3.2[复数代数形式的四则运算]
基础梳理
1．复数的加法与减法． (1)复数的加法与减法法则．
①(a ＋b i) ＋(c ＋d i) ＝(a ＋c ) ＋(b ＋d )i ； ②(a ＋b i) －(c ＋d i) ＝(a －c ) ＋(b －d )i ． (2)复数加法、减法的几何意义． ①加法的几何意义．
→，→→，若复数z 1，z 2对应的向量OZ 则复数z 1＋z 2是以OZ 1OZ 2不共线，1
→为两条邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数，OZ 即复数的加2法可以按照向量的加法来进行．
②减法的几何意义．
→，OZ →不共线，则复数z －z 是连接若复数z 1，z 2对应的向量OZ 1212
→，OZ →的终点，并指向被减数的向量Z →向量OZ 122Z 1所对应的复数，即复数的减法可以按照向量的减法来进行．
③复平面内的两点间距离公式．
→⎪若复数z 1，z 2对应复平面内的点Z 1，Z 2，则|Z 1Z 2|＝⎪⎪Z 1Z 2⎪＝|z 1－z 2|.
2．复数的乘法与除法． (1)乘法与除法法则．
a ＋b i (a ＋b i)·(c ＋d i) ＝c ＋d i
＋d i ≠0) ．
(2)几个运算性质．
①i 的幂的周期性：i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N ) ．
1＋i 1－i 1
②(1±i) 2＝±2i ＝i ，i i i.
1－i 1＋i
13
③设ω＝－22，则ω2＝ω，ω3＝1，1＋ω＋ω2＝0. 3. 共轭复数．
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数是互为共轭复数．设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) ，则它的共轭复数记为－z ＝a －b i (a ，b ∈R ) ．
基础自测
1．已知复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R ) ，若z 1＋z 2是纯虚数，则(D )
A ．a －c ＝0且b －d ≠0 B ．a －c ＝0且b ＋d ≠0 C ．a ＋c ＝0且b －d ≠0 D ．a ＋c ＝0且b ＋d ≠0
解析：z 1＋z 2＝(a ＋c ) ＋(b ＋d )i 是纯虚数， ∴a ＋c ＝0且b ＋d ≠0. 故选D.
→对应复数3－2i ，OB →对应复数－4－i ，则AB →对应2．已知向量OA 复数为(C )
A ．－1－i B ．7－3i
C ．－7＋i D ．1＋i
→＝OB →－OA →＝(－4－i) －(3－2i) ＝－7＋i. 故选C. 解析：AB
3．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝a ＋i 且z 1－z 2是实数，则实数a 等于(A )
34
A. 4 343C ．－3 D ．－4
解析：z 1－z 2＝(3＋4i)(a －i) ＝3a ＋4＋(4a －3)i ，∵z 1－z 2是实数，3
∴4a －3＝0，即a ＝4. 故选A.
4．已知z ∈C ，且(3＋z )i ＝1，则z ＝________． 1
解析：∵(3＋z )i ＝1，∴3＋z ＝i ， 即3＋z ＝－i ， ∴z ＝－3－i. 答案：－3－
i
（一）复数的加减法运算
(1)复数代数形式的加减法运算满足交换律、结合律．复数的加、减法法则是一种规定，可以推广到多个复数的相加减．
(2)当b ＝0，d ＝0时，复数的加减法与实数的加减法法则一致． (3)复数的加减法符合向量的加减法法则． （二）复数加减法的几何意义
利用复数代数形式加减法的几何意义，进行复数问题和几何问题的转化，即利用数形结合的数学方法解题．
(1)利用复数的几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算处理．
(2)对于一些复数运算式可以给以几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．如|z－1|＝|z－i |的几何解释是复数z 对应点(1，0) 和点(0，1) 的垂直平分线上的点．
（三）复数代数形式的乘除运算
(1)复数的乘法运算与多项式的乘法类似，但必须在所得结果中把i 2换成－1，并且把实部和虚部分别合并．
(2)多项式的乘法公式在复数中同样适用，实数集R 中正整数指数幂的运算律在复数集中仍然成立．
a ＋b i (3)做复数的除法运算时，通常先把(a ＋b i)÷(c ＋d i) 写成的形
c ＋d i 式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数c －d i ，化简后可得结果，实际上就是将分母实数化．这与根式除法中的分母“有理化”很类似．最后的结果一定要写成实部和虚部分开的形式．
1．复数的加减法法则的记忆，可记为：实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．
2．由复数减法的几何意义，可得复平面内两点间距离公式d ＝|z 1
－z 2|，其中z 1、z 2是复平面内两点Z 1、Z 2所对应的复数，d 表示Z 1和Z 2之间的距离．
3．三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算；混合运算与实数的运算一样；对于能够使用乘法公式计
算的两个复数的乘法，用乘法公式更简捷，如平方差公式、完全平方公式等．
4．在做除法运算时，要牢记分母实数化，乘法与除法的运算结果都得写成实部与虚部分开的形式．
－5．共轭复数有如下性质：z ＝z ；z ·z ＝|z |2＝|－z |2；z ＋－z ＝2a ，z
⎛z ⎫－－－－－－－ ⎪－z ＝2b i ；z 1＋z 2＝z 1＋z 2；z 1－z 2＝z 1－z 2；z 1·z 2＝z 1·z 2；z
⎝2⎭
－z ＝z 2≠0) ．
－z 2
1．(2013·深圳一模) 已知i 为虚数单位，则(1－i) 2＝(B ) A ．2i B ．－2i C ．2 D ．－2
12．复数z ＝的共轭复数是(A )
1－i 1111A. 22i B. 22i C ．1－i D ．1＋i
3＋b i 3．若＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位) ，则a ＋b ＝
1－i ________．
3＋b i
解析：因为＝a ＋b i ，所以3＋b i ＝(a ＋b i)(1－i) ＝a ＋b ＋(b
1－i
⎧⎪a ＋b ＝3，
－a )i. 又因为a ，b 都为实数，故由复数相等的充要条件得⎨
⎪⎩b －a ＝b ，
⎧⎪a ＝0，解得⎨所以a ＋b ＝3.
