单轴晶体的折射率

单轴晶体中反射和透射系数的表述方法

专业：光信息科学与技术 姓名：褚宏观 学号：2011412220 指导老师： 宋连科教授

摘要：本文根据电磁场边界条件，讨论了当光从各向同性介质入射到各向异性介质的单轴

晶体，且入射光平行与入射面时，其反射系数和透射系数的表述方式。

关键词：单轴晶体，反射系数，折射系数,电磁场边界条件。

1 引言

过折射率椭球中心做椭球的圆截面，通过圆截面的中垂线称为晶体的光轴。如果只能截出一个圆，便对应一个光轴，这类晶体为单轴晶体。在七大类晶体中，三角、四角、六角结构均为单轴晶体【8】。光从各项同性介质射向各向异性的单轴晶体界面上振幅的反射和透射系数，是一个很重要的理论问题，在光学仪器设计和激光通讯、加工等现代光学技术领域内有着极其广泛的应用。对于各项同性介质而言，光在界面上的反射和折射遵守反、折射定律；光的反射系数满足菲涅尔公式【4】。在单轴晶体中，光分为寻常光（o光）和非常光（e光），o光、e光都为线偏振光 ；在各项异性介质表面发生折射（反射）时，将产生两束光，一束o光，一束e光。很多文献对于单轴晶体的反射系数和透射系数有了一定的注解。 本文根据电磁场边界条件，讨论了当光从各向同性介质入射到各向异性介质的单轴晶体，且入射光平行与入射面时，其反射系数和透射系数的表述方式。

2、坐标系统的选取以及晶体光学中的有关公式的说明

2.1 坐标系的选取和说明

假设单色光从各向同性介质射向各向异性的单轴晶体，P1是两种介质的分界面，则由界面法线oy1以及晶体光轴oz组成的是该单轴晶体的主截面P3，对于单轴晶体来说，它的另一个主轴oy的方向是可以任选,在此我们就选择oy轴在该主截面内，这样oy、oy1、oz轴三轴处于同一平面。由图1可见，β是光轴oz和界面P1之间的夹角，而α是单轴晶体主截面P3和入射面oy1(其坐标系为

x1y1z1）之间的夹角。两个坐标系之间有如下关系：首先绕ox轴旋转β角得到

xy1z2坐标系，然后再绕oy1轴旋转α角得到x1y1z1坐标系。

s、sr、so、se分别代表入射光、反射光以及晶体中折射的o光和e光的波法线

方向，则角i和ϕ是入射角和晶体内e光的波法线折射角。设晶体光轴oz在入射面坐标系里的方向余弦为cosα1、cosβ1、cosγ1。 2.2 e光波法线折射角以及其方向数

根据文献，在单轴晶体内，光的波法线折射角ϕ以及在晶体主轴坐标系内的方向数sx、sy、sz的表达式可由以下的（1）、（2)两式来确定：

2

⎡⎛11⎫2⎤⎛sinϕ⎫21 sz⎥ （1） ⎪=n⎢2+ 2-2⎪⎪sininnn⎝⎭e⎭⎣e⎝o⎦

【2】

sx=sinαsinϕ

sy=-(cosϕcosβ+cosαsinβsinϕ) （2） sz=cosαcosβsinϕ-cosϕsinβ

入射方介质的折射率是（1）式中的n，且no、ne为单轴晶体的两个主折射率，e

【3】'

光的波法线折射率为 ne=siniϕ。角α的表达式根据文献由下式得到

⎛cosγ1⎫

α=arccos sinβ⎪⎪ （3）

1⎭⎝而 β=90 -β1 （4） 2.3单轴晶体中有关o、e光的几种速度表达式 根据文献

【3】

，单轴晶体中e光的相速vp的公式如下所示：

2

⎛c⎫1⎫22⎛1 ⎪ =+c- v2p n⎪ n2n2⎪⎪sz （5）

e⎭⎝e⎭⎝o

且根据惯例有 vi=

c

，（i=x,y,z） （6） ni

在（5）、（6）两式中，c是真空中的光速，nx、ny、nz是单轴晶体沿三个主轴的折射率；对于单轴晶体来说，nx=ny=no，nz=ne，于是可以得到vo=

c

。 ne

c，no

ve=

3、入射光为平行于入射面的线偏光且其电矢量为Ep

如上图1所示，规定了反射光的电矢量Erx1或Erp以及其入射光的电矢量Ep或

Ex1的正方向，而折射o光的电矢量Eox的方向则是垂直于晶体的主截面(P3)的，

其相应的磁矢量Ho的方向可以从上图中得到，由于在单轴晶体中产生了o、e光，所以反射光Sr就不再是线偏振光。

3.1电磁场边界条件

实际上电磁场问题一直都是在一定的空间和时间范围内发生的，它有起始状态（静态电磁场例外）和边界状态。即使是无界空间中的电磁场问题，该无界空间也可能是由多种不同的介质组成的，不同的介质的交界面和无穷远界面上电磁场构成了边界条件。

