2012届高考数学知识梳理复习题4

第4讲 函数与方程

★知识梳理 一、函数的零点

方程f (x ) =0的实数根又叫做函数y =f (x )(x ∈D ) 的零点。

方程f (x ) =0有实根⇔函数y =f (x ) 的图像与x 轴有交点⇔函数y =f (x ) 有零点； ②如果函数y =f (x ) 在区间(a , b ) 上的图像是连续不断的，且有f (a ) ⋅f (b )

y =f (x ) 在区间(a , b ) 上有零点。

二、二分法

1．如果函数y =f (x ) 在区间[m , n ]上的图像是连续不断的一条曲线，且f (m ) ⋅f (n )

2．给定精度ε，用二分法求函数y =f (x ) 的零点近似值的步骤如下： （1）确定区间[m , n ]，验证f (m ) ⋅f (n )

（3）计算f (x 1) ：①若f (x 1) =0，则x 1就是函数y =f (x ) 的零点；②若f (m ) f (x 1)

x ∈(m , x 1) ）

则令n =x 1（此时零点0；③若f (x 1) f (n )

（4）判断是否达到精度ε； 即若

m -n

，则得到零点值m （或n ）；否则重复步骤（2）-（4）

★重、难点突破

重点：函数零点的概念，掌握用二分法求函数y =f (x ) 零点的近似值 难点：用二分法求函数y =f (x ) 的零点近似值 重难点：1．函数零点的理解

函数y =f (x ) 的零点、方程f (x ) =0的根、函数y =f (x ) 的图像与x 轴交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程f (x ) =0根的个数就是函数y =f (x ) 的零点的个数，亦即函数y =f (x ) 的图像与x 轴交点的个数

变号零点与不变号零点

x ①若函数f (x ) 在零点0左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数f (x ) 的变号零点 x ②若函数f (x ) 在零点0左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数f (x ) 的不变号零点

③若函数f (x ) 在区间[a ，b ]上的图象是一条连续的曲线，则f (a ) ⋅f (b )

用二分法求曲线交点的坐标要注意两个问题

（1）曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为求方程的根

（2）求曲线y =f (x ) 和y =g (x ) 的交点的横坐标，实际上就是求函数y =f (x ) -g (x ) 的零点，即求方程f (x ) -g (x ) =0的根

3．关于用二分法求函数y =f (x ) 的零点近似值的步骤须注意的问题： （1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②f (a ) 、f (b ) 的值比较容易计算且

f (a ) ⋅f (b )

（2）根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程根是等价的。对于求方程f (x ) =g (x ) 的根，可以构造函数F (x ) =f (x ) -g (x ) ，函数F (x ) 的零点即方程

f (x ) =g (x ) 的根。

★热点考点题型探析

考点1 零点的求法及零点的个数 题型1：求函数的零点.

32

y =x -2x -x +2的零点. [例1] 求函数

3232

y =x -2x -x +2x -2x -x +2=0的根 [解题思路]求函数的零点就是求方程232

x x -2x -x +2=0[解析]令 ，∴(x -2) -(x -2) =0

∴(x -2)(x -1)(x +1) =0，∴x =-1或x =1或x =2

32

y =x -2x -x +2的零点为-1，1，2。 即函数

[名师指引] 函数的零点不是点，而是函数函数y =f (x ) 的图像与x 轴交点的横坐标，即零点是一个实数。

题型2：确定函数零点的个数.

[例2] 求函数f(x)=lnx＋2x －6的零点个数.

[解题思路]求函数f(x)=lnx＋2x －6的零点个数就是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数 [解析]方法一：易证f(x)= lnx＋2x －6在定义域(0,+∞) 上连续单调递增， 又有f (1)⋅f (4)

方法二：求函数f(x)=lnx＋2x －6的零点个数即是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数

⎧y =ln x ⎨

y =6-2x 的交点的个数。画图可知只有一个。 即求⎩

[名师指引]求函数y =f (x ) 的零点是高考的热点，有两种常用方法： ①（代数法）求方程f (x ) =0的实数根；

②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f (x ) 的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点．

题型3：由函数的零点特征确定参数的取值范围

2

()f x =2ax +2x -3-a , 如果函数y =f (x )在区间[例3] (2007·广东) 已知a 是实数, 函数

[-1, 1]上有零点，求a 的取值范围。

[解题思路]要求参数a 的取值范围，就要从函数y =f (x )在区间[-1, 1]上有零点寻找关于参数a 的不等式（组），但由于涉及到a 作为x 的系数，故要对a 进行讨论 [解析] 若a =0 , f (x ) =2x -3 , 显然在[-1, 1]上没有零点, 所以 a ≠0.

