导数之于函数存在性与恒成立问题
存在性问题和恒成立问题是函数问题的重要内容,也是高考函数参数问题的重要思维形态,导数的加入极大地丰富了该类问题的表现载体,本文主要研究可分离模式以供同行教学参考和高考学子的学习辅导。 一、可分离对等模式 f(x)(?埚x∈D)=a?圳a∈F{f(x)|x∈D}① 例1、(自创)已知函数f(x)=ex-e-x-ax+1,若函数g(x)=f′(x)在区间(-ln3,ln2)上存在零点,求实数a的取值范围 解析:g(x)=f(x)=ex-e-x-a=0(?埚x∈(ln3,ln2)) ?圳a=ex-e-x(?埚x∈(ln3,ln2)) 令h′(x)=ex-e-x, 则h′(x)=ex-e-x=e-x(ex+1)(ex-1) 令h′(x)=0得x=0, ∴h(x)在(ln3,0)上递减,在(0,ln2)上递增 又h(-ln3)=■,h(0)=2,h(ln2)=■, ∴h(x)∈2,■ ∴a∈2,■ 例2、(2010福建文数题改编)已知函数f(x)=■x3-x2+3x-2+■,若f(x)=b有二个根,求实数b的取值范围 解析:f′(x)=x2-2x+3-■ =■ 令f′(x)=0得x=0或x=2 作出y=f(x)的图象: f(x)极大值=f(0)=-5 f(x)极小值=f(2)=-■ b∈(-∞,-5)∪(■+∞) 该题可视作①变式: b∈F={=f(x)|方程=f(x)=b有二个解}?圳{b|曲线y=f(x)与y=b有二个交点} ② 例3、(2010四川理数)设=f(x)=■(a>0且a≠1),g(x)是f(x)的反函数。 (Ⅰ)设关于x的方程求loga=■=g(x)在区间[2,6]上有实数解,求t的取值范围; 解:(1)g(x)=loga■, loga=■=loga=■?圳t=(x-1)2(7-x),x∈[2,6], 令h(x)=(x-1)2(7-x),x∈[2,6], 则h′(x)=-3x2+18x-15=-3(x-1)(x-5) ∵h(2)=5,h(5)=32,h(6)=25, ∴h(x)∈[5,32] ∴t∈[5,32] 二、可分离不等模式 1.恒成立问题 f(x)(?坌x∈D)≥g(t)?圳f(x)最小值≥g(t)(t为参数或变量) ③ 2.存在性问题 f(x)(?埚x∈D)≥g(t)?圳f(x)最大值≥g(t)(t为参数或变量)(t为参数或变量) ④ (≥可以替换为>、<、或≤若不等号方向改变,则“最大值”“最小值”互换) 例4(2010天津理数)设函数f(x)=x2-1,对任意x∈■,+∞,f■-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立,则实数m的取值范围是__________. 解析:■-1-4m2(x2-1)≤(x-1)2-1+4(m2-1)(?坌x∈[■,+∞)) 令h(x)=-■-■+1(x∈[■,+∞)), 则h′(x)=-■>0,h(x)在上■,+∞递增 ∴h(x)min=h(■)=-■ 所以■-4m2≤-■,即(3m2+1)(4m2-3)≥0, 解得m≤-■或m≥■ 参变量分离是思维起点,再用③即可 例5(2010辽宁理数)已知函数f(x)=a(a+1)lnx+ax2+1 (I)讨论函数f(x)的单调性; (II)设a<-1.如果对任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)≥4|x1-x2|,求a的取值范围。 解析:(II)f(x)的定义域为(0,+∞). f′(x)=■+2ax=■.当<a-1时,f′(x)<0, 故f(x)在(0,+∞)单调减少; 令0<x1<x2<+∞ |f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|?圳f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1 令g(x)=f(x)+4x,则g(x)在(0,+∞)单调减少 则g′(x)=■+2ax+4≤0?圳a≤■(?坌x∈(0,+∞)) 令h(x)=■,则h′(x)=■ h(x)在(0,■)上递减,在(■,+∞)上递增, ∴h(x)最小值=h(■)=-2,∴a∈(-∞,-2]该题网上流传的参考答案仍用旧课程的讨论模式。个人认为在教师教学以及学生学习方面都该渗透上述新课程之思维。2010全国高考数学函数问题中存在性问题和恒成立问题占不小的比例,本文选择部分考题利用导数工具构建新解对该类问题形成框架性思维模式以赏诸君,希不吝赐教。 要点回顾: (一)可分离对等模式: f(x)(?埚x∈D)=a?圳a∈F={f(x)|x∈D} (二)可分离不等模式: 1.恒成立问题 f(x)(?坌x∈D)≥g(t)?圳f(x)最小值≥g(t)(t为参数或变量) 2.存在性问题 f(x)(?埚x∈D)≥g(t)?圳f(x)最大值≥g(t)(t为参数或变量)(t为参数或变量) (t为参数或变量) (≥可以替换为>、<、或≤若不等号方向改变,则“最大值”“最小值”互换) 作者单位: 浙江省兰溪市第三中学 “本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
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