:1⋅3⋅5⋅ ⋅(2n -1) >
2⋅4⋅6 ⋅2n
2n +1和
111
11111
2n +1和(1-)(1-)(1-) (1+)
1⋅3⋅5⋅ ⋅(2n -1)
2⋅4⋅6⋅ ⋅2n
111
) >3n +1. 例3-3、证明:(1+1)(1+)(1+) (1+
473n -2
例3-4、已知a 、b 、c 为三角形的三边,求证:1<
例3-5、求证:
a +b +c <2
。
a +c a +b
1114
++ +
策略四、单调性放缩证明不等式
例4-1、(湖南理-19)已知函数f (x ) =x -sin x , 数列{a n }满足:0
例4-2(辽宁理-21)已知函数f (x ) =ax -
0
13a n . 6
321111
x 的最大值不大于,又当x ∈[, ]时f (x ) ≥. (Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)设
42862
11
, a n +1=f (a n ), n ∈N *,证明a n
x n +1=x 1=a >0,例4-3、(北京理-19)数列{x n }由下列条件确定:
(II)证明:对n ≥2总有x n ≥x n +1
1⎛a ⎫ ⎪x +, n ∈N .(I )证明:对n ≥2总有x n ≥;n ⎪2⎝x n ⎭
n (n +1) (n +1) 2
例4-4、设S n =⋅2+2⋅3+ +n (n +1) . 求证
22
111
) >2n +1. 例4-5、求证:(1+1)(1+)(1+) (1+
352n -1
策略五:二项式放缩证明不等式
n n 01n n 01
2=(1+1) =C n +C n + +C n , 2≥C n +C n =n +1,
n 2+n +2n
2≥C +C +C = 2>n (n -1)(n
211
) a n +n . 证明a n
n +n 2
n
0n
1n
2n
n
例5-2、证明2≤(1+)
≥2)
1n
n
例5-3、设n >1, n ∈N ,求证(3)
策略六:递推放缩证明数列不等式
2
例6-1、(全国高考)设数列{a n }满足a n +1=a n -na n +1(n ∈N +),当a 1≥3时证明对所有n ≥1, 有(i ) a n ≥n +2;
1111(ii ) ++ +≤ 1+a 11+a 21+a n 2
28
例6-2、(重庆理-22压轴题) 数列{a n }满足a 1=1且a n +1=(1+
11
) a +(n ≥1) . (Ⅰ)用数学归纳法证明:n 2n
n +n 2
a n ≥2(n ≥2) ;1+x ) 0成立, 证明:a n
1111
++ +>[log2n ],n ∈N *, n >2.[log2n ]表示不超过log 2n 的最大23n 2
na n -12b
a 0), a ≤, n ≥2, n ∈N {a }整数。设正项数列n 满足:1n +,证明:n
2+b [log2n ]n +a n -1
例6-3、(湖北理-22压轴题)已知不等式
例6-4、(浙江理-20压轴题)已知函数f (x )=x3+x2,数列{xn }(x n >0)的第一项x 1=1,以后各项按如下方式取定:曲线y=f(x )在(x n+!,f (x n+!))处的切线与经过(0,0)和(x n ,f (x n ))两点直线平行(如图)。求证:当n ∈N *时
22
(Ⅰ)x n +x n =3x n +1+2x n +1(Ⅱ)()
12
n -1
1
≤x n ≤() n -2
2
策略七:分项讨论放缩证明数列不等式
例7、(2004年全国3理-22压轴题)(14分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =2a n +(-1) n , n ≥1. (1)写出数列{a n }的前三项a 1, a 2, a 3;(2)求数列{a n }的通项公式;(3)证明:对任意的整数m >4,有
策略八: 数学归纳法证明数列不等式
1117++ +
的各项都是正数, 且满足:a 0=1, a n +1=例8-1、(江西理-21倒二题)(12分)已知数列{a n }
(1)证明a n
例8-2、(江西理-22压轴题)已知数列{a n }满足:a 1=
1
a n ,(4-a n ), n ∈N . 2
3na n -13
n ≥2,n ∈N *),且a n =(1)求数列{a n }
2a n -1+n -12
的通项公式;(2)证明:对于一切正整数n ,不等式a 1∙a 2∙„„a n
数列不等式
1、证明:1/2+1/3+。。。+1/n
无非就是证明1/k=2都成立,这个高中生完全可以搞定.......
