6,线线垂直,线面垂直

线线垂直，线面垂直

知识点：线面垂直是以线线垂直为基础的。

线线垂直的几种常用情况：

1，等腰三角形底边上的中线垂直于底边。 2，三角形三边长满足勾股定理。 3，如图，在矩形ABCD中，

C

D

CE

BCAE

=，则AC⊥DE ABAD

AE

特殊情况：若ABCD是正方形E，F 分别是BC、AB中点，则AE⊥DF

若

B

A

FB

线面垂直定义：如果一条直线垂直于平面内的任何一条直线，则这条直线就和这个平

面平行。

线面平行的判定定理：如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则这条直线就和

这个平面垂直。

推论：1，两条平行线中，有一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。

2，垂直于同一条直线的两个平面平行。

线面垂直的性质定理：如果一条直线垂直于一个平面，则这条直线就垂直于平面内的

任意一条直线。

方法：分析法 一，选择题：

1，若一条直线上有两点到平面的距离相等，则该直线与平面的位置关是

A，平行； B，相交； C，垂直； D，不确定。

2，已知一个平面平行于两条异面直线，一直线与两条异面直线都垂直，那么这条直线与这个平面的位置关系是 。

A，平行； B，相交； C，垂直； D，不能确定。

3，已知，直线a⊥直线b，a⊥平面α，则直线b与平面α的位置关系是

A，b⊥α； B，b//α； C，b⊂α； D，b⊂α或b//α。

4，有下列命题，

a⊥α⎫a⊥α⎫

（1）⎬⇒a⊥b； （2）⎬⇒a⊥α；

b⊂α⎭a//b⎭

a⊥c⎫

a⊥α⎫⎪

（3）； （4）b⊂α⇒a⊥b⎬⇒a⊥α； ⎬

b//α⎭

c⊂α⎪⎭

a//α⎫a⊥α⎫

（5）⎬⇒b⊥α； （6）⎬⇒b//α。

a⊥b⎭a⊥b⎭

其中正确命题的个数是

A，3； B，4； C，5； D，6。

5，若两直线a与b异面，则经过a且与b垂直的平面 A，有且只有一个； B，至多有一个； C，有无数个； D，一定不存在。

6，垂直于梯形两腰的直线与梯形两底所在的平面的位置关系是 A，垂直； B，平行； C，直线在平面内； D，无法确定。

7，已知，三棱锥S-ABC的各个顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，

SO⊥平面ABC

，AC=r，则球的体积与三棱锥体积之比是。

A，π； B，2π； C，3π； D，4π。 8，下列命题中正确命题的个数是

（1）如果直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α； （2）若一条直线l与平面α的一条垂线垂直，则l//α； （3）若直线a不垂直于平面α，则α内没有与α垂直的直线； （4）若直线a不垂直于平面α，则α内也有无数条直线与α垂直。 A，0； B，1； C，2； D，3。 9，下列命题中正确的是

A，若直线l上有无数个点不在平面α内，则l//α；

B，若直线l与平面α垂直，则l与α内的任意垂直；

C，若E,F分别为∆ABC中AB,BC的中点，则E,F与经过AC边的所有平面平

行。

D，两条垂直的直线中有一条和平面平行，则另一条和这个平面垂直。 10，已知三棱锥P-ABC的高为PO，O为垂足（在∆ABC内部），若P到底面∆ABC 三边所在的直线的距离相等，则O是∆ABC的 。 A，外心； B，内心； C，垂心； D，重心。

