利用定积分求解一阶常微分方程特解的方法_张彦宇

第19卷第3期2016年5月

doi：10．3969/j．issn．1008-1399．2016．03．013

高等数学研究

STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICS

Vol．19，No．3May，2016

利用定积分求解一阶常微分方程特解的方法

张彦宇

（西北农林科技大学理学院，陕西杨凌712100）

摘

要

介绍利用定积分求解常见一阶常微分方程特解的基本方法，并借助实例进行具体计算．一阶常微分方程；特解；定积分

O175.1

文献标识码

A

文章编号

1008-1399（2016）03-0035-02

关键词

中图分类号

ADefiniteIntegralMethodfortheParticular

SolutionsofFirst-orderODE

ZHANGYanyu

（SchoolofScience，NorthwestA＆FUniversity，Yangling712100，PＲC）

AbstractKeywords

Inthispaper，weproposeadefiniteintegralmethodfortheparticularsolutionoffirst-orderODE．first-orderODE；particularsolution；definiteintegral

g（y）dy=f（x）dx

考虑（1b）及y=y（x），对上式两端分别从y0到y和x0到x进行积分，则得可分离变量方程（1a）和（1b）的解为：

Examplesareprovidedtoshowitsapplication．

求解是常微分方程理论的首要问题之一．常见

［1-3］

教材中对微分方程求特解的一般过程为：先求出该方程的通解，然后利用定解条件确定通解中的任意常数，进而获得常微分方程的特解．这个种求解过程可以较好的将求常微分方程的通解和特解的理论结合在一起，但在求解确定的定解问题时，显得有些冗长．本文将从定积分的角度出发，对常微分方程定解问题的求解进行探讨．

∫

例1

求

y（x）y0

g（t）dt=

∫

xx0

f（s）ds（2）

{

的解．

解

y'（x）+p（x）y=0y（x0）=y0

1可分离变量方程

考虑如下方程

dyf（x）=

dxg（x）

{

（1a）（1b）

根据（2）可得：

y1

dt=－y0t

∫∫

xx0

p（s）ds

整理得：

lny－lny0=－

即：

y=y0e－∫x0p（s）

x

y（x0）=y0

∫

xx0

p（s）ds

g（x）均为连续函数；其中f（x），

由（1a）可得：

11-20收稿日期：2015-01-21修改日期：2016-

ds

4）基金项目：西北农林科技大学教改项目（JY1501001-作者简介：张彦宇（1979－），博士，讲师，从事微男，黑龙江齐齐哈尔，

分方程教学与研究．Email：zhangyanyu@nwsuaf．edu．cn

2一阶线性非齐次方程

考虑一阶线性非齐次方程的定解问题：

36

高等数学研究2016年5月

{

则可得：

dy

+p（x）y=q（x）dxy（x0）=y0

（3a）（3b）

q（x）均为连续函数；其中p（x），

（3a）和（3b）的解可由常数变易法及例1可知，

设为：

y（x）=c（x）e－∫x0p（s）

y'（x）=c'（x）e－∫x0p（s）

x

x

y）y）M（x，N（x，=yx

由上式可将（8a）的左端变为：

M（x，y）dx+N（x，y）dy=du（x，y）=

uu

dx+dyxy

显然

M（x，y）=

y）u（x，

xy）u（x，y

（9）

ds

（4）

x

ds

－c（x）p（x）e－∫x0p（s）

ds

ds

（5）

N（x，y）=

（5）带入（3a）可得：将（4）、

xx

c'（x）e－∫x0p（s）ds－c（x）p（x）e－∫x0p（s）

p（x）c（x）e∫x0p（s）

－

x

+

ds

=q（x）

ds

方程（8a）的解可表示为

u（x，y）=c其中c为任意常数．

由（9）可得：

（6a）（6b）

则

u=N（x，y）=

yy故

u（x，y）=

即

c'（x）=q（x）e∫x0p（s）

再将（4）代入（3b）可得：

c（x0）=y0

方程（6a）和（6b）的解为：再由例1可得，

c（x）=y0+

x

∫

xx0

M（s，y）ds+φ（y）

∫

xx0

q（s）e∫x0

s

p（ξ）dξ

∫

xx0

M（s，y）ds+

ds



（y）y

故（3a）和（3b）的解可表示为：

y（x）=y0+例2

求

(

∫

xx0

q（s）e∫x0p（ξ）

s

dξ

dse－∫x0p（s）

)

