浅谈多普勒效应与多普勒测速
第13卷第3期柳 州 师 专 学 报V o l . 13N o. 3 1998年9月 Jou rnal of L iuzhou T eachers Co llege Sep t . 1998蓝(, 545003)
, 并以多普勒测速为例讨论
。
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0 引言
在普通物理力学教材中都有多普勒效应内容, 但一般教材都只讨论声波的多普勒效应, 如文献
[1],对于声波的多普勒效应
, 从现象到成因及声源和接收器之间相对运动的不同情况都作了详尽的论述, 而对于光波的多普勒效应则只是给出公式, 至于多普勒效应的应用, 只是提到了星系的退行红移而没有作具体说明. 现以多普勒测速为例, 讨论声波和光波的多普勒效应及其在测速方面的应用, 以弥补普通物理教材中关于多普勒效应及其应用等方面的不足.
1 声波和光波的多普勒效应
多普勒效应是波动中的一种普遍现象, 不仅在弹性介质中传播的机械波(如声波) 存在多普勒效应, 而且不需任何介质也能传播的电磁波(如光波) 也存在多普勒效应.
1. 1 声波和光波的纵向多普勒效应
为了方便问题的讨论, 我们假设波源S 与观测者R 在同一直线上运动, 运动方向为x 轴, 波源相对于介质的运动速度为v s , 观测者相对于介质的运动速度为v r , 波相对于介质的运动速度为v 0, 如图1所示.
图1
由图1及文献[2]我们得到普遍适用的纵向多普勒效应频移公式
f =v 0-v s ′--22f , 2c 2(1)
其中f ′为观测者所观测到的波的频率, f 为波源所发出的波的频率, c 为光速.
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蓝海江:浅谈多普勒效应与多普勒测速
1. 1. 1 声波的纵向多普勒效应
声波的传播速度远小于光速c , 因而声波不符合相对论原理. 当观测者相对于介质的运动速度v r 或波源相对于介质的运动速度v s 超过声波的传播速度v 0时, 2222面, 声波的多普勒效应不再有任何物理意义, 因此有v r νc 、v s νc , v s c =0、v r c 于是由(1)
式得声波的纵向多普勒频移公式
f =′f , v 0-v s (2)
其中f ′为观测者所观测到的声波频率, f (2) 式可知, v r 处于分子而v s 处于分母, . 假如声源与观测者之间的相对运动速度一样, 、, 或者观测者运动、声源不动, 或者两者都运动, . 因此, 声波的纵向多普勒效应不仅与声源的运动有关, . 1. 1. 2c , 与参照系的选取无关, 因而光波符合相对论原理. 设观测者与光源的相对运动速度为u , 则根据洛仑兹速度合成法则, 有
(3) u =1-2c
设光源所发出的光波频率为f , 观测者观测到的光波频率为f ′. 光波的传播速度为c , 即v 0=c , 于是由(1) 式得
f ′=c -v s --22f . 2c 2
将上式与(3) 式联合解方程组, 即可得到光波的纵向多普勒频移公式
f ′=f . c +u (4)
由(4) 式可知, 光波的纵向多普勒效应仅决定于观测者与光源之间的相对运动速度u , 即无论是观测者运动、光源不动, 或者是光源运动、观测者不动, 或者是两者都运动, 只要观测者与光源之间的相对运动速度一样, 观测者所观测到的多普勒频移的结果是一样的. 或者说, 我们不能通过观测光波的多普勒效应来确定光源和观测者到底谁在运动.
因此, 声波和光波都存在纵向多普勒效应, 但声波的纵向多普勒效应不仅与声源的运动有关, 而且与观测者的运动也有关, 而光波的纵向多普勒效应却只与光
源和观测者之间的相对运动速度有关.
1. 2 声波和光波的横向多普勒效应
为了方便问题的讨论, 我们假设观测者R 相对于介质静止, 波
源S 相对于介质以速度v 运动, 运动方向跟连线S R 相垂直, 波相对
于介质的传播速度为v 0, 如图2所示.