2

令

∆=4+8a (3+a )=8a +24a +4=0

2

a =

, 解得

a =

①当

y =f (x )[-1,1]上; 时, 恰有一个零点在

y =f (x ) ②当f (-1)⋅f (1)=(a -1)(a -5)[-1,1]上也恰有一个零点.

③当

y =f (x )

在

[-1,1]上有两个零点时, 则

a >0a

⎪∆=8a 2+24⎪∆=8a 2+24a +4>0a +4>0⎪⎪⎪⎪11

-1

2a 2a ⎪⎪f (1)≥0f (1)≤0⎪⎪

⎪⎪

f -1≥0f (-1)≤0() ⎩ 或⎩

解得a ≥

5或

a

a ≤

.

综上所求实数a 的取值范围是 a >1 或

[名师指引]①二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，也是高考热点，

要深刻理解它们相互之间的关系，能用函数思想来研究方程和不等式，便是抓住了关键. ②二次函数f （x ）=ax2+bx+c的图像形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据. [新题导练]

1．（09年浙江五校联考）函数的取值范围是（ ） A ．

f (x )=mx 2-2x +1

有且仅有一个正实数的零点，则实数m

(-∞,1]；B ．(-∞,0] {1}；C ．(-∞,0) (0,1]；D ．(-∞,1)

⎧m >0

⎪2

⎨∆=(-2) -4m >0⎪f (0)

⎧m

⎨∆=(-2) -4m >0⎪f (0) >0⎩

[解析] B；依题意得（1）或（2）或

⎧m ≠0⎨2∆=(-2) -4m =0 ⎩（3）

显然（1）无解；解（2）得m

又当m =0时f (x ) =-2x +1，它显然有一个正实数的零点，所以应选B 2．（中山市09届统测）方程2

-x

+x 2=3的实数解的个数为 _______

1

y =() x 2

y =-x +3的图象，发现它们有两个交点 2[解析] 2；在同一个坐标系中作函数及

故方程2

-x

+x 2=3的实数解的个数为2

考点2 用二分法求方程的近似解

[

x 2

那么方程2=x 的一个根位于下列区间的（ ）.

A. （0.6，1.0）；B. （1.4，1.8）；C. （1.8，2.2）；D. （2.6，3.0）

x 2

f (x ) =2-x [解题思路]判断函数在各个区间两端点的符号

[解析]由f (0. 6) =1. 516-0. 36>0，f (1. 0) =2. 0-1. 0>0，故排除A ； 由f (1. 4) =2. 639-1. 96>0，f (1. 8) =3. 482-3. 24>0，故排除B ；

x 2

由f (1. 8) =3. 482-3. 24>0，f (2. 2) =4. 595-4. 84

位于下列区间（1.8，2.2），所以选择C

[名师指引]用二分法求方程f (x ) =0的近似解的关键是先寻找使得函数f (x ) 在两端点异号的某区间，然后依次取其中点，判断函数f (x ) 在中点的符号，接着取两端函数值异号的区间作为新的区间，依次进行下去，就可以找到符合条件的近似解。 [新题导练]

3

3．用二分法研究函数f (x ) =x +3x -1的零点时，第一次经计算f (0) 0，

可得其中一个零点

x 0∈ ，第二次应计算 ，这时可判断x 0∈

x ∈(0, 0. 5) ，这时

[解析] (0, 0. 5) ，f (0. 25) ，(0. 25, 0. 5) ；由二分法知0f (0. 25) =0. 253+3⨯0. 25-1

考点3 根的分布问题

[例4] 已知函数f （x ）=mx2+（m －3）x+1的图像与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m 的取值范围

[解题思路]由于二次函数的图象可能与x 轴有两个不同的交点，应分情况讨论 [解析]（1）若m=0，则f （x ）=－3x+1，显然满足要求. （2）若m ≠0，有两种情况：

⎧Δ=(m -3) 2-4m >0⎪

⇒⎨1

⎪x 1x 2=

m 原点的两侧各有一个，则⎩m ＜0；

⎧

⎪Δ=(m -3) 2-4m ≥0, ⎪

3-m ⎪

>0, ⎨x 1+x 2=

2m ⎪

1⎪x x =>0, 12⎪m 都在原点右侧，则⎩

解得0＜m ≤1，综上可得m ∈（－∞，1］.

