2016年金太阳高考押题 精粹 数理(教师用卷)

2016年金太阳高考押题精粹数学理科

本卷共48题，三种题型：选择题、填空题和解答题。选择题30小题，填空题4小题，解答题14小题。

},B ={x |x 1. 已知集合A ={x |log 2x ≥1

【答案】B 【解析】A =

2

-x -6

R

A ) B 等于（ ）

A.{x |-2

{x |x ≥2}, B ={x |-2

(ðR A ) B ={x |-2

4+b i

(b ∈R )的实部为-1，则复数z -b 在复平面上对应的点位于1-i

（ ）A ．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2. 已知复数z =

(4+bi )(1+i ) 4-b 4+b 4+bi 4-b =+i ，【答案】C 【解析】试题分析：z =＝则由=-1，(1-i )(1+i ) 221-i 2

得b =6，所以z =-1+5i ，所以z -b =-7-5i ，其在复平面上对应点为(-7, -5) ，位于第三象限.

3. 若复数z 满足z (1-i )=-i +i , 则z 的实部为（ ）

A.

11

1 C.1

D. 22

答

案

】

A

【

解

析

】

由

【

z (1-i )=-i +

i

=

i

,

得

z =

11i i)(1+i) 1

+i , 所以z

的实部为=, 故选A ． =

2221-i (1-i)(1+

i)

π

(0,)

4. 下列函数中，既是奇函数又在区间2上是减函数的是（ ）

A ．y =x B. y =-sin x C ．y =2x +1 D．

3

y =cos x

3

【答案】B 【解析】选项C 、D 不是奇函数，y =x 在R 上都是增函数，只有选项B 符合.

5. 若A

(a , b ), B (c , d )是f (x )=ln x 图象上不同两点, 则下列各点一定在f (x )图象上的(a +c , b +d ) B.(a +c ，bd ) C.(ac , b +d ) D.(ac , bd )

(a , b ), B (c , d )在f (x )=ln x 图象上, 所以b =ln a ,d =ln c , 所

是( )A.

【答案】C 【解析】因为A

以b +d =ln a +ln c =ln ac , 因此

(ac , b +d )在f (x )=ln x 图象上, 故选C ．

y 2

=1的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为（ ） 6. 双曲线C :x -3

2

A.

1

B.

2

2

1

【答案】A 【解析】 a =1, c =2, ∴C 顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为.

2

7. 在区间[-1, 1]内随机取两个实数x ，y ，则满足y ≥x

A.

2

-1的概率是（ ）

2715 B. C. D. 9966

⎧-1≤x ≤1【答案】D 【解析】由题意知⎨表示的区域为边长为2的正方形，面积为4，满足

-1≤y ≤1⎩

y ≥x 2-1的区域即为图中阴影部分，面积为2⨯1+⎰1(1-x 2)dx =2+(x -1x 3) |1-1=10，

-1

33

105

所以所求概率为P ==，故选D ．

46

8. 执行如图所示的程序框图，输出的结果S 的值是（ ）

A．2 B．－

11

C．－3 D．

32

【答案】A 由程序框图知：s =2, i =1；s =

1+2

=-3, i =2；1-2

11

1+1+(-)

1-31=2, i =5……，可=1, i =4; s =s ==-, i =3; s =

111+32

1-(-) 31-)

23

知S 出现周期为4，当 i =2017=4⨯504+1时，结束循环输出S ，即输出的

s =2.

9. 一个算法的程序框图如右图所示，若输入的x 值为2016，则输出的i 值为

( ) A.3 B.4 C.5 D.6

【解析】：运转程序，a =2016, i =1;

11b =, i =2, a =;

-2015-2015【答案】A 20152015b =, i =3, a =;

20162016b =2016, 结束，输出i =3.

i

10. 若向量a , b 满足|a |=|b |=2，a 与b 的夹角为60︒，a 在a +b 上的投影

等于 ( )

A. 2 B.2 3 D.4＋3 【答案】：C 【解析】：a

在

a +b

上的投影

为

a ⋅(a +b 2==

|a +b |2

=

6=

⎧2x +y -5≤0

y +1

11. 不等式组⎪的解集记为D ，，有下面四个命题： z =3x -y ≥0⎨

x +1⎪x -2y ≤0

⎩

p 1：∀(x , y ) ∈D ，z ≥1p 2：∃(x , y ) ∈D ，z ≥1p 3：∀(x , y ) ∈D ，z ≤2p 4：∃(x , y ) ∈D ，

z

A ．p 1，p 2 【答案】D

B ．p 1，p 3 C ．p 1，p 4 D ．p 2，p 3

【解析】可行域如图所示，A(1，3),B(2，1) ，所以确，故答案为D.

所以

，故p 2，p 3 正

12. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几

何体．它由完全相同的四个曲面构成, 相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上, 好似两个扣合(牟合) 在一起的方形伞(方盖) ．其直观图如下左图, 图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时, 它的俯视图可能是（ ）

【答案】B

【解析】由直观图可知俯视图应为正方形, 排除A,C, 又上半部分相邻两曲面的交线看得见, 在俯视图中应为实线, 故选B.

13．一个几何体的三视图如图2所示(单位：cm) ，则该几何体的体积是（ ）

23

cm 3 322 B.cm 3

347

cm

3 C.6

A.

D.7cm 【答案】A 【解析】该几何体是棱长为2的正方体ABCD -A 1BC 11D 1截去一个三棱锥C 1-B 1EF 后所得的多面体，其体积为V =2⨯2⨯2-⨯

3

1123

⨯1⨯1⨯2=. 323

14. 若数列{a n }满足

1a n －1

－

1

，则称数列{a n }为=d （n ∈N *, d 为常数）

a n

调和数列．已知数列{

1

}为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5+x 16x n

等于（ ）

A ．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【解析】∵数列⎨

⎧1⎫11

为调和数列，∴-＝x n +1-x n ＝d ，∴{x n }是等差⎬11⎩x n ⎭

x n +1x n

20(x 1+x 20)

， ∴x 1+x 20=20.

2

数列. 又∵x 1+x 2+⋯+x 20=200=

又 x 1+x 20=x 5+x 16, ∴x 5+x 16=20.