尽管这个题的原型是中值定理和积分放缩...
我们有 (1+1/n)^n
1/2
1/2+1/3+...+1/n
1/(n+1)
以上可以用导数来证,更符合教学实际:x/(1+x)
以上讨论可以看出:1。 纯数列的要求更高 2。涉及到 lnn 的数列不等式应先介绍: 用导数证明:x/(1+x)
3、
下面是用n=k为真, 证明n=k+1为真的简略证明:
n=k+1为真等价于
4、
5、
6、
6、
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由Catalan 恒等式知
a2n=(1+1/2+1/3+……+1/2n)-2(1/2+1/4+1/6+……+1/2n)=1/(n+1)+1/(n+2)……+1/2n,cn=1+1/2+1/3+……1/n-Inn 收
敛,lim(c2n-cn)=1/(n+1)+1/(n+2)+……1/2n-In(2n/n)=0
a2n=In2>In(2-1/(n+1))
7、
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41、(09)重庆文科21.(本小题满分12分,(Ⅰ)问3分,(Ⅱ)问4分,(Ⅲ)问5分) 已知a 1=1, a 2=4, a n +2=4a n +1+a n , b n =(Ⅰ)求b 1, b 2, b 3的值;
(Ⅱ)设c n =b n b n +1, S n 为数列{c n }的前n 项和,求证:S n ≥17n ; (Ⅲ)求证:b 2n -b n
a n +1
, n ∈N *. a n
11
n -2. 6417
1772, b 3= 417
解:(Ⅰ) a 2=4, a 3=17, a 4=72,所以b 1=4. b 2=(Ⅱ)由a n +2=4a n +1+a n 得
a n +2a 1
=4+n 即b n +1=4+ a n +1a n +1b n
所以当n ≥2时,b n >4于是c 1=b 1, b 2=17, c n =b n b n +1=4b n +1>17所以S n =c 1+c 2+ +c n ≥17n
(n ≥2)
(Ⅲ)当n =1时,结论b 2-b 1=当n ≥2时,有b n +1-b n =|4+
117
b -b 111
-4-|=|n n -1|≤|b n -b n -1| b n b n -1b n b n -117
(n ≥2)
≤
1111
|b -b |≤ ≤|b -b |
所以 b 2n -b n ≤b ++n 1-n b +n 2-n 1 +b 2n - n 1
11
() n -1(1-n )
1⎡1n -11n 12n -2⎤1
17
42、已知数列{x n }满足x 1=
11, x n +1=, n ∈N *. 2x n +1
(1)猜想数列{x n }单调性并证明;
1⎛2⎫
(2)证明:x n +1-x n ≤ ⎪
6⎝5⎭
证(1)由x 1=
n -1
.
112513及x n+1=得x 2=+x 4=,x 4= 21+x n 3821
由x 2>x 4>x 6猜想:数列{x 2n }是递减数列 下面用数学归纳法证明:
(1)当n=1时,已证命题成立 (2)假设当n=k时命题成立,即x 2k >x 2k +2 易知x 2k >0,那么x 2k +2-x 2k +4=
x 2k +3-x 2k +111
-=
1+x 2k +11+x 2k +3(1+x 2k +1)(1+x 2k +3)
=
x 2k -x 2k +2
>0
(1+x 2k )(1+x 2k +1)(1+x 2k +2)(1+x 2k +3)
即x 2(k +1) >x 2(k +1) +2
也就是说,当n=k+1时命题也成立,结合(1)和(2)知,命题成立 (2)当n=1时,x n +1-x n =x 2-x 1=
1
,结论成立 6
当n ≥2时,易知0
11
>
1+x n -12
∴(1+x n )(1+x n -1) =(1+
15
)(1+x n -1) =2+x n -1≥
1+x n -12
∴x n +1-x n =
x n -x n -111
-=
1+x n 1+x n -1(1+x n )(1+x n -1)
1
2222n -1
x n -x n -1≤()x n -1-x n -≤ ≤()x -2x 555
12n -1=)65≤
31