探讨循环小数的循环节

探討循環小數的循環節 1

探討循環小數的循環節

李肖梅

國際企業管理系

摘要：循環小數的循環節是一個令人玩味的主題，他的迷人處不下於質數，可是如果用紙筆來計算循環節的長度，這又是一件極無聊且麻煩的事情，但是藉著科技電腦或計算器的幫助，學生可以很快的找出分數轉換小數的結果，依據這些快速求出的答案，學生可以找尋規則、提出假設、及做出結論。本文是報告商科一年級學生及師範生如何利用計算器與電腦，經由探討循環小數的循環節，而發現一些早期數學家例如高斯等提出的有關「數論(Number Theory)」的定理，讓理論抽象的「數論」中的數學概念，成為容易瞭解的學習活動及引人勇於探索的數學問題，本文嘗試解釋學生如何利用回答下列有關循環小數的相關問題，並藉計算器與電腦尋求出的解答，發現重要的高階數學定理。

關鍵詞：計算器 循環小數 循環節 數論 科技教學

壹、前言

商科大一數學及師範生國小數學教材教法課程的學生，在利用計算器將分數轉為小數的求解過程中，發現計算器的缺點，因為計算器的顯示數字最多只能有12位數字，老師提供的計算器只有八位元，因此學生提出二個問題，無循環小數概念的學生會問小數點後要有幾位有效數字，因為四捨五入估測概念深植在學生腦中，有循環小數概念的學生會問這個答案的小數是否循環，如何求循環節長度？為了要讓學生對循環小數有深入的了解，作者設計了一些學習活動，讓學生如早期數學家一般，研討這個令人玩味的主題，循環小數的迷人處不下於質數，質數有多長的存在探討歷史(Ore, 1948)，循環小數的循環節就有多久。在沒有計算機與電腦的時代，就有許多數學家，花費很長的時間尋找循環小數的循環節，因此很多有關循環小數的循環節的定義與定理相對產生，「數論」也成了數學系一門很重要的課程，作者希望非數學系的學生及師範生了解小數循環節的由來。二十一世紀是一個科技時代，學生應有科技知識的訓練（李肖梅，民89, 民91），本文是報告學生如何利用計算機與電腦來探討循環小數的循環節，讓理論抽象的「數論」中的數學定理，成為容易瞭解的學習活動的成果。

貳、設計教學活動的學習理論

科技的突飛猛進，電算器的低價碼與普遍性，利用電算器，求數學的運算結果，已是一般人日常生活的一部分，例如，報稅、算帳、出國時的專換匯率(Irwin, 2001)等等，學校中利用科技輔助數學的教學與學習也是全球趨勢（李肖梅，民92），因此，在小數教學中，使用科技產生的結果，造成學生的對循環小數的興趣（李肖梅，民

94），例如循環節的長度、如何找循環節(Lee, 2005)、如何預測二數相除之結果的分

2 吳鳳學報第13期

類等等引人追求的問題，均因有了科技的輔助，而能一目了然。

依據國科會補助之「圖形計算機輔助數學科技化教學之研究」，李肖梅(民89，民90，民91)研發出一個學習理論的架構，讓科技輔助下的數學教學，使學生具備以下的能力。

1. 連結性：了解數學概念由哪裡來往哪裡去。

2. 發展性：由已知的概念去發展未知的知識。

3. 擴張性：除了水平的發展外，仍可擴張為垂直的發展。

4. 例行性：哪些數學知識是例行必須的，哪些是偶而才會需要的。

5. 重建性：因了解而能建構出新的知識，或在既有的架構下，往深與廣面再建或

重建。

學生的學習是自我成長、發現事實、找出關連性、經由猜測、加以推論而獲得知識，而非記憶老師說的話，為了驗證學習理論之有效性、學生學習的興趣、及學習成效，及找出計算器無法顯示藏在機器裡面的小數循環節長度的現實問題，作者設計了學習活動，活動設計的理念與學習步驟如下：

1. 呈現例題：藉著科技輔助快速呈現量化的例題。

2. 觀察異同：觀察例題的相同與相異處做出分類。

3. 分析歸類：分析類組相同範例的特徵。

4. 猜測推理：做出猜測與推理。

5. 形成結論：依據推理做出結論。

讓學生能依據呈現例題、觀察異同、分析歸類、猜測推理、及形成結論，探討循環小數的相關問題，及藉由計算器與電腦的輔助尋求出的解答，達成了解有關循環小數概念的認知，學習活動包含以下五個循環小數的概念探討。