15. 《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第

22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布. A．

161816

B. C. D.

292153130⨯2916

d =390, 解得d =. 229

【答案】D 【解析】设从第2天起每天比前一天多织d 尺布m , 则由题意知

30⨯5+

2

16. 在某次联考测试中，学生数学成绩X N (100, σ)(σ>0)，若P (80

则P (0

A ．0.05 B．0.1 C．0.15 D．0.2

【答案】B 【解析】由题意知P (80

1

，故选B ． P (0

2

17．由1,2,3,0组成没有重复数字的三位数，其中0不在个位上，则这些三位数的和为（ ）

A.2544 B.1332 C.2532 D.1320 【答案】A 【解析】分两种情况：（1）所有不含0的三位数的和为

(1+2+3)⨯A 22⨯(100+10+1)=1332，

(2)含0且0只能在十位上的三位数的和为(1+2+3)⨯A 2⨯(100+1)=1212，那么可得符

1

合条件的这些三位数之和为1332+1212=2544.

2x ππ

+ax +cos 2x , 若f () =2,则f (-) 等于（ ） 18. 已知f (x )=x

2+133

A. -2 B.-1 C.0 D. 1

【答案】A

2x 2x 2-x

+ax +cos 2x , 所以f (x )+f (-x )=x +-x +2cos 2x 【解析】因为f (x )=x

2+12+12+1

2x 12πππ

=x ++2cos 2x =1+2cos 2x 2cos , 所以+=1+=0, f () f (-)

3332+11+2x

所以f (-) =-f () =-2.

π

3π3

19. 函数f (x ) =A sin (2x +ϕ)ϕ≤

π

2

) 部分图象如图所示，对不同的x 1, x 2∈[a , b ]，若

f (x 1)=f (x 2)，有f (x 1+x 2)=3，则（ ）

5π125π

C ．f (x )在(-

12

A ．f (x )在(-【答案】C

π5π

) 上是减函数 B．f (x )在(, ) 上是减函数 1236ππ5π

, ) 上是增函数 D．f (x )在(, ) 上是增函数 1236

,

π

【解析】由图可知A =2，又由f (x 1)=f (x 2)，知函数的图象关于直线x =

a +b x 1+x 2

=22

对称，所以a +b =x 1+x 2．由五点法作图，得2a +ϕ=0，2b +ϕ=π，所以a +b =则f (a +b ) ＝2sin(π-2ϕ+ϕ) =2sin ϕ=f (

x 1+x 2)=

即s n i ϕ=所以f (x ) =2sin(2x +

π

2

-ϕ，

π，所以ϕ=，

3π

3

7

) ，在(-

5πππππ5ππ

上，2x +∈(-, ，, ) 所以f (x )在(-[1**********]

上是增函数，故选C ．

20．若(1+x )(1-2x )=a 0+a 1x +a 2x 2+⋅⋅⋅+a 8x 8，则a 1+a 2+⋅⋅⋅+a 7的值是（ ）

A. -2 B.-3 C．125 D.-131

【答案】C

【解析】令x =0，得a 0=1；令x =1，得-2=a 0+a 1+a 2+ +a 8，即

7

=-128，所以a 1+a 2+ +a 7=-3-a 8=125，a 1+a 2+ +a 8=-3．又a 8=(-2) 7C 7

故选C ．

a 2x 2y 2

21. 设点A 、F (c ,0)分别是双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的右顶点、右焦点, 直线x =

c a b

交该双曲线的一条渐近线于点P ．若∆PAF 是等腰三角形, 则此双曲线的离心率为（ ）

3

2 【答案】D

【解析】显然PF >PA , PF >AF , 所以由∆PAF 是等腰三角形得PA =AF . 易知

a 2ab a 2ab

0) , P () ,所以(-a ) 2+(2=(c -a ) 2, A (a ，

c c c c

a a

⇒() 2(a -c ) 2+() 2(c 2-a 2) =(c -a ) 2

c c 11e +1⇒2+2⨯=1. e e e -1解得 e =2. 故选D.

a a c +a ⇒() 2+() 2⨯=1

c c c -a

22. 过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线交其于A , B 两点，O 为坐标原点．若AF =3，则

∆AOB 的面积为（ ）

A.

2

【答案】C

【解析】设直线AB 的倾斜角为θ(0

BF =m ，∵AF =3，

1

，则sin θ= 3∴点A 到准线 l :x =-1的距离为 3，∴2+3cos θ=3, 即cos θ=

∵m =2+m cos(π-θ) ，∴m =

23

=.

1+cos θ2

∴∆AOB 的面积为

S =

113⨯OF ⨯AB ⨯sin θ=⨯1⨯(3+) =

22223. 已知圆C 1:x 2+2cx +y 2=0，圆C 2:x 2-2cx +y 2=0，椭圆

x 2y 2

C :2+2=1(a >b >0) 的焦距为2c ，若圆C 1, C 2都在椭圆C 内，则椭圆C 离心率的范

a b

围是（ ）

A ．[,1) B．(0] C

．【答案】B

1212 D

．(0

2【解析】由题意，得圆C 1, C 2的圆心分别为(-c ,0) 和(c ,0) ，半径均为c ，满足题意的圆与椭圆的临界位置关系如图所示，则知要使圆C 1, C 2都在椭圆内，则需满足不等式2c ≤a ，所

以离心率0

c 1

≤，故选B ．a 2

24. 已知向量AB 、AC 、AD 满足AC =AB +AD , AB =2, AD =1, E 、F 分别是线 5

段BC 、CD 的中点．若DE ⋅BF =-, 则向量AB 与向量AD 的夹角为（ ）

4

ππ2π5πA ． B． C． D．

3636

【答案】A 【解析】

1 1 5 1 21 25DE ⋅BF =(CB -CD )(CD -CB ) =CB ⋅CD -CD -CB =-.

224224

π 1

CD 〉=, 所以〈CB ，CD 〉=, 从而由CD =AB =2, BC =AD =1, 可得cos 〈CB ，

23

π〈AB ，AD 〉=. 故选A.

3

⎧x +3, x ≥0

25. 已知函数f (x )=⎨满足条件：对于∀x 1∈R ，∃唯一的x 2∈R ，使得

⎩ax +b , x

A.

