万有引力和天体

“万有引力”练习题

1.启动卫星的发动机使其速度增大，待它运动到距离地面的高度比原来大的位置，再定位使它绕地球做匀速圆周运动，成为另一轨道上的卫星，该卫星后一轨道与前一轨道相比

（C）

A.速度增大 B.加速度增大 C.周期增大 D.机械能变小

2.如图所示，质量为m的飞行器在绕地球的轨道上运行，半径为r1，要进入半径为r2的更高的圆轨道Ⅱ，必须先加速进入一个椭圆轨道Ⅲ，然后再进入圆轨道Ⅱ。已知飞行器在圆轨道Ⅱ上运动速度大小为v，在A点时通过发动机向后喷出一定质量气体使飞行器速度增加到v'进入椭圆轨道Ⅲ，设喷出的气体的速度为u，求：

(1)飞行器在轨道Ⅰ上的速度v1及轨道Ⅰ处的重力加速度.

(2)飞行器喷出气体的质量.

解：（1）轨道Ⅰ上，飞行器所受万有引力提供向心力，设地球质量为M，则有

v12Mm G2m ①

r1r1

解得 v1GM ② r1B

GM 同理在轨道Ⅱ上 v ③ r2

由②、③可得v1r2v ④ r1

在轨道Ⅰ上重力加速度为g，则有

GMmmg ⑤ r12

由③、⑤可得 gr22v ⑥ r12

（2）设喷出气体质量为m，由动量守恒得

 mv1(mm)vmu ⑦

v

解得：mr2vr1

vum ⑧

3.宇宙中某星体每隔4.4×10-4 s就向地球发出一次电磁波脉冲．有人曾经乐观地认为，这是外星人向我们地球人发出的联络信号，而天文学家否定了这种观点，认为该星体上有一个能连续发出电磁波的发射源，由于星体围绕自转轴高速旋转，才使得地球上接收到的电磁

波是不连续的．试估算该星体的最小密度．（结果保留两位有效数字）

解：接收电磁波脉冲的间隔时间即是该星体自转的最大周期

星体表面物体不脱离星体时满足：

2πMmG = mR()2 RT

43而M=πRρ 3

3π∴ρ= GT代入已知数据得：ρ=7.3×1017kg/m3

4.现代观测表明，由于引力的作用，恒星有“聚焦”的特点，众多的恒星组成不同层次的恒星系统，最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星．它们以两者连线上的某点为圆心做匀速圆周运动，这样就不至于由于万有引力的作用而吸引在一起．设某双星中A、B两星的质量分别为 m 和 3m，两星间距为L，在相互间万有引力的作用下，绕它们连线上的某点O转动，则O点距B星的距离是多大？它们运动的周期为多少？

解：设O点距B星的距离为x，双星运动的周期为T，由万有引力提供向心力．

3m2π 对于B星：G = 3mx()2 LT

3m2π 对于A星：2 )2 LT

L-x ∴x

1 即 x = L 4

∴ T =πLL分) Gm22

5.若人造卫星绕地球作匀速圆周运动，则下列说法正确的是（AD）

A.卫星的轨道半径越大，它的运行速度越小

B.卫星的轨道半径越大，它的运行速度越大

C.卫星的质量一定时，轨道半径越大，它需要的向心力越大

D.卫星的质量一定时，轨道半径越大，它需要的向心力越小

6.1998年1月发射的“月球勘探者”空间探测器，运用最新科技手段对月球进行近距离勘探，在月球重力分布，磁场分布及元素测定等方面取得了新成果，探测器在一些环形山中发现了质量密集区，当飞到这些质量密集区时，通过地面的大口径射电望远镜观察，“月球勘探者”的轨道参数发生了微小变化，这些变化是(AD)

A .半径变小 B.半径变大

C.速率变小 D.速率变大

7.火星有两颗卫星，分别是火卫一和火卫二，它们的轨道近似为圆.已知火卫一的周期为7小时39分.火卫二的周期为30小时18分，则两颗卫星相比(AC)

A.火卫一距火星表面较近

B.火卫二的角速度较大

C.火卫一的运动速度较大

D.火卫二的向心加速度较大

8.土星外层上有一个环.为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中

各层的线速度V与该层到土星中心的距离R之间的关系来判断 ( AD )

A.若V ∝R，则该层是土星的一部分

B.若V2 ∝R，则该层是土星的卫星群

C.若V ∝1

R，则该层是土星的一部分

D.若V2∝1

R，则该层是土星的卫星群

9.我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星.某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动.由天文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G.由此可求出S1的质量为（A）

A．42r2(rr1)

GT2 B．42r122r22r2r1GT2 C．4GT2 D．4GT2

10.一艘宇宙飞船飞近某一新发现的行星，并进入靠近行星表面的圆形轨道绕行数圈后，着陆在该行星上，飞船上备有以下实验器材：

A．精确秒表一个 B．已知质量为m的物体一个

C．弹簧测力计一个 D．天平一台（附砝码）

已知宇航员在绕行时和着陆后各作了一次测量，依据测量数据，可求出该行星的半径R 和行星质量M。（已知万有引力常量为G）

（1）两次测量所选用的器材分别为、（用序号表示）

（2）两次测量的物理量分别是。

（3）用该数据推出半径R、质量M的表达式：，。

【答案】（每空2分）（1）A；BC （2）周期T；物体的重力F （3）FT2F3T4

42m;164m3G

11.在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来.假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为υ0，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计大气阻力.已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T.火星可视为半径为r0的均匀球体.

