圆锥曲线的定义

圆锥曲线的定义、性质和方程(一)

★★★高考在考什么

【考题回放】

2

1．已知AB 为过抛物线y =2px 焦点F 的弦, 则以AB 为直径的圆与抛物线的准线(B)

A ．相交 B．相切 C．相离 D．与p 的取值有关

2．（江苏理）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为x -2y =0，则它的离心率为 （ A ）

A

．

2

2

2

C

D．2

3．点P(a , b ) 是双曲线x -y =1右支上一点，且P

a+b=(B ) A 、- B 、

C 、-2 D 、2

2

4．（全国一）抛物线y =4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F

且斜率为x 轴上方的部分

相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( C)

A ．4 B

．

．．8

x

2

5．（福建理）以双曲线（ A ）

A ．x 2+y 2-10x +9=0 ★★★高考要考什么

9

-

y

2

16

=1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆方程是

B ．x 2+y 2-10x +16=0 C．x 2+y 2+10x +16=0 D ．x 2+y 2+10x +9=0

【热点透析】一、圆锥曲线的定义 二、圆锥曲线的方程。 三、圆锥曲线的性质 知识要点：

1. 2+2=1（a>b>0） （1）范围：|x|≤a，|y|≤b （2）顶点：(±a,0)，(0,±b) （3）

a b 焦点：(±c,0) （4）离心率：e=

a b

（1）范围：|x|≥a, y∈R （2）顶点：(±a,0) （3）焦点：(±c,0)

c b

（4）离心率：e =∈(1,+∞) （6）渐近线：y =±x

a a

x

2

y

2

∈(0,1) 2.双曲线：

x

22

-

y

22

=1（a>0, b>0）

3. 抛物线：y 2=2px(p>0) （1）范围：x≥0, y∈R （2）顶点：（0,0） （3）焦点：（ （4）离心率：e=1 （5）准线：x=-p 2

p 2

,0）

主要题型：

（1）定义及简单几何性质的灵活运用；（2）求曲线方程（含指定圆锥曲线方程及轨迹方程）。 ★★★突破重难点

【例1】学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为

x

2

100

+

y

2

25

=1，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y 轴为对

称轴、M 0,

⎝

⎛

64⎫

⎪ 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D (8, 0) . 观测点A (4, 0) 、B (6, 0) 同时跟踪航7⎭

天器.

（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；

（2）试问：当航天器在x 轴上方时，观测点A 、B 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？

解：（1）设曲线方程为y =ax 2+

∴

a =-

17

647

17

， 由题意可知，0=a ⋅64+

x

2

647

.

. ∴ 曲线方程为y =-

+

647

.

（2）设变轨点为C (x , y ) ，根据题意可知

2

⎧x 2y

+=1, ⎪⎪10025⎨

1264

⎪y =-x +, ⎪77⎩

(1) (2)

得 4y 2-7y -36=0，

y =4或y =-

94

（不合题意，舍去）. ∴y =4.

C 点的坐标为(6, 4) ，|AC |=25,

得 x =6或x =-6（不合题意，舍去）. ∴|BC |=4.

答：当观测点A 、B 测得AC 、BC 距离分别为25、4时，应向航天器发出指令.

【例2】如图1，已知A 、B 、C 是长轴为4的椭圆上三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆中心O ，

且AC ∙BC =0，BC =2AC 。

（1）建立适当的坐标系，求椭圆方程；

（2）如果椭圆上两点P 、Q 使直线CP 、CQ 与x 轴围成底边在x 轴上的等腰

三角形，是否总存在实数λ使P Q =λA B ？请给出证明。

解：（1）以O 为原点，OA 所在的直线为x 轴建立如 图直角坐标系，则A （2，0），椭圆方程可设为

x

2

而O 为椭圆中心，由对称性知|OC|=|OB|又AC ∙BC =0，所以AC ⊥BC

又BC =2AC ，所以|OC|＝|AC|，所以△AOC 为等腰直角三角形，所以点C 坐标为（1，1）。将（1，

4

+

y b

22

=1(0

图

1

1）代入椭圆方程得b =

=1。 4

（2）由直线CP 、CQ 与x 轴围成底边在x 轴上的等腰三角形，设直线CP 的斜率为k ，则直线CQ 的斜率为－k ，直线CP 的方程为y -1=k(x -1) ，直线CQ 的方程为y -1=-k(x -1) 。由椭圆方程与直线CP 的方程联立，消去y 得(1+3k 2) x 2-6k (k -1) x +3k 2-6k -1=0①