循環小數學習活動一：小數的表徵類型。

循環小數學習活動二：質數分母的無限循環小數的循環節的產生。

循環小數學習活動三：質數分母的無限循環小數的循環節的長度的決定。

循環小數學習活動四：質數分母與合數分母的循環節長度的關係。

循環小數學習活動五：利用計算器求循環小數的循環節長度。

參、教學活動

一、循環小數學習活動一：小數的表徵類型

(一)呈現例題

利用計算機求出分母為

20

以內所得結果之小數的類型

圖一： 循環小數類型

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(二)觀察異同與推論

由圖一運算結果顯示，學生可找出小數之種類，第一類分數為1/2, 1/4, 1/5, 1/8, 1/10, 1/16及1/20等分數均可轉為有限小數；第二類分數為1/3, 1/7, 1/9, 1/11, 及1/13等小數的展開式為無限循環小數；第三類分數為1/12, 1/14, 1 /15, 及1/18等為混和小數；第四類分數是1/17及1/19的小數類型為無法判斷，因為計算機只能呈現十一位數字，其他隱藏在計算機內的數字，無法判斷是否有重複的數字，這成為學生需要進一步探討的對象。

(三)利用電腦求出分母為1/17及1/19之小數的類型

雖然計算機無法判斷，學生用功能較強的電腦來求小數長度，由電腦mircalc.zip計算可求出1/17的結果有重複數字，重複數字的長度為16，亦即循環節長度為16，因此，1/17=0.[**************]7，同理可求出1/19=，因此可將1/17與1/19歸類為無限循環小數。

(四)結論

求分數化小數的過程中，發現小數的種類有三類型(Lady, 2004)，第一類為有限小數，第二類為無限循環小數和第三類為混和無限循環小數。第一類有限小數分母的質因數分解式，僅含2與5的二個質因數，第二類無限循環小數的分母，除了9之外均為質因數，而9是3的倍數，第三類混和循環小數分母的質因數分解式含2與5及其他質因數的乘積，混和小數中含循環及不循環數字，而不循環數字的個數稱為延遲數，小數中重複的數字或循環的數字稱為循環節，重複數字或循環節的個數稱為循環節的長度。

二、循環小數學習活動二：質數分母的循環小數的循環節如何產生？

(一)呈現例題

請學生分成小組利用紙筆，用長除法求質數分母的分數1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7, 1/13, 2/ 13, 3/13, 4/13,… ,12/13等的餘數，並將其列出，下圖三為計算1/7, 1/13和2/13的長除法(Lichtenberg,1978)的算式。

4 吳鳳學報第13期

0.142857

100000077

30

28

20

14

60

56

40

45

500.[***********][***********]0.[***********][***********]0

78

2

49 1

圖二：長除法

(二)觀察異同與推論

1.由圖二1/7的算式，可看出分數1/7經由長除法得餘數1, 3, 2, 6, 4 和5，當餘數1與被除數1相同時，表計算結束，因為再計算下去會產生相同的商與餘數。