以静止的观测者R 建立静止参照系, 运动的波源S 建立运动
参照系. 设波源开始时位于S , 经过一段微小的时间后运动到S ′
处, 波源在S 处发射位相为Υ0的波的时刻, 相对于静止参照系R 是
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第13卷第3期 柳 州 师 专 学 报 1998年t 0, 而相对于运动参照系S 是t 0; 波源在S 处发射位相为Υ的波的时刻, 相对于静止参照系R 是t , 而′′
相对于运动参照系S 是t ′. 设波源所发射的波的频率为f , 则有
′′Υ-Υf (t -t 0) . 0=2Π
对于观测者, 其接收到波源所发出的位相为Υ0的波的时刻为
t 1=t 0+
S R v 0 , (5) (6)
(7)
(8)
(9) 其所接收到波源所发出的位相为Υ的波的时刻为t 2=t +S 0′设观测者所观测到的波的频率为f ′, ′-(2-t 1) , 由(6) 式和(7) 式得t 2-1=t -′t 0+(S R -S R ) . v 0
′′2, S B , 使得R S =RB , 则S R -S R =S B , 由于我们讨论的时间间隔
′很短, 故′, 可以认为SB ⊥S R , 于是有
S B =S R -S R =S S sin △Η=v (t -′′′t 0) sin △Η.
上式中t -t 0是微小量, △Η也是微小量, 故(t -t 0) sin △Η是二级微小量, 略去不计, 则有S ′B =′S R -S R =0, 于是(9) 式变为
(10) t 2-t 1=t -t 0,
(8) 和(10) 式得由(5) 、
′f (t -′t 0) =f (t -t 0) , ′(11)
其中, t ′-t ′t 0为静止参照系观测者R 上的时间间隔. 0为运动参照系波源S 上的时间间隔, t -
1. 2. 1 声波的横向多普勒效应
由于声波的传播速度远小于光速c , 因而声波不符合相对论原理. 对声波而言, 其时空变换关系符合伽利略变换, 即有t -t 0=t ′-t ′0, 于是由(11) 式得
f =f . ′(12)
由上式可知, 对声波而言, 观测者所观测到的声波频率与声源所发出的声波频率是一样的. 声波没有横向多普勒效应.
1. 2. 2 光波的横向多普勒效应
光波的传播速度为常数c , 其与所选的参照系无关, 因而光波符合相对论原理, 其时空变换关系符合洛仑兹变换, 即有
t -t 0=(t -′′t 02) 1-2, c
把上式代入(11) 式得
f =′1-. 2f c 2(13)
由上式可知, 对光波而言, 观测者所观测到的光波频率比光源所发出的光波频率小. 这就说明光波存在横向多普勒效应.
由以上的讨论可以看出, 虽然声波和光波都存在多普勒效应, 但声波多普勒效应与光波多普勒效应之间存在着本质的区别:1、声波和光波都存在纵向多普勒效应, 声波纵向多普勒效应与声源的运动和观测者的运动都有关, 而光波纵向多普勒效应却只与光源和观测者之间的相对运动有关; 2、76
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声波没有横向多普勒效应而光波存在横向多普勒效应. 产生这种本质区别的根本原因是由于声波的传播速度远小于光速c , 声波不符合相对论原理; 而光波的传播速度为c , 且与所选取的参照系无关, 光波符合相对论原理.
2 多普勒测速原理
多普勒测速仪是利用波的多普勒效应这一原理制成的, , 运动物体反射或散射波, 由于存在多普勒效应, , .
我们假设多普勒测速仪静止, 的测速方向在同一直线上, 如图.
图3
下面我们仍以声波和光波为例讨论机械波测速与电磁波测速的异同.
2. 1 声波测速
为了得到多普勒测速仪所接收到的由于存在多普勒效应而频移的声波频率与运动物体运动速度之间的关系, 我们分两步进行讨论.
第一步, 多普勒测速仪发射声波, 运动物体接收到其所发射的声波. 在这个过程中, 多普勒测速仪作为波源是静止的, 而运动物体作为波接收器以速度v 运动. 设多普勒测速仪所发射的声波频率为f , 运动物体所接收到的声波频率为f ′, 声波的传播速度为v 0, 则由图3及(2) 式得
f =′f . v 0(14)
第二步, 运动物体反射或散射声波, 多普勒测速仪接收到其所反射或散射的声波. 在这个过程中, 运动物体作为波源以速度v 运动, 而多普勒测速仪作为波接收器静止. 设多普勒测速仪接收到的声波频率为f ″, 由第一步我们知道, 运动物体所反射或散射的声波频率为f ′, 于是由图3及(2) 式得
f =″v 0+v f , ′(15)
把(14) 式代入(15) 式得
″=, f v 0+v (16)
由(16) 式得
1-v =v 0 . ″1+f ″(17)
(17) 式即为被测物体的运动速度v 与多普勒测速仪所发射的声波频率f 、多普勒测速仪所接收到的由于存在多普勒效应而频移的声波频率f ″以及声波的传播速度v 0之间的关系.
