柯西不等式的应用
柯西不等式的应用
柯西不等式是一个重要的不等式,利用它可以证明其他一些不等式,有时还较为简捷。 柯西不等式内容是:若a 1, a 2…,a n 与b 1, b 2…,b n 为两组实数,则
(a 1b 1+a 2b 2
+ +a n b n )≤a 1+a 2+ +a n ⨯(b 1+b 2+ +b n ) (A )
2
2
2
2
2
2
2()
当且仅当
a 1b 1
=
a 2b 2
= =
a n b n
时,(A )式取等号。
(a 1
证明:因为
-b 1x )≥0
2
(a 2(a n
-b 2x )≥0
2
-b n x )≥0
2
所以把上列n 个不等式相加得
f (x )=(a 1-b 1x )+(a 2-b 2x )+ +(a n -b n x )≥0, (1)
2
2
2
f (x )=b 1+b 2+ +b n x -2(a 1b 1+a 2b 2+ +a n b n )x +a 1+a 2+ +a n ≥0 (2)
2
2
2
2
2
2
2
222
因为b 1+b 2+ +b n 0, 且f (x )≥0,所以关于x 的二次三项式f (x )的判别式△≤0
()()
即△=4(a 1b 1+a 2b 2+ +a n b n )-4(b 1+b 2+ +b n )(a 1+a 2+ +a n )≤0
2
2
2
2
2
2
2
即(a 1b 1+a 2b 2+ +a n b n )≤(a 1+a 2+ +a n )(b 1+b 2+ +b n ) (A )
2
2
2
2
2
2
2
现在研究(A )式取等号问题。
若(A )式取等号,则△=0,于是由(2)知方程f (x ) =0有二重实根x =k , 代入(1)得 (a 1-b 1k )+(a 2-b 2k )+ +(a n -b n k )=0
2
2
2
于是,a 1-b 1k =a 2-b 2k = =a n -b n k =0 所以
a 1b 1
=a 2b 2
= =
a n b n
=k (3)
这样,就是由若(A )式取等号,推导得(3)成立。
1
反之,由(3)易于推导出(A )式取等号
说明:应用柯西不等式(A )证题的关键是善于构造两组数:
a 1, a 2, a n ; b 1, b 2, b n ;
不等式(A )的左端是这两组数对应项的乘积之和的平方,即(a 1b 1+a 2b 2+ +a n b n ),
2
右端是每组中诸数平方和之积。
即(a 2222+b 2
1+a 2+ +a n )(b 1+b 2+ n )
222
例1:已知,
a 1+a 2+ +a n =1x 2
+x 2+ +x 2
1
2
n
=1
求证:a 1x 1+a 2x 2+ +a n b n ≤1 证法一:(常用证法) 2
2
a 1+x 1≥2a 1x 1,
a 2
+x 2≥2a 22
2
2
2x 2, a n
+x n
≥2a n x n ,
把上面n 个不等式相加,得
(a
222
1
+a 2+ +a n )+(
x 222
1+x 2+ +x n )
≥2a 1x 1+2a 2x 2+ +2a n x n ,
即
2≥2(a 1x 1+a 2x 2+ +a n x n )∴a 1x 1+a 2x 2+ +a n x n ≤1
证法二:(利用柯西不等式来证明)
分析求证的不等式特点,可构造如下两组数:a 1, a 2, a n ; x 1, x 2 x n 由柯西不等式(A )有 2
(a 1x 1+a 2x 2+ +a n x n )≤(a 2
2
2
1+a 2+a n )(
x 2
2
2
1+x 2+ +x n
)
∴a 1x 1+a
2x 2+ +a n x n ≤1
两相比较,可见用柯西不等式证明较为简捷
例2:设a 1, a 2, a n 是一串互不相同的正整数,证明对一切自然数n ,a 121
2
+
a 2
2
+ +
a n n
2
≥1+
112
+ +
n
分析:上不等式可写为
2
都有
11
+
12
+ +
1n
≤
a 11
2
+
a 22
2
+ +
a n n
2
构造如下两组数:
a 11
, a 22
, ,
a n n
;
1a 1
,
1a 2
,
1a n
由柯西不等式(A ),有 ⎛a 1
1 ⋅+
1a 1⎝
a 22
2
⋅
1a 2
+ +
a n n
⋅
a n ⎫⎛1a 1a 21⎫11⎫⎪≤⎛⎪++ + 2+2+ +2⎪ ⎪a 2a n ⎪2n ⎭⎝a 1a n ⎭⎝1⎭
2
a n ⎫⎛1a 11⎫11⎫⎛a 1⎛
⎪ +2+ +⨯++ +即 1++ +⎪≤ 2⎪22 2n ⎭a 2a n ⎪2n ⎭⎝a 1⎝⎝1⎭
与原不等式比较,须证
⎛111⎫⎛111⎫
⎪≤ ++ +⎪就行了 ++ + a a n ⎪n ⎭⎝1a 2⎭⎝12
怎样证明上一不等式呢?