在不同介质的分界面处，由于可能存在的电荷电流分布等情况，使电磁场量产生突变。微分方程不能适用，但可用积分方程。从积分方程出发，可以得到在分界面上场量间的关系，这被称为边值关系。它是方程积分形式在界面上的具体化，

只有知道了边值关系，才能求解出多种介质情况下场方程的解。

因为在介质界面两侧的介质的介电常数ε和磁导率μ不相同，所以界面两侧的电磁场并不连续，那么我们就可以利用麦克斯韦方程组来推出电磁场在两种介质的界面上的边界条件，以此来表示电磁场在两个介质之间的关系：

u⨯(E2-E1)=0 u⨯(H2-H1)=0 u⋅(B2-B1)=0 u⋅(D2-D1)=0

由电磁场的边界条件可以知道在单轴晶体表面是电场强度 E 和磁场强度 H 切向分量的连续，磁感应强度 B 和电位移矢量 D是在界面两侧的法向分量是连续的。

3.2求入射光、反射光以及折射光o光的电矢量以及沿界面分量的表达式 可以从图示1中可以得到： 入射光s Ex1=0，Ez1=Epcosi

反射光sr Erx1=Erx1，Erz1=-Erp1cosi （7） 折射o光so Eox1=Eoxcosα，Eoz1=Eoxsinα 这样我们就得到了其具体的表达式。 3.3求折射的e光的电矢量表达式

根据文献【1】在各向异性的单轴晶体中,非常光e光的电矢量Ee在单轴晶体主轴坐标系中的各分量的表达式如下所示:

2vk

Ek=22sk(Ee∙se)，（k=x,y,z） （8）

vk-vp

上式中se为e光波法线上的单位矢量，依此又可以得到：

2vo

Eex=22sx(Ee∙se)=asx(Ee∙se)

vo-vp

2vo

Eey=22sy(Ee∙se)=asy(Ee∙se) （9）

vo-vp2ve

Eez=22sz(EE∙se)=bsz(Ee∙se)

ve-vp

在这里还必须把上述三个分量用入射面坐标系x1、y1、z1的分量来进行表示,再

利用坐标轴间的旋转关系于是就有下列关系式的成立 Eex1=Eexcosα-Eezcosβsinα+Eeysinβsinα

Eey1=Eeycosβ+Eezsinβ （10） Eez1=Eexsinα+Eezcosβcosα-Eeysinβcosα 将（9）式代入（10）式可以得到：

Eex1=[a(sxcosα+sysinαsinβ)-bszcosβsinα](Ee∙se)=M(Ee∙se) Eey1=(asycosβ+bszsinβ)(Ee∙se)=T(Ee∙se) (11) Eez1=[a(sxsinα-sysinβcosα)+bszcosαcosβ](Ee∙se)=K(Ee∙se) 这样又可以得到：

222

+Eey+Eez=M2+T2+K2(Ee∙se) （12） E=Eex111

3.4求对应的磁矢量沿界面分量的各个值

假设入射方介质的折射率是n,单轴晶体中o光的折射率是no,而e光波法方向的折射率是ne,于是根据电磁矢量之间的关系并参照图示1,可以得到: 入射光s Hx1=-nEp,Hz1=0

反射光sr Hrx1=-nErp，Hrz1=-nErx1cosi (13) 折射光so Hox1=-noEoxsinα，Hoz1=noEoxcosα 3.5求折射的e光的磁矢量H各个分量的表达式 首先我们先求磁矢量He的沿界面分量Hexx1、Hexz1

对于折射的e光所对应的磁矢量He及沿x、y、z轴的分量Hex、Hey、Hez我们可以通过以下的方法求得。

根据电磁场理论，在单轴晶体的主轴坐标系中有以下关系

He=nese⨯Ee=ne(syEz-szEy+(szEx-sxEz)+(sxEy-syEx) （14）

'