666

B.- C.+3 D.-+3

2222

【答案】D

【解析】由题设条件对于∀x 1∈R ，存在唯一的x 2∈R ，使得f (x 1)=f (x 2)知f (x )在

(-∞, 0)和(0, +∞)上单调，得b =3，且a

9+3，解之

得a =-

6，故a +b =-+3，选D.

22

2x

的图象大致为（ ）

ln x

26. 函数y =

【答案】D 【解析】当01时，由于函数y =2x 比y =ln x 随x 的增长速度快，所以随x 的增大，y =排除A ，故选D ．

2x

的变化也逐渐增大，ln x

π

27. 已知定义在(0,) 上的函数f (x ) , f '(x ) 为其导数, 且f (x )

2

πππππππ

() >

() () >

f () ()

6646343

【答案】C 【解析】因为x ∈(0,

π

2

) ，所以sin x >0,cos x >0，则由f (x )

f (x )

sin x sin x

，即cos xf (x ) -sin xf '(x )

F '(x )=(

sin x cos f (x ) -sin xf '(x ) π

F (x ) ) '=

f (x ) [f (x )]2

F () >F () ，即63

ππ

sin

π

>

(π)

63f () f () 63

sin

π

28. 若过点P (a , a )与曲线f (x )=x ln x 相切的直线有两条, 则实数a 的取值范围是( )

A. (-∞,e ) B.(e, +∞) C. 0, ⎪ D.(1, +∞) 【答案】B

【解析】设切点为Q (t , t ln t ), 则切线斜率k =f '(t )=1+ln t , 所以切线方程为

⎛1⎫

⎝e ⎭

y -t ln t =(1+ln t )(x -t ), 把P (a , a )代入得a -t ln t =(1+ln t )(a -t ), 整理得a ln t =t ,

ln t 1ln t 1

显然a ≠0, 所以=, 设g (t )=, 则问题转化为直线y =与函数g (t )图象有两

t a t a

1-ln t

,可得g (t )在(0,e )递增, (e, +∞)递减, 在x =e 处取得极2

t

111

大值, 结合g (t )图象, 可得0e ,故选B.

a e e

BD =AC =, , 则AB ⋅CD 的29. 已知四边形ABCD 的对角线相交于一点

,

个不同交点, 由g '(t )=

(()

最小值是（ ）

A. 2 B.4 C.-2 D.-4

【答案】C

⎧⎪x -x 1=【解析】取A (0,0),

则C ；设B (x 1, y 1) , D (x 2, y 2) ,

则⎨2

y -y =1. ⎪⎩21

所以AB =(

x 1, y 1)=x 2y 2-1 ,CD =x 2-1, y 2,

()

(

求得AB ⋅CD =(x 2

22

+(y 2-2≥-2,

⎧⎧⎪x 2=⎪x 1=

⎪⎪当⎨且⎨

⎪y =⎪y =12⎪⎪⎩

⎩

线恰好相交于一点, 故选C.

时, AB ⋅CD 取到最小值-2, 此时四边形ABCD 的对角30. 定义在R 上的函数f (x )对任意x 1, x 2(x 1≠x 2)都有

f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2

22

y =f (x -1)的图象关于（1,0）成中心对称，若s , t 满足不等式f (s -2s )≤-f (2t -t )，

则当1≤s ≤4时，

t -2s

的取值范围是（ ） s +t

A ．⎢-3, -

⎡⎣1⎫1⎤1⎫1⎤⎡⎡⎡ B． C． D． -3, --5, --5, -⎪⎪⎢⎥⎢⎢⎥2⎭2⎦2⎭2⎦⎣⎣⎣

【答案】D

【解析】不妨设x 1

f (x 1) -f (x 2)

0，即

x 1-x 2

f (x 1) >f (x 2) ，所以函数f (x ) 为减函数．因为函数y =f (x -1) 的图象关于(1,0)成中心

对称，所以y =f (x ) 为奇函数，所以f (s 2-2s ) ≤-f (2t -t 2) =f (t 2-2t ) ，所以

s 2-2s ≥t 2-2t ，即(s -t )(s +t -2) ≥0．因为

t -2s 3s 3

，而在条件=1-=1-s +t s +t 1+s

⎧(s -t )(s +t -2) ≥0t 1t 133

下，易求得∈[-,1]，所以1+∈[, 2]，所以∈[,6]，所⎨s 2s 22⎩1≤s ≤41+

s

t -2s 11

∈[-5, -]，故选D ． ∈[-5, -]，即

s +t 221+s

31. 已知边长为3的正∆ABC 的三个顶点都在球O 的表面上，且OA 与平面ABC 所成的角

以1-

3

为30，则球O 的表面积为________．

【答案】16π

【解析】设正∆ABC 的外接圆圆心为O 1，

易知AO 1=Rt ∆OO 1A 中，

OA =

O 1A 2

O =24π⨯2=16π. ，故球的表面积为

cos30

⎧y ≥x ⎪

32. 设m >1, 当实数x , y 满足不等式组⎨y ≤2x 时，目标函数z =x +my 的最大值等于2，

⎪x +y ≤1⎩

则m 的值是_______．

【答案】

5

2

【解析】根据不等式组画出可行域为图中阴影部分，目标函数可写为y =-

1z

x +，因为m m

1112

m >1，所以-1

m m 3312m 5

y 取最大值，此时z =2，所以有2=+，解得m =.