2.其他分母為七的分數2/7, 3/7, 4/7, 5/7和6/7，經長除法求得的餘數與1/7相同。

，可看出分數1/13經由長除法得餘數1, 10, 3.由圖二1/13和2/13的長除法的算式

9, 12, 3 和4，當餘數1與被除數1相同時，表計算結束，但是餘數只有六個，少了餘數2, 5, 6, 7, 8, 和11。

，當餘數2與被除數2相同時，4.而分數2/13經由長除法得餘數2, 7, 5, 11, 6 和8

表計算結束，而餘數也是只有六個，少了餘數1, 10, 9, 12, 3 和4。

5.其他分母為13的真分數，經長除法求得的餘數分成兩組，一組餘數與1/13同另一組與2/13同，兩組答案的聯集為一組12個數字為1~12的餘數集合。 (三)結論

1.循環小數的循環節的長度與經由長除法所產生的餘數個數有關。

2.分母為七的真分數的循環節長度與餘數個數相同，為7-1=6。

3.分母為十三的真分數的循環節長度與餘數個數不相同，但分成兩組， 兩組的餘數個數6均為餘數13-1=12的一半，亦即2×6=12，滿足與餘數相同的概念。

三、循環小數學習活動三：循環節長度的決定

(一)思考問題：由前一節活動的結論可知，循環節的長度與餘數個數相同，例如質

因數7，或可由不同的循環節2個組成與餘數12個數相同，例如質因數13，但是為何13的循環節長度為6而不是其他數字呢？這是個值得探討的問題。

探討循環小數的循環節 5

(二)呈現例題：觀察以下幾個循環小數的結果，顯示無限循環小數轉為分數，未化

為最簡分數前，分母全是由數字9組成，為什麼？

0.142857 142857 142857 … =142957/999999=1/7

=1/407 0.002457 002457 002457 … = 2457/999999

0.149877 149877 149877 … =149877/999999=61/407

0.135135 135135 135135 … =135135/999999=55/407=5/37

0.135 135 135 135 135 … = 135/ 999=5/37

(三)活動二：將無限循環小數N=轉為分數。

(四)觀察異同與推論

幾個數字的循環節就會產生幾個分母中的9，可是這項推論正確嗎？請觀察

下列計算器將分數轉為無限循環小數的結果。

圖三：循環節的長度

(五)結論

1.由圖三循環節的長度中的數值，可看出小數的循環節的長度與分子無關，與分母為全含數字九的因數有關，循環節的長度是能使分母q整除數字10k-1的最小的k值。例如，分母為3或9，循環節的長度是一位數字，因為為3或9均可整除9=101-1，最小的k值為一。分母為11，循環節的長度是二位數字，因為為11可整除99=102-1，最小的k值為二，99可以被11整除或1/11=9/99。分母為37，循環節的長度是三位數字，因為為37可整除999＝103-1， 999可以被37整除或1/37=27/999，雖然37可以整除999, 999999或99999999，但是需要的循環節長度是最小可整除全是9的數字，而999含9的個數為3是最小的個數，最小的k值為三。分母為101循環節的長度是四位數字，因為為101可整除9999=104-1，最小的k

值為四。分母為

41而41

可整除99999或

1/41=2439/99999，9有五個，故

1/41的循環節為5。1/7的循環節為

6，因為999999可以被7整除或1/7=142857/999999。

圖四：質因數的倍數

2.將無限循環小數N=轉為分數。

6 吳鳳學報第13期

解： 令 N= 0.[***********]358974 ………..(1)

1000000N=358974.[***********] ………..(2)

(2) - (1) 999999N=358974

= 358974 ∴ N999999

3.經整理在計算器的最大容量範圍內，求出質因數的倍數是全有數碼九所組成的數字，列表如下。 表二：由不同個數的9組成的數字的質因數分解式

數字全是9 質因數分解式

2

32×1133×3732×11×10132×41×27133×7×11×13×3732×239×464932×11×73×101×13734×37×33366732×11×41×271×9091

[1**********] 因計算機程式會產生四捨五入的誤差（2 ⋅ 41 ⋅ 271 ⋅ 9091 錯誤值）值， 無法給予正確因數分解 ⋅3⋅3⋅5⋅11

3 2 × × 513239 （正確值） 21649

32×7×11×13×37×101×9901

四、循環小數學習活動四：質數分母與合數分母的循環節長度的關係

(一)呈現例題、觀察異同與推理

，並將小數分類i) 小數的種1.觀察將分數分母為數字二十以內的小數展開式分類

類ii) 循環節的長度iii) 延遲數的個數，填入下表三：

2.觀察圖一循環小數類型，第三類分數為1/12, 1/14, 1 /15, 及1/18等混和循環小數中，分母質因數分解式2與5的最高次方，再比較延遲數的個數，找出兩者的關係。

3.觀察圖一第三類分數為1/12, 1/14, 1 /15, 及1/18等混和循環小數中，在分母的質因數分解式中，利用含非2與5的質因數的循環節長度，求一個、二個或多個質因數循環節長度的最小公倍數，比較此公倍數與混和循環小數的循環節，找出兩者的關係。

(二)結論

1.分母質因數分解式2與5的最高次方，與延遲數的個數相同，例如1/12=0.083

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的延遲數字為2，分母12的質因數分解式：12=22×3中質因數2的最高次方亦為2。