[名师指引]二次方程根的分布是高考的重点和热点，需要熟练掌握有关二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的分布有关的结论：

①方程f （x ）=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a·f （r ）＜0.

⎧Δ=b 2-4ac >0,

⎪⎪b ⇔⎨->r ,

2a ⎪

⎪a ⋅f (r ) >0.

②二次方程f （x ）=0的两根都大于r ⎩

⎧Δ=b 2-4ac >0,

⎪

b ⎪

⇔⎨2a ⎪a ⋅f (q ) >0, ⎪⎪⎩a ⋅f (p ) >0.

③二次方程f （x ）=0在区间（p ，q ）内有两根

④二次方程f （x ）=0在区间（p ，q ）内只有一根⇔f （p ）·f （q ）＜0，或f （p ）=0，另一

根在（p ，q ）内或f （q ）=0，另一根在（p ，q ）内.

⎧a ⋅f (p )

⎩a ⋅f (q ) >0. ⑤方程f （x ）=0的两根中一根大于p ，另一根小于q （p ＜q ）

[新题导练]

3．已知二次函数f(x)=4x2－2(p－2)x －2p2－p+1,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c, 使f(c)>0,则实数p 的取值范围是_________.

3

[解析] (－3，2） 只需f(1)=－2p2－3p+9>0或f(－1)=－2p2+p+1>0 313

即－3＜p ＜2或－2＜p ＜1. ∴p ∈(－3, 2).

4．若方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两根中, 一根在0和1之间, 另一根在1和2之间, 求实数k 的取值范围.

12

f (x ) =x +(k -2) x +2k -1，则依题意得 23[解析] ；令

⎧f (0) >0

⎪

⎨f (1) 0⎩

⎧2k -1>0⎪

⎨1+k -2+2k -1

0

3 ，即⎩，解得2

5.(2007·韶关) 若关于x 的方程4x+2x a+a+1=0有实数根，求实数a 的取值范围.

[解析]令t=2x， t>0∴关于x 的方程4x+2x a+a+1=0有实数根等价于方程t2+at+a+1=0(t>0)有正实数根, 令f(t)= t2+at+a+1，且∆=a -4a -4故方程t2+at+a+1=0(t>0)有正实数根等价于（1）方程有一个正根一个负根：由f(0)

2

⎧∆=0⎪

⇒a =2-22⎨a

->0⎪2⎩（2）方程有两个相等的正数根：由

（3）方程有两个不相等的正数根或有一个零根一个正根时：

由

⎧∆>0

⎪a ⎪

⎨->0⇒-1≤a

求（1）（2）（3）的并集，得实数a 的取值范围：(-∞, 2-22] [备选例题] （佛山市三水中学09届）下图是函数

⎛1⎫y = ⎪2

⎝2⎭和y =3x 图象的一部分, 其中 x =x 1, x 2(-1

x

⎛1⎫2 ⎪

(1)给出如下两个命题:①当x

⎛1⎫2

⎪

②当x >x 2时, ⎝2⎭. 判断命题①②的真假并说明理由.

(2)求证:x 2∈(0, 1)

[解析](1) 命题①是假命题, 反例:x =-10, 则x

x

x

⎛1⎫ ⎪⎝2⎭

-10

⎛1⎫

=1024, 3⨯(-10)=300 ⎪

, ⎝2⎭不成立.

2

x

x

⎛1⎫

y = ⎪2

)[x , +∞y =3x 2⎝⎭2命题②是真命题, 因为在上是减函数, 函数在[x 2, +∞)上是增函数, ⎛1⎫⎛1⎫

⎪

⎝2⎭所以当x >x 2时, ⎝2⎭

x

x 2

2

=3x 2

.

⎛1⎫5

f (x ) =3x - ⎪f (0) =-10

2⎝2⎭, 则(2)构造函数, 所一f (x ) 在区间(0, 1)有

2

x

⎛1⎫

f (x ) =3x 2- ⎪

⎝2⎭在区间(0, 1)是增函数, 所以f (x ) 在区间(0, 1)有唯一个零点, 零点. 有因为

即x 2, 所以x 2∈(0, 1). ★抢分频道

基础巩固训练：

1. （深圳九校09届联考）下图是函数f (x ) 的图像， 它与x 轴有4个不同的公共点. 给出下列四个区间， 不能用二分法求出函数f (x ) 在区间（ ）上的零点 A ．[-2.1, -1]；B ．[1.9,2.3] C ．[4.1,5]；D ．[5,6.1]

[解析] B；由于用二分法判断函数f (x ) 在区间(m , n ) 上有零点的必要条件是

x

f (m ) ⋅f (n )

用二分法求出函数f (x ) 在这个区间上的零点

32-x

(x ，y 0) ，则x 0所在的y =2y =x 2．（华侨中学09届月考）设函数与的图象的交点为0

区间是（ ）

3) ；D ．(3，4) 1) ；B ．(1，2) ；C ．(2，A ．(0，

32-x 32-032-1

f (x ) =x -2f (0) =0-2=-4f (1) =1-2=-1，[解析] B ；令，则，

2) f (2) =23-22-2=7，可见x 0所在的区间是(1，

3．方程2x=2－x 的解的个数为___________.