332

33. 已知数列{a n }中, 对任意的n ∈N *, 若满足a n +a n +1+a n +2+a n +3=s （s 为常数）, 则称

该数列为4阶等和数列, 其中s 为4阶公和；若满足a n ⋅a n +1⋅a n +2=t （t 为常数）, 则称该数

列为3阶等积数列, 其中t 为3阶公积, 已知数列{p n }为首项为1的4阶等和数列, 且满足

p 4p 3p 2

===2；数列{q n }为公积为1的3阶等积数列, 且q 1=q 2=-1, 设S n 为数列p 3p 2p 1

{p n ⋅q n }的前n 项和, 则S 2016= ___________．

【答案】-2520

【解析】由题意可知,

p 1=1, p 2=2, p 3=4, p 4=8, p 5=1, p 6=2, p 7=4, p 8=8, p 9=1, p 10=2,

p 11=4, p 12=8, p 13=1,……,又∵{p n }是4阶等和数列, 因此该数列将会照此规律循环

下去, 同

理, q 1=-1, q 2=-1, q 3=1, q 4=-1, q 5=-1, q 6=1, q 7=-1, q 8=-1, q 9=1,

q 10=-1, q 11=-1, q 12=1, q 13=-1,……,又∵{q n }是3阶等积数列, 因此该数列将会照

此规律循环下去, 由此可知对于数列{p n ⋅q n }, 每12项的和循环一次, 易求出

p 1⋅q 1+p 2⋅q 2+... +p 12⋅q 12=-15, 因此S 2016中有168组循环结构, 故

S 2016=-15⨯168=-2520．

34. 用g (n )表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，

g (9)=9,10的因数有1,2,5,10，g (10)=5，那么

g (1)+g (2)+g (3)+⋅⋅⋅+g (22015-1)=42015-1

【答案】

3

【解析】由g (n ) 的定义易知当n 为偶数时，g (n ) =g () ，且当n 为奇数时，g (n ) =n ．令

n

f (n ) =g (1) ＋g (2)+g (3)+ +g (2-1) ，则

n

2

f (n +1) =g (1)+g (2)+g (3)+ +g (2n +1-1) ＝1+3+ +(2n +1-1) ＋

g (2)+g (4)+ +g (2n +1-2) ＝

2n (1+2n +1-1)

+g (1)+g (2)+g (4)+ +g (2n +1-2) =4n +f (n ) ，即f (n +1) －

2

4

分别取n 为1,2, , n 并累加得f (n +1) -f (1)=4+42+ +4n =(4n -1) ．又f (n ) =4n ，

3

4

f 1) (=1) (g ＝1，所以f (n +1) =(4n -1) +1，所以

3

4

f (n ) =g (1)+g (2)+g (3)+ +g (2n -1) ＝(4n -1-1) +1．令n =2015，得

3

g (1)+g (2)+g (3)+ +g (2

2015

42015-1

． -1) =

3

35. （本小题满分12分）

在∆ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为a , b , c ，已知2cos (B -C )=1+4sin B sin C .

(1)求A ；

(2)

若a =∆

ABC 的面积b +c .

2π，（2）b +c =6. 3

【解析】：（1）由2cos (B -C )=1+4sin B sin C ，

【答案】：（1）

得2(cos B cos C +sin B sin C )-4sin B sin C =1，

即2(cos B cos C -sin B sin C )=1，亦即2cos (B +C )=1，∴cos (B +C )=∵0

1

. 2

π

3

, ∵A +B +C =π, ∴A =

2π. 3

12π2π

=∴bc =8. ① .

由S =

bc sin

233

22π22222

由余弦定理a =b +c -

2bc cos A ，得=b +c -2bc cos ，

3

222

即b +c +bc =28. ∴(b +c )-bc =28. ②, 将①代入②，

(得(b +c )-8=28，∴b +c =6.

2

36. （本小题满分12分）

如图，在∆ABC 中，点D 在边BC 上，∠CAD =（1）求sin ∠C 的值；

（2）若∆ABD 的面积为7，求AB 的长

.

π

4

, AC =

72，cos ∠ADB =-. 210

【答案】（1）

4

；（2

5

【解析】（1）因为cos ∠ADB =-

π272

，所以sin ∠ADB =. 又因为∠CAD =, 所以

41010

∠C =∠ADB -

π

, 所以sin ∠C =sin(∠ADB -) =sin ∠ADB cos -cos ∠ADB sin

4444

πππ

722224

⋅+⋅=. 1021025

AD AC

=，

sin ∠C sin ∠ADC

74⨯

AC ⋅sin ∠C AC ⋅sin ∠C AC ⋅sin ∠C 故AD =====22.

sin ∠ADC sin(π-∠ADB ) sin ∠ADB 72

10

（2）在∆ADC 中，由正弦定理得又S ∆ABD =

1172⋅AD ⋅AB ⋅sin ∠ADB =⋅22⋅BD ⋅=7, 解得BD =5. 2210

在∆ADB 中，由余弦定理得

AB 2=AD 2+BD 2-2AD ⋅BD ⋅cos ∠ADB =8+25-2⨯22⨯5⨯(-

2

) =37. 10

37. （本小题满分12分）

已知公差不为0的等差数列{a n }中，a 1=2，且a 2+1, a 4+1, a 8+1成等比数列. (1)求数列{a n }通项公式； (2)设数列{b n }满足b n =

453

，求适合方程b 1b 2+b 2b 3+... +b n b n +1=的正整数n 的值.

32a n

【答案】（1）a n =3n -1；（2）10.

【解析】：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2+1, a 4+1, a 8+1，得， (3+3d ) 2=(3+d )(3+7d ), 解得d =3或d =0（舍）故a n =a 1+(n -1) d =2+3(n -1) =3n -1. (2)由（1）知b n =

9113

=3(-). ，b n b n +1=

3n -1(3n -1)(3n +2) 3n -13n +2

111111119n

b 1b 2+b 2b 3+... +b n b n +1=3(-+-+ -) =3(-) =,

25583n -13n +223n +26n +4

9n 45

=, 解得n =10. 依题有

6n +432

38. （本小题满分12分）

*

设n ∈N ，数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n +1=S n +a n +2，a 1, a 2, a 5成等比数列.

（1）求数列{a n }的通项公式；

b n

=1+a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . a n

【答案】（1）a n =2n -1；（2）T n =(2n -3)2n +1+6．

（2）若数列{b

n }满足

*

【解析】(1)由S n +1=S n +a n +2得：a n +1-a n =2(n ∈N ) ，

∴数列{a n }是以a 1为首项，2为公差的等差数列， 由a 1, a 2, a 5成等比数列得(a 1+2) 2=a 1(a 1+8)，解得a 1=1， ∴a n =2n -1(n ∈N ) .

（2）由(1)

可得b n =(2n -1) ⋅∴T n =b 1+b 2+b 3+... +b n -1+b n ,

即T n =1⋅2+3⋅2+5⋅2+... +(2n -1) ⋅2①，

1

2

3

n

2n

*

=(2n -1)2n ，

2T n =1⋅22+3⋅23+... +(2n -3) ⋅2n +(2n -1) ⋅2n +1②，

23n n +1

-T =2+2(2+2+... +2) -(2n -1)2, n ① -②可得

n +1

∴T n =(2n -3)2+6.