解：设火星的质量为M；火星的一个卫星的质量为m ，火星探测器的质量为m’,在火星表面时重力加速度为g′. 有

对火星的一个卫星： G─M─m

r2 = m( 2──π

T )2r ①

对火星探测器： G─M─m

r2 ′ = m′g′ ②

υ2

1 =2 g′h ③

υ = √─υ────────

12 +υ02 ④

由以上各式得 υ =√─8─

──π2─

─h─r─

T─ ─2─r─ 2 3── +υ2

0⑤

12.某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g，地球自转周期为T

，不

考虑大气对光的折射.

解：设所求的时间为t，用m、M分别表示卫星和地球的质量，r表示卫星到地心的距离.

对卫星有 GmM22mr() ① 2Tr

春分时，太阳光直射地球赤道，如图所示，图中圆E表示赤道，S表示卫星，A表示观察者，O表示地心. 由图可看出当卫星S绕地心O转到图示位置以后（设地球自转是沿图中逆时针方向），其正下方的观察者将看不见它. 据此再考虑到对称性，有

rsinR ② 2tT ③ 2

MG2g ④ R

42R3由以上各式可解得 tarcs2) ⑤ gTT1

13.海王星是绕太阳运动的一颗行星，它有一颗卫星叫海卫1.若将海王星绕太阳的运动和海卫1绕海王星的运动均看作匀速圆周运动，则要计算海王星的质量，需要知道的量是（引力常量G为已知量）（A）

A.海卫1绕海王星运动的周期和半径

B.海王星绕太阳运动的周期和半径

C.海卫1绕海王星运动的周期和海卫1的质量

D.海王星绕太阳运动的周期和太阳的质量

14.我国发射的神州五号载人宇宙飞船的周期约为90min，如果把它绕地球的运动看作是匀速圆周运动，飞船的运动和人造地球同步卫星的运动相比，下列判断中正确的是（C）

A.飞船的轨道半径大于同步卫星的轨道半径

B.飞船的运行速度小于同步卫星的运行速度

C.飞船运动的向心加速度大于同步卫星运动的向心加速度

D.飞船运动的角速度小于同步卫星运动的角速度

15.星球上的物体脱离星球引力所需的最小速度称为第二宇宙速度.星球的第二宇宙速度v2与与第一宇宙速度v1的关系为是v2=2v1.已知某星球的半径为r，它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的1/6.不计其它星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为（C）

A.gr B.111gr C.gr D.gr 363

16.发射地球同步卫星时，可认为先将卫星发射至距地面高度为h1的圆形轨道上，在卫星经过A点时点火（喷气发动机工作）实施变轨进入椭圆轨道，椭圆轨道的近地点为A，远地点为B.在卫星沿椭圆轨道运动经过B点再次点火实施变轨，将卫星送入同步轨道（远地点B在同步轨道上），如图所示.两次点火过程都使卫星沿切线方向加速，并且点火时间很短.已知同

步卫星的运动周期为T，地球的半径为R，地球表面重力加速度为g，求：

⑴卫星在近地圆形轨道运行接近A点时的加速度大小；

⑵卫星同步轨道距地面的高度.

⑴aAR2

Rh12g ⑵h23gR2T2R 42

17.2003年10月15日，我国神舟五号载人飞船成功发射.标志着我国的航天事业发展到了一个很高的水平.飞船在绕地球飞行的第5圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度为h的圆形轨道.已知地球半径为R，地面处的重力加速度为g，求：

⑴飞船在上述圆形轨道上运行的速度v；

⑵飞船在上述圆形轨道上运行的周期T. ⑴vgR2 ⑵T2RhRh3gR2

18.2003年10月15日，我国利用“神州五号”飞船将一名宇航员送入太空，中国成为继俄、美之后第三个掌握载人航天技术的国家.设宇航员测出自己绕地球球心做匀速圆周运动的周期T，离地面的高度为h，地球半径为R.根据T、h、R和万有引力恒量G，宇航员不能计算出下面的哪一项（C）

A.地球的质量 B.地球的平均密度

C.飞船所需的向心力 D.飞船线速度的大小

19.1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为16km.若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度和地球相同.已知地球半径R=6400km，地球表面重力加速度为g.这个小行星表面的重力加速度为（B） A.400g B.11g C.20g D.g 40020

20.某研究性学习小组首先根据小孔成像原理估测太阳半径，再利用万有引力定律估算太阳的密度.准备的器材有:①不透光圆筒，一端封上不透光的厚纸，其中心扎一小孔，另一端封上透光的薄纸；②毫米刻度尺.已知地球绕太阳公转的周期为T，万有引力常量为G.要求:(1)简述根据小孔成像原理估测太阳半径R的过程.(2)利用万有引力定律推算太阳密度.