2. 2 光波测速
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第13卷第3期 柳 州 师 专 学 报 1998年为了得到多普勒测速仪所接收到的由于存在多普勒效应而频移的光波频率与运动物体运动速度之间的关系, 我们同样分两步进行讨论.
第一步, 多普勒测速仪发射光波, 运动物体接收到其所发射的光波. 在这个过程中, 多普勒测速仪作为波源是静止的, 运动物体作为波接收器是运动的, 它们之间的相对速度为仪所发射的光波频率为f , 运动物体所接收到的光波频率为f ′, 3及(4) 式得
f ′f +v (18)
第二步, , . 在这个过程中, , 它们之间的相对速度仍为
″v . f , 由第一步我们知道, 运动物体所反射或散射的光波频率
为f ′, (式得
f =″′f . c +v (19)
把(18) 式代入(19) 式得
=, f c +v ″(20)
由(20) 式得
1-v =. ″c 1+f ″(21)
(21) 式即为被测物体的运动速度v 与多普勒测速仪所发射的光波频率f 、多普勒测速仪所接收的由于存在多普勒效应而频移的光波频率f ′以及光波的传播速度c 之间的关系.
(21) 式我们可以知道, 多普勒测速仪只要把其所接收到的由于存在多普勒效应而频由(17) 、
移的运动物体的反射或散射波与其所发射的本振波进行混频, 再经过适当的电子电路处理即可快速测出运动物体的运动速度.
2. 3 声波测速与光波测速比较
2. 3. 1 相同点:由(17) 式和(21) 式我们可以知道, 利用多普勒效应, 声波和光波都可以用来测量运动物体的运动速度, 而且当多普勒测速仪的测速方向与运动物体的运动方向在同一直线上时, 两者的被测物体的运动速度与波的频率之间的关系是一样的.
2. 3. 2 声波测速特点:由(16) 式我们可以看出, 由于声波的传播速度比较小, 当v 一定时, f ″ f 值比较大, 因而其多普勒效应的结果是很明显的. 但是声波在大气中传播时能量衰减快, 传播距离小, 而且声波的传播速度小, 波长比较长, 因而声波的反射或散射波不易精确接收和测量, 所以声波测速的精度较差、测速距离小、测速范围窄、只能测量线度比较大的运动物体. 在实际应用中一般只用超声波来测速.
2. 3. 3 光波测速特点:由(20) 式我们可以看出, 由于光波的传播速度很大, 当v 一定时, f ″ f 值比较小, 因而其多普勒效应的结果是不太明显的. 但是, 由于光波在大气中传播时, 能量衰减小, 方向性强, 传播距离远, 而且光波的传播速度很大, 波长比较小, 因而光波的反射或散射波容易精确接收78
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和测量. 所以光波测速的精度很高、测速距离远、测速范围宽、能测量线度大小不同的运动物体, 比如利用激光测速不仅可以测量微小物体的运动速度, 而且可测量的速度范围也很宽, 低的可以测出每秒移动0. 007厘米的速度, 高的可以测出每秒移动几百米的速度[3]. 因此, 光波来测速. 参1 梁昆淼. 力学. 上册. 人民教育出版社, 1978.
2 秦继民, 萧化. . . , 1993.
3 蔡枢, 吴铭磊. . , .
A n E lem en tary In troducti on to
Dopp ler Effect
Lan Ha ij i ang
Abstract :T h is p ap er discu sses the differences and relati on betw een Dopp ler effect of sound w ave and that of ligh t w ave . In illu strati on of Dopp ler sp eed m easu ring , the p ap er also discu sses the app licati on of sound and ligh t w ave Dopp ler effect to sp eed m eascering .
Key words :Dopp ler effect ; Dopp ler sp eed m easu ring ; sound w ave ; ligh t w ave
(责任编辑:梁文杰)
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