39. （本小题满分12分）

近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇,2015年双11期间, 某购物平台的销售业绩高达918亿人民币. 与此同时, 相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系. 现从评价系统中选出200次成功交易, 并对其评价进行统计, 对商品的好评率为0.6, 对服务的好评率为0.75, 其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.

(1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下, 认为商品好评与服务好评有关？

(2)若将频率视为概率, 某人在该购物平台上进行的5次购物中, 设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ：

①求对商品和服务全好评的次数X 的分布列（概率用组合数算式表示）； ②求X 的数学期望和方差.

P (K 2≥k ) 0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n (ad -bc ) 2（K =, 其中n =a +b +c +d ）

(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )

2

【答案】（1）能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关；

②E (X ) =2, D (X ) =.

5

200⨯(80⨯10-40⨯70) K =≈11.111>10.828,

150⨯50⨯120⨯80

2

故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关.

2

, 且X 的取值可以是0,1,2,3,4,5. 5

35231234

()() ；P (X =2) =C 52() 2() 3；其中P (X =0) =() ；P (X =1) =C 5

55555

23232332

P (X =3) =C 5() () ；P (X =4) =C 54() 4() 1；P (X =5) =() 5.

55555

X

②由于X ~B (5,) , 则E (X ) =5⨯=2, D (X ) =5⨯⨯(1-) =.

55555

40. （本小题满分12分）

某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛，等级分为1至10分，随机调阅了A 、B 两所学

(2)①每次购物时, 对商品和服务都好评的概率为校各60名学生的成绩，得到样本数据如下：

（1）计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较；

(2) 记事件C 为“A 校学生计算机优秀成绩高于B 校学生计算机优秀成绩”．假设7分或7分以上为优秀成绩，两校学生计算机成绩相互独立．根据所给样本数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C 的概率．

【答案】（1）A =B =1.5, S A =1.5, S B =1.8; （2）P (C ) =0.02.

【解析】：（1）从A 校样本数据的条形图可知：成绩分别为4分、5分、6分、7分、8分、9

分的学生分别有：6人、15人、21人、12人、3人、3人. A 校样本的平均成绩为A =

2

A 校样本的方差为S A =

22

4⨯6+5⨯15+6⨯21+7⨯12+8⨯3+9⨯3

=6（分），

60

122

⎡⎤6⨯(4-6) + +3⨯(9-6) ⎦=1.5. 60⎣

从B 校样本数据统计表可知： B 校样本的平均成绩为B =

2=B 校样本的方差为S B

4⨯9+5⨯12+6⨯21+7⨯9+8⨯6+9⨯3

=6（分），

60

122

⎡⎤9⨯(4-6) + +3⨯(9-6) =1.8. ⎣⎦60

2

2

因为A =B , 所以两校学生的计算机成绩平均分相同，又因为S A

(2) 记C A 1表示事件“A 校学生计算机成绩为8分或9分”，

C A 2表示事件“A 校学生计算机成绩为9分”，

C B 1表示事件“B 校学生计算机成绩为7分”，C B 2表示事件“B 校学生计算机成绩为8分”，

则C A 1与C B 1独立，C A 2与C B 2独立，C B 1与C B 2互斥，C =C B 1C A 1 C B 2C A 2．

P (C ) =P (C B 1C A 1 C B 2C A 2) =P (C B 1C A 1) +P (C B 2C A 2) =P (C B 1) P (C A 1) +P (C B 2) P (C A 2)

由所给数据得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的概率分别为

6693

，P (C A 2)=，P (C B 1)=，P (C B 2) =，

60606060

9663

故P (C )=⨯+⨯=0.02．

60606060

P (C A 1) =

41. （本小题满分12分）

如图，已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面，平面ABCD 平面

ABPE =AB ，且AB =BP =2, AD =AE =1，AE ⊥AB , 且AE ∥BP ．

（1）设点M 为棱PD 中点，求证：EM ∥平面ABCD ；

（2）线段PD 上是否存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于在，试确定点N 的位置；若不存在，请说明理由．

【答案】：（1）证明见解析；（2）当点N 与点D 重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正

2

？若存5

弦值为

2

，理由见解析． 5

C ⊥A B ，【解析】：（1）证明：（方法一）由已知，平面ABCD ⊥平面ABPE ，且B 则BC ⊥

平面ABPE ，所以BA , BP , BC 两两垂直，故以B 为原点，BA , BP , BC 分别为x 轴，y 轴，

z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

11

则P (0,2,0),D (2,0,1),M (1,1, ), E (2,1,0), C (0,0,1)，所以EM =(-1,0, ) ．

22

易知平面ABCD 的一个法向量等于n =(0,1,0)，

1

因为EM ⋅n =(-1,0, ) ⋅(0,1,0)=0，所以EM ⊥n ，

2

又EM ⊄平面ABCD ，所以EM ∥平面ABCD ．

（方法二）由已知，平面ABCD ⊥平面ABPE ，且BC ⊥AB ，则BC ⊥平面ABPE ，

所以BA , BP , BC 两两垂直．连结AC , BD ，其交点记为O ，连结MO ，EM ． 因为四边形ABCD 为矩形，

所以O 为BD 中点．因为M 为PD 中点， 1

所以OM ∥PB ，且OM =PB ．

21

又因为AE ∥PB ，且AE =PB ，

2

所以AE ∥OM ，且AE =OM ．

所以四边形AEMO 是平行四边形，所以EM ∥AO .

因为EM ⊄平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ，所以EM ∥平面ABCD ． （2）当点N 与点D 重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值为理由如下：

2． 5

因为PD =(2,-2,1), CD =(2,0,0)，设平面PCD 的一个法向量为n 1=(x 1, y 1, z 1) ，

⎧⎪n 1⋅PD =0, ⎧2x 1-2y 1+z 1=0, 由⎨ 得⎨ ⎪⎩n 1⋅CD =0⎩2x 1=0.