小孔 圆筒

太阳 解:(1)其过程如图所示，用不透光圆筒，把有小孔的一端对准太阳，调节圆筒到太阳

的距离，在薄纸的另一端可以看到太阳的像.用毫米刻度尺测得太阳像的直径d，圆筒长为

L. 设太阳的半径为R，太阳到地球的距离为r.由 成像光路图可知:△ABO∽△CDO，则: Rd/2dr，即R. rL2L

m，则:G (2)地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，设太阳质量为M，地球质量为Mm22mr() Tr2

M43由密度公式及球体体积公式V

R ) V3

24L3

联立以上各式可得: (2分) 23GTd

21.一颗人造地球卫星以速度v发射后，可绕地球做匀速圆周运动，若使发射速度变为2v，则该卫星可能（C）

①绕地球做匀速圆周运动，周期变大

②绕地球运动，轨道变为椭圆

③不绕地球运动，成为绕太阳运动的人造卫星；

④挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙

A.①② B.②③ C.③④ D.①②③

22.我国已于2004年启动“嫦娥绕月工程”，2007年之前将发射绕月飞行的飞船.已知

62月球半径R=1.74×10m，月球表面的重力加速度g=1.62m/s.如果飞船关闭发动机后绕月

5做匀速圆周运动，距离月球表面的高度h=2.6×10m，求飞船速度的大小.

解:在月球表面 GMmmg ① R2

GMmmv2

飞船在轨道上运行时 ② 2Rh(Rh)

由①②式解得:vRg ③ Rh

3代入已知数据得:v=1.57×10m/s

23.同步卫星A的运行速率为v1，向心加速度为a1，运转周期为T1；放在地球赤道上的物体B随地球自转的线速度为v2，向心加速度为a2，运转周期为T2；在赤道平面上空做匀速圆周运动的近地卫星C的速率为v3，向心加速度为a3，运转周期为T3.比较上述各量的大小得（AD）

A.T1=T2>T3 B.v3>v2>v1

C.a1a1>a2

24.已知万有引力常量G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期T1，地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g.某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法： 234h Mm2同步卫星绕地球作圆周运动，由G得MmhGT2h2T2

⑴请判断上面的结果是否正确，并说明理由.如不正确，请给出正确的解法和结果. 不正确.应为GMm

Rh22mT2324Rh，得M Rh2GT22

⑵请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。 2gR2MmGMm42r3 由mg，得 或由得MG2mTrMGT2GR2r11

25.已知地球质量大约是月球质量的81倍，地球半径大约是月球半径的4倍.不考虑地球、月球自转的影响，由以上数据可推算出 （C） 2

A.地球的平均密度与月球的平均密度之比约为9∶8

B.地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比约为9∶4

C.靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的周期与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器的周期之比约为 8∶9

D.靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器线速度与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器线速度之比约为 81∶4

26.最近，科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运行一周所用的时间为1200年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍。假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量有 （AD）

A.恒星质量与太阳质量之比

B.恒星密度与太阳密度之比

C.行星质量与地球质量之比

D.行星运行速度与地球运行速度之比

27.把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周.由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求得（CD）

A.火星和地球的质量之比

B.火星和太阳的质量之比

C.火星和地球到太阳的距离之比

D.火星和地球绕太阳运行速度大小之比

28.已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T.仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有（BD）

A.月球的质量 B.地球的质量

C.地球的半径 D.月球绕地球运行速度的大小

29.地球同步卫星离地心距离为r，运行速率为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2,，地球半径为R，则（B） a1a1R2v1R2vrR① ＝ ② =2 ③=2 ④1＝ Rra2a2rv2rv2

A.①③ B.①④ C.②③ D.②④

30.如图所示,发射地球同步卫星时,先将卫星发射至近地轨道1,然后经点火使其在椭圆轨道2上运行,最后再次点火将卫星送入同步轨道3.轨道1、2相切于A点, 轨道2、3相切于B点.则当卫星分别在1、2、3轨道正常运行时,下列说法中正确的是(

A.卫星在轨道3上的周期大于在轨道1上的周期 B.卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 C.卫星在轨道2上运行时,经过A点时的速率大于经过B点时的速率 D.卫星在轨道2上运行时,经过A点的加速度大于经过B点的加速度

31.地球赤道上的物体重力加速度为g,物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，要使赤道上的物体“飘”起来，则地球的转速应为原来的多少倍？

解:赤道上的物体随地球自转时的向心力是万有引力和支持力的合力提供,即:

GMmNm2Rma ① 2R

其中N=mg ②

要使赤道上的物体飘起来,即变为近地卫星,应有N=0,于是:

GMm'2mR ③ R2

'由①、②、③得:ag a

32.我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星.某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动.由天文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知万有引力常量为G.因此可求出S2的质量为（D）

A.42r2(rr1)

GT2

42r2B.1GT2 42r3C.1GT2 D.42r2r1GT2