话说有理数中的数学思想
话说有理数中的数学思想
通过复习不光要掌握数学的知识,还要掌握数学的思想,因为数学思想是数学知识、数学技能、数学方法的本质体现,是形成数学能力、数学意识的桥梁,是灵活运用数学知识、技能、方法的灵魂。进入中学后学习的第一章《有理数》中主要包含的数学思想有:转化、分类、数形结合和整体的思想几种。
一、转化思想
将所要研究和解决的陌生问题变为已经学过的熟悉问题来处理的数学思想称为转化思想,它是一种研究和解决数学问题的基本思想。如在有理数加法的基础上,利用相反数的概念将减法运算转化为加法运算——减去一个数等于加上这个数的相反数,从而使加、减法得到统一;又如在有理数乘法的基础上,利用倒数概念将除法运算转化乘法运算——除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数,从而使乘除法得到统一等。转化思想是解决问题、获得新知识的一种重要数学思想。
例1、计算 :(-3) ⨯2⨯(-4) ⨯(-)
解:原式=-(3⨯2⨯4⨯)=-8 这里“3⨯2⨯4⨯13131”就是小学学过的乘法运算。 3
再如,有理数的减法运算是转化为有理数的加法运算(减去一个数等于加上这个数的相反数)进行,有理数的除法运算是转化为有理数的乘法运算(除以一个数等于乘以这个数的倒数)来进行。
点评:其实,数学解题过程的实质就是转化过程,要提高解题能力,要使转化思想的应用意识化。
二. 分类讨论思想
当被研究的问题包含多种情况,不能一概而论时,必须按可能出现的所有情况来分别讨论,得出各种情况下相应的结论,这种处理问题的思维方法称为分类讨论思想。
譬如,在研究有理数的相反数、绝对值、有理数的加法法则、乘法法则、乘方运算的符号法则时,都是按有理式分成正数、负数、零三类分别进行研究的。
例2、设a 是有理数,则a -a 的值( ).
A.可以是负数 B.不可能是负数
C .必是正数 D.可以是正数也可以是负数
分析:由于题中没有给出a 的取值范围,故需分三种情况来讨论.
解:对于有理数a 有三种可能:正数,负数和0.
当a 为正数时,a -a =a -a =0;
当a 为负数时,a -a =-a -a =-2a >0;
当a 为0时,a -a =0-0=0.
综上所述,a -a ≥0. 故选B.
例3、化简:x +1-3-x
解:令x +1=0得x =-1; 又令3-x =0得x =3,因此
(1) 当x
(2) 当-1≤x ≤3时:原式=(x +1) -(3-x ) =x +1-3+x =2x -2
(3) 当x >3时:原式=(x +1) +(3-x ) =x +1+3-x =4
点评:分类讨论思想的目的在于克服思维的片面性,防止漏解,可以使我们要解决的问题由大变小,由笼统变具体,最终获得问题的解答。
三、数形结合思想
“数无形则少直观,形无数则难入微”,利用数形结合,可以使所要研究的问题化难为易,化繁为简。用数轴上的点来表示有理数,就是最简单的数形结合思想的体现,它使数轴上的点与有理数之间建立起一种对应关系. 借助于数轴,我们可以把数更加直观地反映在数轴上,便于研究数的问题.
例4、已知a <b <0,试比较a ,-a ,b ,-b 的大小.
分析:根据已知条件,将a ,-a ,b ,-b 四个数在数轴上表示出来,再根据在数轴上,右边的数总大于左边的数可比较出它们的大小.
解:因为a 与-a ,b 与-b 互为相反数,又a <b <0,所以四个数在数轴上表示如图所示:
根据在数轴上,右边的数总大于左边的数,可得它们的b -b 0 大小关系为:a <b <-b <-a .
点评:数形结合思想的实质是把抽象的数学语言与直观
的图形结合起来,以直观辅助抽象的思考,以抽象研究直观的细节,这一思想在我们今后的学习中将会出现得更多。
四、整体思想
用整体思想法解数学题,就是把一些看似彼此独立而实质是紧密相联的量看成一个整体去设元、列式、变形、求值等。这样做,不仅可以摆脱固定模式的束缚,使复杂的问题变得简单,陌生的问题变得熟悉,还往往可以解决按常规方法解决不了的一些问题。
例5、计算1-2-3+4+5-6-7+8+„+97-98-99+100
分析:看来要找规律,才好解,两个两个找,发现不了什么,再观察,发现数值的绝对值是连续整数,符号四个一组循环,把这4个一组的数作为一个整体.
解:原式=(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+„+(97-98-99+100)=0
例6、计算(-a 1111111111++ +)(1+++ +) -(1+++ +) ⋅(+ [***********]211+ +) 32004
分析:前后式中有不少是相同的项,把它们视作一个整体来处理。
解:设a =1+11111,则原式=(a -1)(a -++ +) -a (a -1-) [1**********]005=a 2-a 1a 1-a +-a 2+a += [**************]5
点评:整体思想注重问题的整体结构,将题中的某些元素或组合看成一个整体,从而可以化繁为简,优化解题的过程。