[解析]1；方程2x=2－x 的解可看作函数y=2x和y=2－x 的图象交点的横坐标, 分别作出这两个函数图象（如下图）.

由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解.

x 24．（湛江市09年高三统考）方程+x =2的解所在区间是（ ）

A. （0，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （3，4）

x 01f (0) =2+0-2=-10，f (x ) =2+x -2[解析] A；令，则，

所以方程2

x

+x =2的解所在区间是（0，1）

3

x 5．（金山中学09届月考）用二分法求方程-2x -5=0在区间[2,3]上的近似解，取区间

中点

x 0=2.5，那么下一个有解区间为

33

[2,2.5]f (x ) =x -2x -5f (2) =2-2⨯2-5=-1

f (2. 5) =2. 53-2⨯2. 5-5=2. 5⨯(2. 52-22) >0，故下一个有解区间为[2,2.5]

1

f (x ) =() x -log 2x

x 36．（09年韶关市第一次调研考）已知函数，若实数0是方程f (x ) =0

的解，且

0

的值（ ）

A ．恒为正值；B ．等于零；C. 恒为负值； D. 不大于零

1y =() x

3和y =log 2x 的图象，发现x 0>1，并且当[解析] A ．在同一坐标系中作出函数1

f (x 1) =() x 1-log 2x 1>0

0

综合提高训练： 7．（09年深圳宝安中学） 定义域和值域均为[-a,a] (常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题中：

(1) 方程f[g(x)]=0有且仅有三个解； (2) 方程g[f(x)]=0有且仅有三个解； (3) 方程f[f(x)]=0有且仅有九个解； (4)方程g[g(x)]=0有且仅有一个解。 那么，其中正确命题的个数是（ )

A ．

[解析] B；由图可知，f (x ) ∈[-a ，a ]，

g (x ) ∈[-a ，a ]，由左图及f[g(x)]=0得

a a a

g (x ) =x 1∈[-a ，-]g (x ) =x 2∈[-，0]g (x ) =

2，2，2，由右知方程f[g(x)]=0有且仅有a

f (x ) =x 0∈(，a )

2三个解，即(1)正确；由右图及g[f(x)]=0得，由左图知方程g[f(x)]=0a

f (x ) =x 1∈[-a ，-]

2，有且仅有一个解，故(2)错误；由左图及f[f(x)]=0得

a a

f (x ) =x 2∈[-，0]f (x ) =

2，2，又由左图得到方程f[f(x)]=0最多有三个解，故(3)错误；a

g (x ) =x 0∈(，a )

2由右图及g[g(x)]=0得，由右图知方程g[g(x)]=0有且仅有一个解，即(4)

正确，所以应选择B

32

f (x ) =x +x -2x -2的一个正数零点附近的函数值用二分法8．（2008·惠州调研）若函数

计算，其参考数据如下：

32

那么方程x +x -2x -2=0的一个近似根（精确到0.1）为（ ）.

A ．1.2; B．1.3;C ．1.4 ; D．1.5

9．已知关于x 的二次方程x2+2mx+2m+1=0.

(1)若方程有两根, 其中一根在区间(－1，0) 内，另一根在区间(1，2) 内，求m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0，1) 内，求m 的范围.

[解析](1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x 轴的交点分别在区间(－1，0) 和(1，2) 内，画出示意图，得

1⎧m

2⎧f (0) =2m +1

m ∈R , ⎪f (-1) =2>0, ⎪⎪⎪⇒⎨1⎨

f (1) =4m +20⎩

⎪m >-5⎪6 ⎩

51

-

2. ∴6

(2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1) 内，列不等式组

1⎧m >-, ⎪2⎪⎧f (0) >0, 1⎪⎪f (1) >0, ⇒⎨m >-2, ⎪⎪⎨⎪m ≥1+2或m ≤1-, ⎪∆≥0, ⎪-1

(这里0