因为C （1，1）在椭圆上，所以x ＝1是方程①的一个根，于是

3

2

4

，则椭圆方程为

x

2

4

+

3y

2

x P =

3k -6k -11+3k

2

2

同理x Q =

=13

3k +6k -11+3k

2

2

13

这样，k P Q =

y P -y Q x P -x Q

， 又B （－1，－1），所以k A B =

，

即k AB =kPQ 。所以PQ∥AB，存在实数λ使P Q =λA B 。

【例3】如图，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1 ⊥l 2，点N ∈l 1．以A 、B 为端

点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，|AM |=，|AN |=3，且|BN |=6．建立适当的坐标系，求曲线C 的方程．

解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点． 依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛线段的一段，其中A 、B 分别为C 的端点．设曲线段C 的方程为

y 2=2px (p ＞0) ，(x A ≤x ≤x B ，y ＞0) ，其中x A ，x B 分别为A ，B 的横坐

标，P =|MN |．

所以 M (－(x A ＋

P 2

P 2

，0) ，N (

P 2

，0) ． 由 |AM |=，|AN |=3得

P 2

) 2＋2Px A =17， ①(x A －

4

) 2＋2Px A =9． ②

由①、②两式联立解得x A =

⎧p =4⎧p =2

，再将其代入①式并由p ＞0解得⎨或⎨． P ⎩x A =1⎩x A =2

P

⎧p =2

因为△AMN 是锐角三角形，所以＞x A ，故舍去⎨．∴ P =4，x A =1．

x =22⎩A

由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN |－

P 2

=4．综上得曲线段C 的方程为y 2=8x (1≤x ≤4，y ＞0) ．

解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为x 、y 轴，M 为坐标原点． 作AE ⊥l 1，AD ⊥l 2，BF ⊥l 2，垂足分别为E 、D 、F ． 设 A (x A ，y A ) 、B (x B ，y B ) 、N (x N ，0) ．依题意有

x A =|ME|=|DA|=|AN|=3，y A =|DM |=

锐角三角形，故有

AM

2

-DA

2

=22，由于△AMN 为

x N =|AE |+|EN |=4．=|ME |+

AN

2

-AE

2

=4 X B =|BF |=|BN |=6．

设点P (x ，y ) 是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合{(x ，y )|(x －x N ) 2+y 2=x 2，x A ≤x ≤x B ，y ＞0}． 故曲线段C 的方程y =8(x －2)(3≤x ≤6，y ＞0) ． 【例4】已知椭圆

x a

22

2

+

y b

22

=1(a >b >0) 的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M 向x 轴作垂线，

恰好通过椭圆的左焦点F 1，向量AB 与OM 是共线向量。

（1）求椭圆的离心率e ；

（2）设Q 是椭圆上任意一点， F1、F 2分别是左、右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围； 解：（1）∵F 1(-c , 0), 则x M =-c , y M =∵k AB =-（2）设

b a

b

2

a

，∴k OM =-b

2

b

2

ac

。

22

, OM 与AB 是共线向量，∴-

ac

=-

b a

，∴b=c,故e =。

F 1Q =r 1, F 2Q =r 2, ∠F 1Q F 2=θ, ∴r 1+r 2=2a , F 1F 2=

2c ,

cos θ=

r 1+r 2-4c

2r 1r 2

222

=

(r 1+r 2) -2r 1r 2-4c

2r 1r 2

22

=

a

2

r 1r 2

-1≥

(

a 2

2

r 1+r 2

-1=0 )