2.分母的質因數分解式中，利用含非2與5的質因數的循環節長度，求一個、二個或多個質因數循環節長度的最小公倍數，此公倍數與混和循環小數的循環節兩者的關係亦相同。例如1/14=0.0714285分母14的質因數分解式：14=2×7中質因數7的循環節為6，1/14的循環節亦為6，又因此分解式中有質因數2，而其次方為1，固有延遲數為1。

3.結論填入表三

五、循環小數學習活動五：計算器求循環小數的循環節長度

提供以下範例讓學生可利用最簡單、便宜的八位元的計算器，自由探討任意真分數的小數類型與循環節的長度，求解步驟如下：

(一)瞭解電算器：

8 吳鳳學報第13期

1.若要找出分數N/D的小數表徵，需要知道電算器的顯示數字的個數是幾位。 例如：求分數7/23之小數循環節，使用一個呈現八位數字的電算器，則令分子

N＝7，分母D＝23，對任意數字A而言，令＃（A）表數字A的位數，

例如，23是二位數字＃（23）＝2，且＃（.[1**********]2）=12。

2.令B＝＃（電算器顯示數字C的個數）-＃（分母D的個數）。

3.若要知道＃C電算器顯示數字的個數，只需輸入數字[1**********]2並數幾位即可。

圖十：電算器的呈現數字位數(此電算器的呈現數字的位數為12)