'

'

)[]

把（2）、（9）式代入（14）可得：

Hex=

2

ne(vo-ve2)v2psz22(ve2-v2p)(vo-vp)'

sy(Ee∙se)=neWsy(Ee∙se)

'

Hey=

2

ne(ve2-vo)v2psz22(ve2-v2p)(vo-vp)

'

sx(Ee∙se)=-neWsx(Ee∙se) （15）

'

Hez=0

由此我们可以得到Hex沿界面的两个分量Hexx1、Hexz1，它们分别为：

Hexx1=Hexcosα=neWsy(Ee∙se)cosα

Hexz1=Hexsinα=neWsy(Ee∙se)sinα （16）

''

再求Hey的沿界面分量Heyx1、Heyz1，我们假设单轴晶体的晶体主轴系中y轴在入射面坐标系中的方向余弦分别为cosα2、cosβ2、cosγ2则依据oy1、oy、oz三轴共面的条件以及图1中的关系我们可以得到：

β1+β2=90

cos2α2+cos2β2+cos2γ2=1 （17）

cosα2

0cosα2

cosβ2

1cosβ1

cosγ2

0cosγ1

=0

又可以从上式得到： cosα2=

cosα1cosβ1cosα1+cosγ1

'

22

；cosγ2=

cosβ1cosγ1cosα1+cosγ1

2

2

（18）

由（15)式和（18）式又可以得到

Heyx1=Heycosα2=-neWsxcosα2(Ee∙se) (19) Heyz1=Heycosγ2=-neWcosγ2sx(Ee∙se)

'

这样折射的e光磁矢量的各分量表达式就求出来了。 3.6应用电磁场的边界条件来求Erp、Erx1、Eox、Ee

在此我们将入射介质假设为空气，其折射率n≈1，根据电磁场的边界条件我们可以得到：

Ex1分量：Erx1=Eoxcosα+MEe∙se

Ez1分量：Epcosi-Erpcosi=Eoxsinα+K(Ee∙se)

Hx1分量：-nEP-nErp=-noEoxsinα+neW(sycosα-sxcosα2)Ee∙se （20）

'

)

)

Hz1分量：-nErx1cosi=noEoxsinα+neW(sysinα-sxcosγ2)Ee∙se

'

)

设反射系数和透射系数分别为Rs、Rp、To、Te，解上述（20）中的四个式子，我们可以得到：

Rp=

ErpEpErx1Ep

=

cosα(no+cosi)(P+2K)+Rsinα(nocosi-1) （21）

U2cosicosα[R-(no+cosi)M] （22）

U

Rs=

=

To=

Eox2Rcosi

（23） =

EpU

Ee2M2+T2+K2cosi(no+cosi)cosαTe== （24）

EpU

其中（21）~（24）四式中的P、R、U分别为：

[]R=[nW(ssinα-scosγ)+Mcosi]

'e

y

x

2

'

P=neWcosi(sycosα-sxcosα2)-K

U=[Pcosα(no+cosi)+R(1+nocosi)sinα]

这样就得到光从各向同性介质(空气)入射到各向异性的单轴晶体，且当入射光平行与入射面时，单轴晶体中反射系数和透射系数的表达式。

参考文献：

【1】M.波恩, E.沃耳夫.光学原理.下册[M ].北京:科学出版社, 1981: 894. 【2】]W.Q.ZhangGeneral ray-tracing formulas for crstal[J]. Appl. opt, 1992, 31(34): 7328. 【3】胡树基.光轴方向任意时单轴晶体中非常光的传播[J].杭州师范学院学报, 2001, 18(5): 53.

【4】赵凯华，钟锡华．光学(下册)[M]．北京：北京大学出版社，1984．165. 【5】张家琨.单轴晶体中双折射现象的定量描述[J].大学物理, 1991, 10(6): 17. 【6】潘维济.单轴晶体中非常光射线的方位[J].大学物理, 2001, 20(9): 8.

【7】许丽萍.光在两单轴晶体分界面的反射与透射系数[J].大学物理, 2000, 19(12): 13. 【8】梁柱。光学原理教程[M].北京：北京航空航天大学出版社，2002. 【9】胡树基,沈丽萍.光轴任意取向单轴晶体的反射和透射系数[J].杭州师范学院学报(自然科学版)，2002,1（2）.