取y 1=1，得平面PCD 的一个法向量n 1=(0,1,2) ．

假设线段PD 上存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角α的正弦值等于

2． 5

设PN =λPD (0≤λ≤1) ，

则PN =λ(2,-2,1) =(2λ, -2λ, λ) ，BN =BP +PN =(2λ,2-2λ, λ) ．

|BN ⋅n 1|

所以sin α=|cos |=|BN |⋅|n 1|=

=

2=．

5

1

（舍去）． 9

因此，线段PD 上存在一点N ，当N 点与D 点重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正

2

弦值等于．

5

42. （本小题满分12分）

所以9λ2-8λ-1=0，解得λ=1或λ=-

正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，AD ⊥CD , AB //CD ,

AB =AD =

1

CD =2，点M 在线段EC 上且不与E , C 重合．

2

（1）当点M 是EC 中点时，求证：BM //平面ADEF ；

（2）当平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值为体积．

【答案】：（1）证明见解析；（2）.

6

时，求三棱锥M -BDE 的6

43

【解析】：（1）由题意：以点D 为坐标原点，DA 方向为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴建立空间直角坐标系，则A (2,0,0), B (2,2,0), C (0,4,0), E (0,0,2), M (0,2,1)，

∴BM =(-2,0,1)，平面ADEF 的一个法向量DC =(0,4,0)，

BM ⋅DC =0，∴BM ⊥DC ，即BM //平面ADEF ．

（2）设EM =tEC =t (0,4, -2)=(0,4t , -2t )，故点M (0,4t ,2-2t )(0

设平面BDM 的一个法向量n 1=(x , y , z )，则

DB ⋅n 1=2x +2y =0, DM ⋅n 1=4ty +(2-2t )z =0．

⎛2t ⎫

令y =-1，则n 1= 1, -1, ⎪，易知平面ABF 的一个法向量n 2=(1,0,0)，

1-t ⎭⎝ n 1⋅n 2

∵

cos ==

n 1⋅n 2

=

1，解得t =，

26

∴M (0, 2, 1)为BC 的中点，S ∆DBM =∴V M -BDE =

1

S ∆CDM =2，B 到面DEM 的距离h =2， 2

14⋅S ∆DEM ⋅h =. 33

43. （本小题满分12分）

x 2

+y 2=1(a >0) 的右焦点，点M (m , 0) 、N (0,n ) 分别是x 轴、y 轴已知点F 是椭圆2

1+a

上的动点，且满足⋅=0．若点P 满足=2+．

（1）求点P 的轨迹C 的方程；

（2）设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A 、B 两点，直线OA 、OB 与直线

，试判断FS ⋅FT 是否为定值？若是，求出这个x =-a 分别交于点S 、T （O 为坐标原点）

定值；若不是，请说明理由．

【答案】（1）y =4ax ；（2）FS ⋅FT 的值是定值，且定值为0．

2

x 2

+y 2=1(a >0) 右焦点F 的坐标为(a , 0) ， 【解析】（1） 椭圆2

1+a

∴NF =(a , -n ) ． MN =(-m , n ) ，∴由⋅=0，得n 2+am =0．

设点P 的坐标为(x , y ) ，由=2+，有(m , 0) =2(0,n ) +(-x , -y ) ，

⎧m =-x , ⎪22⎨y 代入n +am =0，得y =4ax ． n =. ⎪2⎩

y 12y 22

, y 1) 、B (, y 2) ， （2）(法一) 设直线AB 的方程为x =ty +a ，A (4a 4a

则l OA :y =

4a 4a

x ，l OB :y =x ． y 1y 2

4a ⎧y =x , 4a 24a 2⎪

y 1，得S (-a , -由⎨) ， 同理得T (-a , -) ．

y 1y 2

⎪x =-a ⎩

4a 24a 216a 42

． ∴FS =(-2a , -) ，FT =(-2a , -) ，则FS ⋅FT =4a +

y 1y 2y 1y 2

由⎨

⎧x =ty +a ,

2

⎩y =4ax

，得y 2-4aty -4a 2=0，∴y 1y 2=-4a 2．

16a 422

则⋅=4a +=4a -4a =0． 2

(-4a )

因此，FS ⋅FT 的值是定值，且定值为0．

(法二) ①当AB ⊥x 时， A (a , 2a ) 、B (a , -2a ) ，则l OA :y =2x ， l OB :y =-2x ．

⎧y =2x ,

由⎨ 得点S 的坐标为S (-a , -2a ) ，则FS =(-2a , -2a ) ．

x =-a ⎩

⎧y =-2x ,

由⎨ 得点T 的坐标为T (-a , 2a ) ，则FT =(-2a , 2a ) ． ⎩x =-a

∴FS ⋅FT =(-2a ) ⨯(-2a ) +(-2a ) ⨯2a =0．

2

y

②当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为y =k (x -a )(k ≠0) ，A (1, y 1) 、

4a

2 16a 4y 22

． B (, y 2) ，同解法一，得FS ⋅FT =4a +

4a y 1y 2

2

⎧y =k (x -a ), 22 由⎨2，得ky -4ay -4ka =0，∴y 1y 2=-4a 2．

⎩y =4ax

16a 4

则⋅=4a +=4a 2-4a 2=0． 2

(-4a )

因此，FS ⋅FT 的值是定值，且定值为0．

2

44. （本小题满分12分）

x 2y 2

以椭圆C :2+2=1(a >b >

0) a b

.

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）过原点且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于P , Q 两点，A 是椭圆C 的右顶点，直线

AP 、AQ 分别与y 轴交于点M 、N ，问：以MN 为直径的圆是否恒过x 轴上的定点？若

恒过x 轴上的定点，请求出该定点的坐标；若不恒过x 轴上的定点，请说明理由.

x 2

+y 2=1；【答案】（1）（2）以MN 为直径的圆恒过x 轴上的定点(-1,0) ，(1,0). 3

【解析】（1

）依题意，得

c =ab =又a 2=b 2+c 2,

a ⎧x 2⎪a =+y 2=1. 解得⎨故椭圆C 的标准方程为3⎪⎩b =1,

（2

）A ，设M (0,m ) ，N (0,n ) ，P (x 0, y 0) ，

x 02

+y 02=1（1）则由题意，可得， 3

且Q (-x 0, -

y 0) ，AP =(x 0y 0) ，AM =(m ) .

因为A , P , M 三点共线，所以AP AM ，

故有(x 0m =

0，解得m =

；同理，可得n =.