4. B=#(電算器的呈現數字的位數C)-#(D)=12-2=10。

(二)紀錄

1.分子除以分母產生的小數值，需依B長度區塊做紀錄。

2.經過起始的紀錄，小數點前的數字依是否為真分數來決定(N是否大於D)；

(1)若N

N′(2)若N>D，則將假分數N/D轉變為混合分數a+，然後記錄起始數字a，再D

執行運算過程。

3.範例：若分數是40/23，則起始記錄為整數1，求小數點後分數17/23的循環節，

4017因為=1+。 2323

4.過程步驟

步驟一：記錄N/D的起始數字。

步驟二：清除電算器內部或外部任何記憶內容。 步驟三：計算

N÷D之值，例如：17÷23=0.[1**********]3。

步驟四：配合電算器的顯示個數，如果B=12−2=10，則下一個該記錄的B

區塊數字為0.7391304347。

步驟五：判斷

若未觀察出任何循環數值的跡象，表仍需求更多的小數表徵，則繼續

執行步驟六，否則就表示循環節已求出，結束運算算則。

步驟六：清除電算器。

步驟七：小數點後輸入步驟四的B區塊數字，例：輸入.7391304347。

步驟八：乘以分母D，例如，7391304347×23=16.9999999981。

步驟九：求N-16.9999999981（步驟八的結果）的差值。

例如：17−16.9999999981=0.0000000019

探討循環小數的循環節 9

步驟十：將步驟十的結果改為整數，小數點後向右移動B位(或乘以10的B次方

)，得整數19。

步驟十一：將步驟十所得整數當成新的分子，然後重新執行步驟二及其他過程。

第一次迴路：求下一個分數19/23的商，需重複步驟二至十一：

步驟二：清除電算器內部或外部任何記憶內容。 步驟三：計算

N÷D之值，現在N=19, 19÷23=0.[1**********]2。

步驟四：記錄新求出的數字，現17/23為0.[***********]65。

步驟五：仍未能看出循環數字的跡象，決定需更多小數，繼續步驟六。

步驟六：清除電算器。

步驟七：輸入. 8260869565。

步驟八：乘以分母D，例如，.8260869565×23=18.9999999995。

步驟九：求差值：N-（步驟八結果）

19-18.9999999995=0.0000000005。

步驟十：將小數點向右移動

B區塊(或乘以

10的B次方)，得整數5。

步驟十一：重新訂定N

＝5，轉回步驟二至十一如下：

第二次計算迴路 步驟二：清除電算器內部或外部任何記憶內容。

步驟三：計算5÷23=0.[1**********]8。

步驟四：紀錄增加17/23為0.[***********][1**********]348。

5步驟五：決定繼續或終止，一旦的循環節清晰可知，算則即可終止，因23

為23為質數而質數的最長循環節為P-1=23-1=22，而小數值到達

22位數時，以看見重複出現的數字，故終止運算算則。

肆、循環小數學習活動啟發出數論概念

一、兩整數a與b稱為對n同餘(Congruent for the modulus n)，當兩數之差a-b可被n

整除，符號記為a≡b (mod n)。

10 吳鳳學報第13期

練習一：數字1與8對數字7而言是同餘，因此1/7=0.142857與8/7=1.142857除

了整數部分不同外，均有相同的小數循環節。

二、若q為質數，則循環節的長度是(q-1)的因數(Price, 2004; Lady, 2004)。

練習二：13為質數，則循環節的長度是(13-1)的因數嗎？

已知質數13的循環節的長度是6，而6是13-1=12的因數。

a2三、對任一分母q 而言，若其能化為為質因數分解式p1a1×p2…，則循環節的長度是

a2−1φ(q)=(p1−1)p1a1−1×(p2−1)p2×…的因數。

練習三：求91的循環節的長度。

解：因為91可分解為91=7×13，故需求7與13的循環節長度，7的循環節

長度為φ(7)=6，而13的循環節長度為φ(13)=6，因此兩循環節的長度

的最小公倍數是LCM(φ(7)=6,φ(13)=6)=6。

練習四：：探討3的次方的循環節的長度。 解：

φ(3)=1φ(9)=1

φ(27)=3φ(81)

=9φ(243)=27

計算器無法顯示所有的循環節數字，可利用活動五的方法求循環節或可利用電腦程式，得1/243=0.[***********]670781893的循環節長度為27。

能由1/3, 1/8, 1/27, 1/81, 1/243推論1/729的循環節長度嗎？能推論1/3n的循環節長度嗎？

φ(3)=1φ(9=32)=30φ(27=33)=31φ(81=34)=9=32

φ(243)=27=33…

φ(3n)=3n−2

四、q1與q2最小公倍數的循環節長度是兩循環節長度的最小公倍數。

練習五：求9997的循環節的長度。

解：因為9997可因數分解為9997=13×769，故9997的循環節長度應為

12×768=9216的因數，利用電腦求出769重複的數字的循環節為192，

1/769=0.[***********][***********][***********]

[***********][***********][***********]9648894

[***********][***********][***********]2496749

[**************]1。

已知ϕ(13)=6同時也求出ϕ(769)=192，因此13的循環節長度為6，而769的循環節長度為192，因此兩循環節的長度的最小公倍數LCM(6, 192)=192。1/9997=0.[***********][***********][***********][***********][***********][***********][***********][***********][***********][***********][1**********]7，事實上此循環節的長度是192。

探討循環小數的循環節 11

五、若p是質數且1/p的循環節長度為k，則1/p會有

若循環數字為m，則其乘積mp會有k個九。

練習六：探討1/41 循環節長度k為何？有幾個長度為k的不同循環節？

解：

p−1個長度為k的不同循環節；k

由上計算器的顯示可看出1/41的循環節長度為k=5，而根據同餘概念可求出

41−1對應餘數分別為1, 10, 18, 16和37等五個，因此質因數41會對應=8

個不

5

同的循環節，因無餘數2，可用計算器求解對應餘數分別為2, 20, 36, 32

和33等

五個。

同理可求出其它的循環節，對應的餘數分別為餘數3開始的3, 30, 13, 7和

29；對應的餘數分別為餘數4開始的4, 40, 31, 23和25；對應的餘數分別為餘數5開始的5, 9, 8, 39和21；對應的餘數分別為餘數6開始的6, 19, 26, 14和17；對應的餘數分別為餘數11開始的11, 28, 34, 12和38；對應的餘數分別為餘數15開始的15, 27, 24, 35和22。

練習七：探討1/41 循環節數值為何？若循環數字為m，則其乘積mp會有幾個

九。 解：由練習六可知循環節長度為5

，1÷41=0.02439且2439×41=99999。

故得知乘積會有五個九。

伍、由數論引出之循環小數趣味遊戲

一、圓形排列：活動一的後續發展

分數1/7的小數展開式的循環節數字可以形成環狀，以順時鐘方向旋轉，立刻可以看出無限循環的可能性。首先將分1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 與6/7一一列出如下，比較組成循環節數字的同異處。

