MATLAB伪随机数发生器

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均匀性较好的随机数生成

zz from http://www.ahcit.com/lanmuyd.asp?id=3379

随机数生成算法[1]是一类重要的算法，广泛应用于仿真技术等场合。然而，目前的伪随机数生成器（Pseudo-random number generator， PRNG）[2]存在一个重要缺陷，即样本分布与真实分布不一致，这主要发生在以下两种情况：①抽样代价过高，样本数目较少；②空间维数较高[3]。

因此，有必要寻找一类新的随机数发生器。准随机数发生器（Quasi-random number generator ， QRNG ）[4]能够生成稳定、低差异性的（low-discrepancy ）样本，而与样本数目或空间维数无关[5]。故针对蒙特卡罗积分结果不稳定的情况，提出一种基于QRNG 的蒙特卡罗积分，发现比传统方法性能有所提升。

伪随机数介绍

伪随机数是由确定的算法生成的，其分布函数与相关性均能通过统计测试。与真实随机数的差别在于，它们是由算法产生的，而不是一个真实的随机过程。一般地，伪随机数的生成方法主要有以下3种[6]：

（1） 直接法（Direct Method），根据分布函数的物理意义生成。缺点是仅适用于某些具有特殊分布的随机数，如二项式分布、泊松分布。

（2） 逆转法（Inversion Method ），假设U 服从[0，1]区间上的均匀分布，令X=F-1（U ），则X 的累计分布函数（CDF ）为F 。该方法原理简单、编程方便、适用性广。

（3）接受拒绝法（Acceptance-Rejection Method ）：假设希望生成的随机数的概率密度函数（PDF ）为f ，则首先找到一个PDF 为g 的随机数发生器与常数c ，使得f （x ）≤cg （x ），然后根据接收拒绝算法求解。由于算法平均运算c 次才能得到一个希望生成的随机数，因此c 的取值必须尽可能小。显然，该算法的缺点是较难确定g 与c 。

因此，伪随机数生成器（PRNG ）一般采用逆转法，其基础是均匀分布，均匀分布PRNG 的优劣决定了整个随机数体系的优劣[7]。下文研究均匀分布的PRNG 。

伪随机数生成器的缺点

重复做N=10000次试验，每次产生S=20与S=100个随机分布的样本，同时采用Kolmogorov- Smirnov假设检验（hypothesis test）来确定样本是否满足均匀分布。规定： ① 0假设（null hypothesis ）为样本服从均匀分布；② 1假设（alternative hypothesis ）为样本不服从均匀分布。

采用P 值（∈[0， 1]）衡量，P 值越趋近于0，表示越有理由拒绝0假设，即样本不服从均匀分布；P 值越趋近于1，表示越有理由接受0假设，即样本服从均匀分布。

如图1与图2所示：随着P 值下降，样本也越来越不服从均匀分布。实践中希望P 值越大越好。然而统计学的结论显示，P 值一定服从均匀分布，与N 、S 大小无关，这表明由于随机性，总会出现某次抽样得到的样本不服从、甚至远离均匀分布。另外，样本大小的不同，造成检验标准的不同，直观上看S=100对应的均匀分布普遍比S=20对应的更均匀。因此，小样本情况下均匀分布PRNG 的差异性尤为严重。

准随机数发生器

上节讨论了造成差异性的两个情况：小样本与高维空间。本节讨论如何构建一类新的随机数发生器，使其具有较低的差异性。

PRNG缺陷的根源在于“随机性”与“均匀性”的矛盾。因此，不要求新的发生器模拟真实的均匀分布，而力求任意大小的样本（尤其是小样本）都能满足低差异 性。换言之，以牺牲随机性为代价，换来均匀性的提高，称其为准随机数发生器（QRNG ）。均匀分布QRNG 的优势在于，其生成的样本更趋于均匀分布。在其 基础上构建的各类分布（包括高斯分布）的QRNG ，其生成的样本也更趋于服从对应的分布。

目前有3种准随机序列（Quasi-random sequency ）可用来辅助生成均匀分布随机数，分别是Halton 序列、Sobol 序列、Latin 超立方体序列。

http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/toolbox/stats/qrandstream.html matlab 的方法：

qrandstream - Class: qrandstream

Construct quasi-random number stream

Syntax

q = qrandstream(type,d)

q = qrandstream(type,d,prop1,val1,prop2,val2,...)

q = qrandstream(p)

Description

q = qrandstream(type,d) constructs a d-dimensional quasi-random number stream q of the qrandstream class, of type specified by the string type. type is either 'halton' or 'sobol', and q is based on a point set from either the haltonset class or sobolset class, respectively, with default property settings.

q = qrandstream(type,d,prop1,val1,prop2,val2,...) specifies property name/value pairs for the point set on which the stream is based. Applicable properties depend on type.

q = qrandstream(p) constructs a stream based on the specified point set p. p must be a point set from either the haltonset class or sobolset class.

Examples

Construct a 3-D Halton stream, based on a point set that skips the first 1000 values and then retains every 101st point:

q = qrandstream('halton',3,'Skip',1e3,'Leap',1e2)

q =

Halton quasi-random stream in 3 dimensions

Point set properties:

Skip : 1000

Leap : 100

ScrambleMethod : none

nextIdx = q.State

nextIdx =

1

Use qrand to generate two samples of size four:

X1 = qrand(q,4)

X1 =

0.0928 0.3475 0.0051

0.6958 0.2035 0.2371

0.3013 0.8496 0.4307

0.9087 0.5629 0.6166

nextIdx = q.State

nextIdx =

5

X2 = qrand(q,4)

X2 =

0.2446 0.0238 0.8102

0.5298 0.7540 0.0438

0.3843 0.5112 0.2758

0.8335 0.2245 0.4694

nextIdx = q.State

nextIdx =

9

Use reset to reset the stream, and then generate another sample:

reset(q)

nextIdx = q.State

nextIdx =

1

X = qrand(q,4)

X =

0.0928 0.3475 0.0051

0.6958 0.2035 0.2371

0.3013 0.8496 0.4307

0.9087 0.5629 0.6166

See Also

haltonset | qrand | reset | sobolset

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