因为a 1, a 2, a n 是不相同的正整数,不失一般性,故可设a 1, a 2, a n ,是从小到大排列的正整数,于是有a 1≥1, a 2≥2, , a n ≥n
∴
1a 1
≤1,
1a 2
≤12,
1a n
≤1n
把上n 个不等式相加,有
⎛111⎫111
⎪≤++ +++ + a a 2a n ⎪n 1⎝⎭12
a n a 1a 11
∴1++ +≤2+2+ +22
2n 12n
请读者根据上面的分析写出证明 例3:设△ABC 为任意三角形,求证: tg
2
A 2
+tg
2
B 2
+tg
2
C 2
≥1
分析:从所要证明的不等式出发,构造如下两组数: tg
A 2
, tg
B 2
, tg
C 2
,1,1,1
3
由柯西不等式(A ),有
A B C ⎫⎛⎛tg ⋅1+tg ⋅1+tg ⋅1⎪≤ tg
222⎭⎝⎝1⎛A B C ⎫
即 tg +tg +tg ⎪≤tg 3⎝222⎭
2
22
2
A 2
+tg
2B 2
2
+tg
2
C ⎫222
⎪(1+1+1)2⎭
A 2
+tg
2
B 2
+tg
C 2
A 2
B 2
C 2
把上面这个不等式与求证的不等式比较,可知如果能推导出tg 题就解决了,但是,tg
A 2+tg
B 2B 2
+tg
C 2≠
+tg +tg =3,问
3,所以,这样构造的两组数不能证明求证的不等
式成立,因此应修改所构造的两组数如下:
tg A 2, tg
B 2, tg
C 2
; tg , tg
C 2
, tg
A 2
,
由柯西不等式(A ),有
A ⎫⎛⎛
⋅tg +tg ⋅tg +tg ⋅tg ⎪≤ tg tg 222222⎭⎝⎝A B B C C A ⎫⎛⎛
即 tg ⋅tg +tg ⋅tg +tg ⋅tg ⎪≤ tg
222222⎭⎝⎝
2
A B B C C
2
2
A 2
+tg
2
B 2
+tg
2
C ⎫⎛
⎪ tg 2⎭⎝
2
2
B 2
+tg
2
C 2
+tg
2
A ⎫⎪2⎭
2
A 2
+tg
2
B 2
+tg
2
C ⎫⎪. 2⎭
把上面不等式与求证不等式比较,可知要证原不等式成立,须证
A B B C C A ⎛⎫⋅tg +tg ⋅tg +tg ⋅tg =1. ⎪ tg 222222⎝⎭
上面这个不等式,可证明如下: 由已知A +B +C =π,
C ⎛A +B ⎫
=ctg , ∴ tg ⎪
2⎝2⎭
tg
∴
A +tg A 2tg
B 2
B =
B 2
+tg
B 2
1tg
tg
1-tg
∴ tg
A 2
C 2C
2
,
tg +tg
C 2
tg
A 2
=1.
这样,本题即可证明了.
根据上面的分析,写出证明如下: 先构造如下两组数
4
tg tg
A 2B 2
, tg , tg
B 2C 2
, tg , tg
C 2A 2
; .
由柯西不等式(A )有
A B B C C A ⎫⎛⎛⋅tg +tg ⋅tg +tg ⋅tg ⎪≤ tg tg 222222⎭⎝⎝A B B C C A ⎫⎛⎛即 tg tg +tg tg +tg tg ⎪≤ tg
222222⎭⎝⎝
2
2
2
2
A 2A 2
+tg
2
B 2B 2
+tg
2
C ⎫⎛
⎪ tg 2⎭⎝
2
2
B 2
+tg
2
C 2
+tg
2
A ⎫⎪2⎭
+tg
2
+tg
2
C ⎫⎪. 2⎭
由已知A +B +C =π,
C ⎛A +B ⎫
, ∴ tg ⎪=ctg 2⎝2⎭
tg
∴
A +tg A 2tg
B 2
B =
B 2
+tg
B 2
1tg
tg
1-tg
∴ tg
A 2
C 2C
2
2
,
tg +tg
C 2
2
tg
A 2
2
=1
⎛
于是,有1≤ tg
⎝
∴ tg
2
2
A 2
B 2
+tg
2
B 2
tg
C ⎫⎪, 2⎭
A 2
+tg
2
+tg
x
C 2
≥1.
x
x
例4:设f (x )=lg
n ≥2,
1+2+ +(n -1)+n a
n
其中a 是实数,n 是任意给定的自然数且
(i)如果f (x ) 当x ∈(-∞, 1]时有意义, 求a 的取值范围
(ii) 如果a ∈(0, 1],证明2f (x ) f (2x ) 当x ≠0时成立.(1990年全国普通高等学校招生统
一考试第26题)
此题第二步骤用柯西不等式证明较为简捷. 证明:构造两组数,1, 2, 3, (n -1) , n a
x
x
x
x
5
1, 1, 1, 1 当0 a 1 x ≠0时,有a 2 a 由柯西不等式(A )有
(1⋅1+2⋅1++3⋅1+ +(n -1) ⋅1+n ⋅a )
2
2
2
2
x
2
x
2
x
x
x
x
2
x
2
≤(1+1+ +1)(1+(2) +(3) + +(n a ) ]=n (1+2 n (1+2
2x 2x
+3+3
2x 2x
+ ++(n -1) + +(n -1)
2x
+n
2x
a ]
2
2x
+n
2x
a )
当 a =1, x ≠0时, 因1≠2x . 于是由柯西不等式得
(1+2+ +(n -1) +n ) n (1+2
x
x
x
2
2x
+ +(n -1)
2x
+n
2x
)
故当a ∈(0, 1]x ≠0 都有 (1+2x + +(n -1) x +n x ) 2
n [1+2
2x
+ +(n -1)
2x
+n
2x
a )
6