12 吳鳳學報第13期

1/7=0.142857

4/7=0.5714282/7=0.285714 5/7=0.714285

3/7=6/7=學生的第一個發現是所有的組成循環節的數字，均為1, 4, 2, 8, 5與7，且發現欠缺數碼3, 6,與9(為什麼？)，想想看，七的倍數的個位數字為何哪些數碼？

學生的第二個發現是所有的其他的循環數字，均可由第一個循環數字相乘而獲得。例如：

1×142857=142857 2×[1**********]4 3×142857=428571

4×142857=571428 5×[1**********]5 6×142857=857142

學生的第三個發現是兩分數1/7+6/7相加的和是一，而循環小數部分的和卻是數字九的無限循環，因此兩者不同表徵，數值是否相同，「0.99999…..=1」是否相等的敘述受到熱烈的討論。

16+=0.142857+0.857142=0.99999977

25+=+= 77

34+=+=77

學生的第四個發現是組成數字1, 4, 2, 8, 5與7形成環狀排列(Seydel, 1979; Lady, =2004)如下圖五所示： =

1/7=.142857…

.1 5/7 47 5 4/7 2 2/7

6/7

圖五：1/7的圓形排列

學生的第五個發現是在圓形排列中，除了可看出對應圓環外的分數和為一，且對應圓環外的小數和為九，分子大於7的數字化為帶分數之後，依順時鐘產生相同小數數碼，再一次驗證mod n的概念。

8

圖六：分母為七的帶分數之小數異同

探討循環小數的循環節 13

學生的第六個發現是圖五環狀排列分數出現的次序，與活動二的長除法求餘數時，餘數的次序相同，為什麼呢？有了以上的發現，小數變的沒那麼枯燥乏味，而是更有創意與巧思。

二、圓內數字與圓外分數的再探討

活動一：圖五小數點依順時鐘方向移動，就會形成另一個同分母分數的循環小數，令

a表圈內的小數點後的數字，令na/7表a所對應圈外的分數，若將小數點移動

180°，此時小數點後的數字令為b，令nb/7表b所對應圈外的分數，則觀察下

列數值為何？

1.a+b=?

若a=1小數點移動180°後會落在數字b=8前，此二數之和1+8會等於9(Price,

2004).

若a=4小數點移動180°後會落在數字b=5前，此二數之和4+5會等於9.

若a=2小數點移動180°後會落在數字b=7前，此二數之和2+7會等於9.

2.na+nb=?

若a=1對應圈外的分數na/7=1/7，小數點移動180°後數字b=8對應圈外的

分數nb/7=6/7前此二數之和na+nb=1+6=7.

若a=4對應圈外的分數na/7=3/7，小數點移動180°後數字b=5對應圈外的

分數nb/7=4/7前此二數之和na+nb=3+4=7.

若a=2對應圈外的分數na/7=2/7，小數點移動180°後數字b=7對應圈外的

分數nb/7=5/7前此二數之和na+nb=2+5=7.

活動二：若環狀是由分母為13的分數組成，則前述兩個問題是否仍然成立？分母為

13的分數，有幾個環狀排列？為什麼？

活動三：令p表分數的分母，若將小數點移動120°，令a表圈內的小數點後的第一數字，

令na/p表a所對應圈外的分數，令為b表圈內的小數點移動後的第二數字，

nb/p表b所對應圈外的分數，令c表圈內的小數點後的第三數字， nc/p表c所對

應圈外的分數，則觀察下列數值為何？

1.a+b+c=?

2.na+nb+nc =?

三、若已知某分數的環狀排列循環小數展開式，可求其環內數值對應的環外分數嗎？

若循環節的長度為奇數時，則小數點移動180°與120°上述結果仍成立嗎？

14 吳鳳學報第13期

1/13=.076923.0 100000/13=4/13 10000/13=3/13

3 2 9 7 10/13 100/13=9/13 1000/13=12/13

圖七：1/13的圓形排列

發現一：若依順時鐘移動小數點一位，則兩位分數分子na與nb關係是nb=10na (mod p)