假设存在满足题意的x 轴上的定点R (t ,0) ，则有RM ⊥RN ，即RM ⋅RN =0.

因为RM =(-t , m ) ，RN =(-t , n ) ，

3y 02

所以t +mn =

0，即t ， =0，整理得t =-2

x 0-32

2

2

又由（1），得3y 0=3-x 0，所以t =1，解得t =1或t =-1. 故以MN 为直径的圆恒过x 轴上的定点(-1,0) , (1,0). 方法二：

（1）同方法一；

（2）①当直线l 的斜率不存在时，有P (0,1)，Q (0,-1) ，M (0,1)，N (0,-1) ，此时以MN

222

为直径的圆经过x 轴上的点(-1,0) 和(1,0)； ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx ，

⎧x 22

⎪+y =1,

，Q (联立方程组⎨3，解得P .

⎪y =kx ,

⎩

设M (0,m ) ，N (0,n )

又直线AP

的斜率k 1=

AM

的斜率k 2=，

因为A , P , M 三点共线，所以k 1=

k 2，解得得m =

同理，可得n =，

假设存在满足题意的x 轴上的定点R (t ,0) ，则有RM ⊥RN ， 直线RM 的斜率k 3=-

m n ，直线RN 的斜率k 4=-， t t

2

所以k 3k 4=-1，故有t =-

mn ，即t 2=整理，得t =1，解得t =1或t =-1，

2

，

综合①②，可知以MN 为直径的圆恒过x 轴上的定点(-1,0) ，(1,0).

45. （本小题满分12分）

已知函数f (x )=a ln x -ax -3（a ≠0）． （1）讨论f (x )的单调性；

2

⎤e , e （2）若f (x )+(a +1)x +4-e ≤0对任意x ∈⎡⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围（e 为

自然常数）；

2222

（3）求证：ln 2+1+ln 3+1+ln 4+1+⋅⋅⋅+ln n +1

()()()()

n ∈N*）．

【答案】：（1）当a >0时，增区间为(0,1]，减区间为[1, +∞)；当a

e -1-e 2

减区间为(0,1]；（2）a ≤；（3）见解析．

2

【解析】：（1）f '(x ) =

a (1-x )

(x >0) ， x

当a >0时，f (x ) 的单调增区间为(0, 1]，单调减区间为[1, +∞) ； 当a

x +a

=0. x

[]

F (x ) max

e -1-e 2

=F (e ) =2a +e -e +1≤0, a ≤无解．

2

2

2

若e

22

e -1-e 2

, F (e ) =a +1≤0, a ≤-1. F (e ) =2a +e -e +1≤0, a ≤

2

2

2

e -1-e 2

∴-e ≤a ≤.

2

2

2

若-a >e ，a

22

F (x ) max =F (e ) =a +1≤0, a ≤-1，∴a

e -1-e 2

. 综上所述a ≤

2

（3）令a =-1（或a =1），此时f (x ) =-ln x +x -3，所以f (1)=-2，

由（1）知f (x ) =-ln x +x -3在(1,+∞) 上单调递增，∴当x ∈(1,+∞) 时，f (x ) >f (1)，即-ln x +x -1>0，∴ln x

11111

+1)

要证ln(22+1) +ln(32+1) +ln(42+1) + +ln(n 2+1)

1111*

+1) +ln(+1) +ln(+1) + +ln(+1)

ln(

[1**********]1+1) +ln(+1) +ln(+1) + +ln(+1)

所以原不等式成立

46. （本小题满分12分）

已知函数f (x ) =a (x -1)(e x -a ) . （常数a ∈R 且a ≠0）. （1）证明：当a >0时，函数f (x )有且只有一个极值点； （2）若函数f (x )存在两个极值点x 1, x 2，证明：0

44

()0

【解答】：依题意，f '(x ) =a [(x -1) '(e x -a ) +(x -1)(e x -a ) ']=a (x ⋅e x -a ), 令h (x ) =a (x ⋅e x -a ) ，则h '(x ) =a (x +1) ⋅e x .

x

(x ) 0，故h (x ) =f '

在零点，则函数f (x ) 在(-∞,0) 上不存在极值点；

②当x ≥0时，由h '(x ) =a (x +1) ⋅e x >0，故h (x ) 在[0,+∞) 上单调递增. 又

h (0)=-a 20，

所以h (x ) =f '(x ) 在[0,+∞) 上有且只有一个零点.

又注意到在f '(x ) 的零点左侧，f '(x ) 0， 所以函数f (x ) 在[0,+∞) 有且只有一个极值点. 综上所述，当a >0时，函数f (x ) 在(-∞, +∞) 内有且只有一个极值点. （2）因为函数f (x ) 存在两个极值点x 1, x 2（不妨设x 10得x -1.

所以h (x ) =f '(x ) 在(-∞, -1]单调递增，在[-1, +∞) 单调递减， 又因为h (0)=f '(0)=-a 2

x x x

所以必有x 1

t

令f '(t ) =a (t ⋅e t -a ) =0，解得a =t ⋅e ，

此时f (t ) =a (t -1)(e t -a ) =te t (t -1)(e t -te t ) =-e 2t t (t -1) 2=-e 2t (t 3-2t 2+t ) . 因为x 1, x 2是h (x ) =f '(x ) 的两个零点， 所以f (x 1) =-e

2x 1

(x 13-2x 12+x 1) ，f (x 2) =-e 2x 2(x 23-2x 22+x 2) .

将代数式-e 2t (t 3-2t 2+t ) 视为以t 为自变量的函数g (t ) =-e 2t (t 3-2t 2+t ) ， 则g '(t ) =-e 2t (t 2-1)(2t -1) .

当t 0,2t -10，所以g '(t ) >0， 则g (t ) 在(-∞, -1) 单调递增.

因为x 1

2x 1

4， e 2

4. e 2

x 1(x 1-1) 2>0，所以0

当-10，所以g '(t )

因为-1

4. e 2

44

0

e e

47. （本小题满分10分）

从下列三题中选做一题

(1).选修4-1：几何证明选讲

如图所示，两个圆相内切于点T ，公切线为TN ，外圆的弦TC ，TD 分别交内圆于A 、B 两点，并且外圆的弦CD 恰切内圆于点M . (1)证明：AB //CD ；

(2)证明：AC ⋅MD =BD ⋅CM .