2

当且仅当r 1=r 2时，cos θ=0，∴θ∈[0,

π

2

]。

811

【例5】如图，已知梯形ABCD 中|AB |=2|CD |，点E 分有向线段AC 所成的比为，双曲线过C 、D 、E

三点，且以A 、B 为焦点．求双曲线的离心率．

解：如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xOy ，则CD ⊥y 轴． 因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称． 依题意，记A (－c ，0) ，C (

c 2

，h ) ，B (c ，0) ，其中c 为双曲线的半焦距，c =

12

|AB |，h 是梯形的高．

由定比分点坐标公式，得点E 的坐标为

-c +x E =

8

112=-7c ， y =

E

8191+

11

x a

22

⨯

c

0+

811

⨯h 8

=

819

h ．

1+

11

c a

设双曲线的方程为得

-

y b

22

=1，则离心率e =．由点C 、E 在双曲线上，

2

⎧1c

2h

① ⎪⋅2-2=1,

⎪4a b

⎨22

⎪49⋅c -64⋅h =1. ② 22⎪361b ⎩361a

由①式得

h b

22

1c c

=⋅2-1代入②式得2=9所以，离心率e =4a a

22

c a

22

=3

【例6】已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1． （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若直线l ：y=kx+m与椭圆C 相交于A,B 两点（A,B 不是左右顶点），且以AB 为直径的图过椭圆C 的右

顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标． 解：（I ）由题意设椭圆的标准方程为

x a

22

+

y b

22

=1(a >b >0) ，由已知得：a +c =3，a -c =1，∴a =2，

c =1，∴b =a -c =3∴椭圆的标准方程为

222

x

2

4

+

y

2

3

=1

⎧y =kx +m ，⎪222

（Ⅱ）设A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) ，联立⎨x 2y 2 得(3+4k ) x +8m kx +4(m -3) =0，

+=1. ⎪

3⎩4

⎧

⎪∆=64m 2k 2-16(3+4k 2)(m 2-3) >0，即3+4k 2-m 2>0，则⎪

8m k ⎪

，⎨x 1+x 2=-2

3+4k ⎪

2

⎪4(m -3)

. ⎪x 1⋅x 2=2

3+4k ⎩

又y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m ) =k x 1x 2+mk (x 1+x 2) +m =

22

3(m -4k ) 3+4k

2

22

，

因为以A B 为直径的圆过椭圆的右顶点D (2，0) ，∴k AD k BD =-1，即

y 1x 1-2

∙

y 2x 2-2

=-1，

∴y 1y 2+x 1x 2-2(x 1+x 2) +4=0，∴

2k 7

3(m -4k ) 3+4k

2

22

+

4(m -3) 3+4k

2

2

+

16mk 3+4k

2

+4=0，∴7m +16mk +4k =0

22

解得：m 1=-2k ，m 2=-

，且均满足3+4k 2-m 2>0，

当m 1=-2k 时，l 的方程为y =k (x -2) ，直线过定点(2，0) ，与已知矛盾； 当m 2=-

2k 7

时，l 的方程为y =k x -

⎝

⎛

2⎫⎛2⎫

，直线过定点0⎪ ⎪ ，7⎭7⎝⎭

所以，直线l 过定点，定点坐标为 ★★★自我提升

1. 已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆

⎛2

⎫，0⎪ ⎝7⎭

x

2

3

＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在

BC 边上，则△ABC 的周长是(C )

（A ）2（B ）6 （C ）43 （D ）12

2．如果双曲线的两个焦点分别为F 1(-3, 0) 、F 2(3, 0) ，一条渐近线方程为y =线间的距离是（ C ）

A ．63 B．4 C．2 D．1

3．抛物线y =4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( B) ( A )

1716

2x ，那么它的两条准

( B )

1516

( C )

62

78

( D ) 0

4．双曲线的虚轴长为4，离心率e =，F 1、F 2分别是它的左，右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支

交于A 、B 两点，且|AB|是|AF 2|与|BF 2|的等差中项，则|AB|为（A ）.