(Ore, 1948)。例如na/13=1/13=0.076923…，則nb=1∗10=10，nb/13=10/13

=0.769230…。例如nb=10，則nc=10∗nb=100=(7∗13)+9≡

9 (mod 13)，而

9/13=0.692307…，依此類推可找出對應移動環內1/13小數點位置的環外分

數，由圖六可發現此環狀排列數字形成無限循環小數。

圖八：1/13的循環小數之排列

發現二：若循環小數的長度是奇數，且為3的倍數，則小數點可作120°移動但是無

法作180°移動。

發現三：質數分母13的循環節長度為6，6可整除(13-1)=12，且12/6=2，故分母為

13的循環節有兩個，每個循環節的長度為6。

陸、結語

小數教學一直是停留在四則運算與比較大小的計算方面，有了科技的幫助，學生可以揭開循環小數的面貌，了解循環小數的基本原理，對數概念有進一步的認知， 最重要的是科技與學校教學只提供一個方法， 讓學生對無限循環小數這個耐人玩味的數學概念，也能像古代數學家一樣勇於追求，藉著現代的科技輔助，發現出很多「數論」中的定理定義，認識循環小數之淵博，本文僅能介紹作者設計出的幾個活動，讓學生從事無限循環小數的有趣的發現，利用計算機或電腦探討循環小數也只是井中觀天，因為數論的海闊天空，非有限制的計算機或電腦能一覽無遺的，但是這已經能讓抽象的「數論」概念中的定理定義，變的易懂易學。最重要的是讓過去學過的數學知識得以發揮，讓數學的學習具有意義，讓數學概念得以向高階數學概念挑戰，讓連結性、發展性、擴張性、例行性及重建性的學習理念，從數學概念由哪裡來往哪裡去，

探討循環小數的循環節 15

將已知的概念去發展未知的知識，除了水平的發展外，仍可擴張為垂直的發展，了解哪些數學知識是例行必須的，哪些是偶而才會需要的，最後藉既有數學知識，去了解而能建構出新的知識，或在既有的架構下，往深與廣面再建或重建數學新知識。

柒、參考書籍

英文參考書籍

[1] Devi, S. (1977). Figuring: The Joy of Numbers. Harper & Row, Publishers: New

York.

[2] Irwin, K. (2001). Using everyday knowledge of decimal to enhance understanding.

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[3] Kaprekar, D. R. (1948). Demlo Numbers. Price Rupees Six.

[4] Lee, B. (2005). Repeating decimals how do they repeat? Paper presented at NCTM

Annual Meeting.

[5] Lady, E.L. (2004). The Period for the decimal expansion of a fraction. Lecture

paper from the author.

[6] Lichtenberg, D.R. (1978). Mini-calculators and repeating decimals. Mathematics

Teacher, p.524-530.

[7] Maxfield, J. E. & Maxfield, M. W. (1972). Discovering Number Theory. W. B.

Saunders Company: Philadelphia.

[8] mircalc.zip. [9] Niven, I & Zuckerman, H. S. (1960). An Introduction to the Theory of Numbers. John

Wiley & Son Inc: New York.

[10] Ogilvy, C. S. & Anderson J. T. (1966). Excursions in number theory. Oxford

University Press: New York.

[11] Ore, O. (1948). Number Theory and Its history. New York: McGraw-Hill Book

Company, INC.

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Edition Published by the L.W. Singer Company.

[13] Price, B. (2004). Repeating decimals in fractions of prime numbers.

http://www.geocities.com/bprice1949/primes.html

[14] Reichmann, W. J. (1957). The Fascination of Numbers. Methuen & CO LTD:

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[15] Richer, H. (3/27/2005). The Period length of the decimals expansion of a fraction. .

[16] Seydel, K. (1979). Cyclic fractions. Mathematics Teacher, p.567-568.

[17] Stevenson, F. W. (2000). Exploring the Real Numbers. Prentice-Hall, Inc. New Jersey.

[18] Taylor, L. F. (1970). Numbers. Faber and Faber: London.

[19] . (3/27/2005) Decimal Expansion.

16 吳鳳學報第13期

中文參考書籍

[1] 李肖梅。(民94)。循環小數的循環節。教學科技研習會，中等學校師資培育機構，

從事九年一貫課程及地方教育輔導研習專題報告。

[2] 李肖梅。(民92)。計算機教學工作坊學員與統計思維。吳鳳學報十一期。

[3] 李肖梅。(民91)。圖形計算機與描述統計資料。吳鳳學報十期。

[4] 李肖梅。(民89)。數學科技化。吳鳳學報第八期。