【解答】：（1）由弦切角定理可知，∠NTB =∠TAB ,

同理，∠NTB =∠TCD , 所以∠TCD =∠TAB , 所以AB //CD . （2）连接TM 、AM, 因为CD 是切内圆于点M ， 所以由弦切角定理知，∠CMA =∠ATM ，

又由（1）知AB //CD ，

所以，∠CMA =∠MAB ，又∠MTD =∠MAB , 所以∠MTD =∠ATM .

MD TD

, =

sin ∠DTM sin ∠TMD MC TC

在∆MTC 中, 由正弦定理知, , =

sin ∠ATM sin ∠TMC

因∠TMC =π-∠TMD ,

TD BD MD TD

所以, 由AB //CD 知, ==

TC AC MC TC

MD BD

=所以, 即, AC ⋅M D =BD ⋅CM . MC AC

在∆MTD 中, 由正弦定理知, (2)选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线C 的极坐标方程是ρ=4cos θ．以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为x 轴的正

半轴, 建立平面直角坐标系, 直线l 的参数方程是⎨

⎧x =1+t cos α

（t 为参数）．

y =t sin α⎩

（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B

两点, 且AB =求直线l 的倾斜角α的值． 【答案】（1）(x -2)+y 2=4；（2）α=

2

π

4

或

3π. 4

【解析】（1）由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ． ∵x +y =ρ, x =ρcos θ, y =ρsin θ,

∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-4x =0, 即(x -2)+y 2=4.

2

2

2

2

⎧x =1+t cos α, 22（2）将⎨代入圆的方程得(t cos α-1)+(t sin α)=4,

⎩y =t sin α

化简得t 2-2t cos α-3=0．

设A , B 两点对应的参数分别为t 1、t 2, 则⎨∴AB =t 1-t 2=

⎧t 1+t 2=2cos α,

⎩t 1t 2=-3.

=

2

∴4cos α=2, cos α=±

π3π, α=或．

442

(3)选修4-5：不等式选讲

设函数f (x )=x --2x +的最大值为m . （1）求m ；

（2）若a , b , c ∈(0, +∞), a +2b +c =m ，求ab +bc 的最大值.

2

2

2

【答案】（1）m =2；（2）1．

【解析】：（1）当x ≤-1时，f (x )=3+x ≤2； 当-1

（2）因为a 2+2b 2+c 2=a 2+b 2+b 2+c 2≥2ab +2bc =2(ab +bc )，

()()

当且仅当a =b =c =

时取等号，此时ab +bc 取得最大值1. 2

48. （本小题满分12分）

从下列三题中选做一题

(1).选修4-1：几何证明选讲

在△ABC 中，AB=AC，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 延长线于点D ． （1）求证：PC =PD ；

AC BD

（2）若AC=3，求AP •AD 的值．

【解析】（1）∵∠CPD=∠ABC ，∠D=∠D ，∴△DPC ～△DBA ， ∴PC =PD ，又∵AB=AC，∴PC =PD .

AB BD AC BD

（2）∵∠ACD=∠APC ，∠CAP=∠CAP ，∴△APC ∽△ACD. ∴AP =AC ，∴AC 2=AP ⋅AD =9.

AC AD

(2)选修4－4：坐标系与参数方程

x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，在以直角坐标原点O 为极点，曲线C 1的方程是ρ=1，将C 1向上平移1个单位得到曲线C 2. (1)求曲线C 2的极坐标方程；

(2)若曲线C 1的切线交曲线C 2于不同两点M , N , 切点为T . 求TM ⋅TN 的取值范围. 【解答】（1）依题, 因ρ=x +y ,

2

2

2

所以曲线C 1的直角坐标下的方程为x 2+y 2=1, 所以曲线C 2的直角坐标下的方程为x 2+(y -1) 2=1, 又y =ρsin θ，所以ρ2-2ρsin θ=0, 即曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ.

(2)由题令T (x 0, y 0) ，y 0∈(0,1]，切线MN 的倾斜角为θ，所以切线MN 的参数方程为:

⎧x =x 0+t cos θ

(t 为参数). ⎨

⎩y =y 0+t sin θ

联立C 2的直角坐标方程得, t 2+2(x 0cos θ+y 0sin θ-sin θ) t +1-2y 0=0 ,

即由直线参数方程中, t 的几何意义可知,

TM ⋅TN =-2y 0，因为1-2y 0∈[-1,1) 所以TM ⋅TN ∈[0,1].

(解法二) 设点T (cos α, sin α)，则由题意可知当α∈(0 π)时，切线与曲线C 2相交， 由对称性可知，当α∈ 0, ⎥时斜线的倾斜角为α+，则切线MN 的参数方程为：

2⎝2⎦

⎛

π⎤π

⎧π⎫⎛

x =cos α+t cos α+ ⎪=cos α-t sin α⎪2⎭⎪⎝

（t 为参数）， ⎨

π⎫⎪y =sin α+t sin ⎛ α+⎪=sin α+t cos α⎪2⎭⎝⎩

与C 2的直角坐标联立方程，得t 2-2cos αt +1-2sin α=0， 则TM TN =t 1t 2=-2sin α,

因为α∈ 0, ⎥，所以TN ∈[0, 1].

2

⎛⎝

π⎤

⎦

(3)选修4－5：不等式选讲

已知函数f (x ) =m -|x -2|,m ∈R , 且f (x +2) ≥1的解集A 满足[-1,1]⊆A ． （1）求实数m 的取值范围B ；

（2）若a , b , c ∈(0, +∞), m 0为B 中的最小元素且 求证：a +2b +3c ≥【解析】：（1）因为

111

++=m 0, a 2b 3c

f (x ) =m -|x -2|,所以f (x +2) ≥1等价于x ≤m -1, 由[-1,1]⊆A 知

9. 2

A 是非空集合, 所以 1-m ≤x ≤m -1, 结合[-1,1]⊆A 可得m -1≥1⇒m ≥2, 即实数m

的取值范围是B =[2, +∞). （2）由（1）知m 0=2, 所以

1111⎛111⎫

∴a +2b +3c =a +2b +3c ++=2, () ++⎪

2a 2b 3c ⎝a 2b 3c ⎭

19≥+=. 222