⎪⎩b ＝3.
4．设纯虚数z 满足|z －1－i|＝3，求z . 解析：设z ＝b i(b ∈R ，且b ≠0) ， 则|z －1－i|＝|b i －1－i|
|－1＋(b －1)i|＝1＋（b －1）＝3，∴(b －1) 2＝8. ∴b ＝1±22. ∴z ＝(±22＋
1)i.
1．(2013·江西卷) 复数z ＝i(－2－i)(i为虚数单位) 在复平面内所对应的点在(D)
A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 32．复数(A )
（1－i ）33
A. 2 B ．－2i C ．i D ．－i 333
解析：＝＝（1－i ）－2i 22－3i 3. (C ) 3＋2i 11A ．－5 B. 5i C ．－i D ．i
2－3i （2－3i ）（3－2i ）6－13i －6解析：22＝－i.
3＋2i （3＋2i ）（3－2i ）3＋214．(2013·辽宁卷) 复数z ＝的模为(B )
i －1
12A. 2 B. 2 2 D ．2
i ＋11＋i 111
解析：∵z ＝＝－22，
i －1（i ＋1）（i －1）－1－1∴|z |＝
⎛1⎫2⎛1⎫22
－⎪＋ －⎪＝. 故选B.
2⎝2⎭⎝2⎭
5．(2013·肇庆二模) 若a ＋b i ＝(1＋i)(2－i)(i是虚数单位，a ，b 是实数) ，则a ＋b 的值是(D )
A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
1＋7i
6．i 是虚数单位，若a ＋b i(a ，b ∈R ) ，则乘积ab 的值是
2－i (B )
A ．－15 B ．－3 C ．3 D ．15
1＋7i （1＋7i ）（2＋i ）解析：＝－1＋3i ＝a ＋b i ，
2－i （2－i ）（2＋i ）∴a ＝－1，b ＝3，∴ab ＝－3.
7．(2014·惠州二模) 复数(1－i) 2的虚部为－2． 8．设m ∈R ，复数z ＝(2＋i) m 2－3(1＋i) m －2(1－i) ． (1)若z 为实数，则m ＝________； (2)若z 为纯虚数，则m ＝________．
分析：先把复数z 写成代数形式，根据a ＋b i(a ，b ∈R ) 是实数，是纯虚数的充要条件解之．
解析：(1) z ＝(2＋i) m 2－3(1＋i) m －2(1－i) ＝ (2m 2－3m －2) ＋(m 2－3m ＋2)i. 由题意m 2－3m ＋2＝0解得
m ＝1，或m ＝2.
2⎧⎪2m －3m －2＝0，
(2)依题意⎨2
⎪m －3m ＋2≠0，⎩
1
解得m ＝－2
1
答案：(1)1或2 (2)－2
9．复数z 满足方程－z i ＝1－i ，则z ＝________． 解析：－z ·i ＝1－i ，
1－i （1－i ）i －∴z ＝i ＝＝－i(1－i) ＝－1－i ，
i ·i ∴z ＝－1＋i. 答案：－1＋i
3＋b i 10a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位) 求a ＋b .
1－i 3＋b i
解析：因为＝a ＋b i ，所以3＋b i ＝(a ＋b i)(1－i) ＝a ＋b ＋(b
1－i
⎧⎪a ＋b ＝3，
－a )i. 又因为a ，b 都为实数，故由复数相等的充要条件得⎨
⎪⎩b －a ＝b ，
⎧⎪a ＝0，
解得⎨
⎪b ＝3. ⎩
所以a ＋b ＝3. ►品味高考
1．(2014·福建高考) 复数(3＋2i)i 等于(B ) A ．－2－3i B ．－2＋3i C ．2－3i D ．2＋3i
解析：(3＋2i)i ＝3i ＋2i 2＝－2＋3i.
2i
2．(2014·安徽高考) 设i 是虚数单位，复数i ＋(D )
1＋i
3
A ．－i B ．i C ．－1 D ．1
2i （1－i ）2i 2
解析：i ＋i ＋＝－i ＋i －i ＝1. 故选D. 21＋i
3
3．(2014·广东高考) 对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2＝ω1－ω2，其中－ω2是ω2的共轭复数，对任意复数z 1，z 2，z 3有如下四个命题：
①(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1*z 3) ＋(z 2*z 3) ；②z 1*(z 2＋z 3) ＝(z 1*z 2) ＋(z 1*z 3) ；③(z 1*z 2)*z 3＝z 1*(z 2*z 3) ；④z 1*z 2＝z 2*z 1.
则真命题的个数是(B) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
解析：由题意得(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1＋z 2) －z 3＝z 1－z 3＋z 2－z 3＝z 1*z 3＋z 2*z 3，故①正确；z 1*(z 2＋z 3) ＝z 1(z 2＋z 3) ＝z 1－z 2＋z 1－z 3＝(z 1*z 2) ＋(z 1*z 3) ，故②正确；(z 1*z 2) z 3＝z 1z 2z 3，而z 1*(z 2*z 3) ＝z 1z 2－z 3，故③错误；z 1*z 2＝z 1－z 2，而z 2*z 1＝z 2－z 1，故④不正确．故选B.