x

φ（y）=

ds

（7）

∫

yy0

[

N（x，t）－



t

∫

xx0

M（s，t）ds

]

dt

方程（8a）和（8b）的解为：

u（x，y）=

{

的解

解

y'（x）+3y=e2xy（0）=1

∫

xx0x

M（s，y）ds+M（s，t）ds

∫

yy0

[



N（x，t）－

t

∫

x0

]

dt=0（10）

q（x）=e2x，则已知p（x）=3，

∫p（s）

x

ds=3x

例3求如下微分方程的解：

（3x2+6xy2）dx+（6x2y+4y3）dy=0

{

y（0）=1易知

M（x，y）=3x2+6xy2，N（x，y）=6x2y+4y3，

（11）

∫

x

s1∫q（s）e0p（ξ）dξds=e5x－1）

解

5

根据（7）可得：

y（x）=

12x

（e+4e－3x）5

则

3恰当方程与积分因子

考虑一阶微分方程的定解问题

M（x，y）dx+N（x，y）dy=0

MN

==12xyyx

由（10）可得方程（11）的解为：

∫（3s

x

2

+6sy2）ds+

{

（8a）（8b）

即：

y（x0）=y0

∫[

y1

6xt+4t3－

2

x

（3s2+6st2）dst0

]

dt=0

y），N（x，y）均为连续函数，且满足：其中M（x，x3+3x2y2+y4－1=0

（下转第39页）

第19卷第3期何美，刘小川：例说n项和数列极限的几种求法39

例4

n→∞

所以

lim1+

(

12

2

+

13

2

+…+

．n)1

22

12∑

n=1

∞

1

=2π2，2n1π2

=，6n21

1n2

解令

f（x）=3x－6πx+2π，

2

有

0，2π］其Fourier系数为则f（x）在［光滑，

1

a0=

π1an=

π1π

∑n=1

即

n→∞

∞

∫

2π0

f（x）dx=0，

∫

2π

f（x）cosnxdx=

12n2

，

lim1+

(

12

2

+

3

2

+…+

)

π

=．6

2

∫

2π0

求极限的方法有很多种，对于同一个数列的极限亦可用不同的方法求得．在求极限时应分析其本身特性，以便寻找出最适当的方法．

参考文献

［1］华东师范大学数学系．数学分析（上、M］．4版．北下）［

京：高等教育出版社，2013．

（3x2－6πx+2π2）cosnxdx=1

bn=

π

∫

2π0

f（x）sinnxdx=

1π

∫

2π0

（3x2－6πx+2π2）sinnxdx=0，

x∈（0，2π）时，

f（x）=∑

n=1∞

12

cosnx，n2

J］．高等数学［2］张国铭．几个由积分形成的数列的极限［

17（6）：4-5．研究，2014，

1π2

［3］刘春爱，J］．大祁根锁．关于∑2=的证明及应用［

n=1n6

∞

当x=0，2π时

∑n=1

∞

12

cosnx收敛于n2

f（0+0）+f（2π－0）

=2π2，

2

2014，30（2）：102-107．学数学，

欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍

（上接第36页）即：

例4

求微分方程

ydx+（y－x）dy=0

x+y

整理得：

x

+lny=0y

在学习了函数矩阵的求导、积分之后，对常微分方程组的定解问题也可类似处理．

参考文献

［1］王高雄，．3版．北周之铭，朱思铭等．常微分方程［M］

2006：30-61．京：高等教育出版社，

［2］丁同仁，M］．2版．北京：高等教育李承治．常微分方程［

2004：19-51．出版社，

∫

y

1

1

dt=0t

{

y（0）=1

的解．

解

易得方程由积分因子

1

μ（x）=2，

y

则方程可变为

{

∫

1y－xdx+dy=0yy2y（0）=1

由（10）可得，上述方程的解为：

x1yt－xx1

－dsds+

tx0t0y1t2

∫[

∫

]dt=0

［3］同济大学数学系．高等数学：上册［M］．7版．北京：高等

2014：297-320．教育出版社，