A 、82 B、42 C、22 D、8

5．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方

2

x 2y +=1 ． 程是 164

6．过椭圆左焦点F ，倾斜角为60︒的直线交椭圆于A 、B 两点，若|FA |=2|FB |，则椭圆的离心率为( B )

(A)

3

(B) +

23

(C)

12

(D)

2

7．椭圆=1的离心率e=

x a

22

，则m=___________m=8或2。

8． F 1、F 2是椭圆

+

y b

22

=1（a>b>0）的两焦点，过F 1的弦AB 与F 2组成等腰直角三角形ABF 2，其中

∠BAF 2=90，则椭圆的离心率是________6-3

9．已知椭圆E 的离心率为e ，左、右焦点为F 1、F 2，抛物线C 以F 2为焦点，F 1为其顶点，若P 为两曲线的公共点，且e |PF 2|=|PF 1|，则e ＝__________。

33

10．如图，已知三点A (－7, 0)，B (7,0)，C (2,－12). ① 若椭圆过A 、B 两点，且C 为其一焦点，

求另一焦点P 的轨迹方程；

② 若双曲线的两支分别过A 、B 两点，且C 为其一

焦点，求另一焦点Q 的轨迹方程。

解析：①由椭圆定义知，|AP|＋|AC|＝|BP|＋|BC|，

即|PB |-|PA |=|AC |-|BC |=2

故P 的轨迹为A （－7，0）、B （7，0）为焦点实轴长为2的双曲线的一支， 其方程为x -

2

y

2

48

② 经讨论知，无论A 在双曲线的哪一支上, 总有|QA|＋|QB|＝|AC|＋|BC|＝28＞|AB|＝14

故点Q 的轨迹为以A （－7，0）、B （7，0）为焦点长轴长为28的椭圆，

=1(x

其方程为

x

2

196

+

y

2

147

=1。 x

22

a b

x 轴 时，恰好|AF 1|:|AF 2=3:1

（I ）求该椭圆的离心率；

11．如图，A 为椭圆+

y

22

=1(a >b >0) 上的一个动点，弦AB 、AC 分别过焦点F 1、F 2．当AC 垂直于

（II ）设AF 1=λ1F 1B ，AF 2=λ2F 2C ，试判断λ1+λ2是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．

解：（I ）当A C 垂直于x 轴时，

AF 1:AF 2=3:1

，

由AF 1+AF 2=2a ，

a 2

2

得A F 1=

3a 2

，A F 2=

2

在Rt△AF 1F 2AF 1解得 e

=（b a

2

=AF 2

+(2c )

2

2

． 由-e

e

2

II a -c a

）

2

==

22

22

，则

==

，b =c ．

，

则椭圆方程为

x

22

0) ，F 2(b ，0) 焦点坐标为F 1(-b ，

2b

+

y b

22

=1，

化简有x +2y =2b ．

222

设A (x 0，y 0) ，B (x 1，y 1) ，C (x 2，y 2) ， ①若直线AC 的斜率存在，则直线AC 方程为y =

2

2

y 0x 0-b

2

(x -b )

2

代入椭圆方程有(3b -2bx 0) y +2by 0(x 0-b ) y -b y 0=0． 由韦达定理得：y 0y 2=-所以λ2=故λ1+λ2=

AF 2F 2C

b

b y 0

2

22

3b -2bx 0

，∴y 2=-

b y 03b -2bx 0

2

2

3b +2x 0

b

=

y 0-y 2

=

3b -2x 0

b

，同理可得λ1=

-3b -2x 0

-b

=

6b

=6．

3b +2b b

=5

②若直线AC ⊥x 轴，x 0=b ，λ2=1，λ1= ∴λ1+λ2＝6．

综上所述：λ1+λ2是定值6． 12．已知椭圆

x

22

a b

22

此正方形外接圆为x +y-2y-8=0，求椭圆方程和直线l 的方程。

解：圆方程x 2+y2-2y-8=0+

y

22

=1（a ＞b ＞0）上两点A 、B ，直线l :y =x +k 上有两点C 、D ，且ABCD 是正方形。

设正方形的边长为p y=x+k的距离应等于正方形边长p 式可知k=-2或k=4。

（1）设AB ： CD： 得A （3，1）B （0，-2∴a =12，b =42

2

（2）设AB ：y=x+4482222

a =, b =16，此时b ＞a （舍去）。

5

综上所述，直线l 方程为y=x+4，椭圆方程为

x

2

12

+

y

2

4

=1。