11，在空间四边形ABCD中，若AP⊥CD，BC⊥AD，则对角线AC 与BD的位置

关系是 。

A，相交但不垂直； B，垂直但不相交；

C，不相交也不垂直； D，无法判断。

12，已知平面α⊥平面β，α β=l，点A∈α，A∉β，直线AB//l，直线AC⊥l，

直线m//α,m//β，则下列四种关系中不一定成立的是 。 A，AB//m； B，AC⊥m； C，AB//β； D，AC⊥β 二，填空题：

1，如图，在∆ABC中，∠C=90， P若PA⊥平面ABC，则图中 直角三角形的个数为 。

2，如图所示，直四棱柱AC1中，当底 面四边形ABCD满足 时，

A

C

B

A1

B1

1

AB

C

D1

D

A1C⊥ＢＤ１１（只填上一个正确结论即可）

3，已知空间不共线三点A,B,C和直线l，若C∈l，A∉l，B∉l，AC⊥l，BC⊥l，

则AB与l的位置关系是 。

4，已知α,β是两个不同的平面，m,n是平面α,β之外的两条不同直线，给出四个论

断：

（1），m//n；（2），α//β；（3），m⊥α；（4），n⊥β。

以其中的三个论断为条件，余下一个论断为结论，写出正确的一个命题是

三，解答题：

1，正方体AC1中，求证：A1C⊥平面B1CD

A

D

B

C

A1

D1

B1

C1

2，如图，在空间四边形ABCD中，AB=AC，DB=DC。 求证：BC⊥AD

3，在正方体AC1中，M为棱CC1的中点，AC交BD于O， 求证：AO1⊥平面BDM。

A

B

C

D

D1

A1

BC1

M

DA

C

4，已知AB是 O的直径，PA垂直于 O所在的平面，M为圆周上不同于A,B的任意一点，AN⊥PM于N，AD⊥PB于D。 求证：（1）AN⊥平面PBM。 （2）DN⊥PB。

5，如图，以AB为斜边的直角三角形Rt∆ABC，过A作AP⊥平面ABC， AE⊥PB于E，AF⊥PC于F。 求证：PB⊥平面AEF。

P

F

C

A

B

E

6，四边形ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G。 求证：AE⊥SB，AG⊥SD

7，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面ABCD，再过A作AE⊥SB 交SB于E，过

S

G

ED

A

C

E作EF⊥SC，交SC于F。 （1）求证：AF⊥SC。

（2）若平面AEF交SD于G，

求证：AG⊥SD。

S

FD

A

C

1

8，已知，在正方体AC1中，M为棱AA1的中点，N为棱AB的中点，且AN=NB。

求证：MN⊥MC1。

9，在正方体AC1中，O是底面ABCD的中心，求证：B1H⊥平面AD1C

3

D1C1

A11

MC

A

N

B

B1H⊥D1O，H为垂足，

D1

C1

A1

H

1

DC

A

B

10，在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥

平面

ABC,SA=SC=M、N分别为AB,SB的中点。

S

N

求证：AC⊥SB；

11，如图矩形ABCD中，且BF⊥AE=EB=BC，AD⊥平面ABE，F为CE 上的点，

平面ACE。

求证：（1）AE⊥平面BCE。 （2）AE//平面BFD。

A

M

B

D

G

A

E

F

C

B

12，如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G,H,M分别是棱AD,DD1,

D1A1,A1A,AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N

只需满足 条件时，就有MN⊥AC11；当N只需满足条件时，就 有MN//平面B1D1C GA1

1

1

C1

13，已知直三棱柱AC1中，∆ABC为等腰直角三角形，AB=AA1=2，E,F分别为CC1,BC的中点 。

（1）求证：B1F⊥平面AEF1。 （2）求三棱锥E-AB1F的体积。

H

FDC

A

M

∠BAC=900

，且，

A1

B1

C1A

EB

F

C

14，如图，四棱锥 P-ABCD底面是直角梯形，AB⊥AD，AD⊥DC，CD=2AB，

PA⊥底面ABCD，E为PC的中点，PA=AD=AB=1 （1）证明：EB//平面PAD。 （2）证明：BE⊥平面PDC。

（3）求三棱锥B-PCD的体积V。

15，如图，已知∆ABC是正三角形，CD=a，P是BE中点。 求证：（1）DF//平面ABC。 （2）AF⊥平面BDE。

C

A

AE,CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2a，

DA

C

B

16，如图，已知在多面体ABCD中，AE⊥平面ABC，且BD//A，E

AC=AB=BC=aB，DAEa=，F为CD中点。

求证：（1）EF//平面ABC。

（2）EF⊥平面BCD。

D

E

F

A

C

B

∠CDA=∠DAB=90，17，如图所示，已知在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，

CD=1，AD=2，AB=4，且∠APD=300，M为PB中点。

（1）求证：PB⊥平面AMC。 （2）求点Ａ到平面PBC的距离。

S

M

DA

C

B

18，如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，

∠ABC=600，PA=AB=BC，E是PC中点。

（1）证明：CD⊥AE。 （2）证明：PD⊥平面ABE。

19，如图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABD，ACD是全等的直角三角形，AD是公共

B

D

BD=CD=1。 的斜边，且 求证：AD⊥BC。

D

B

20，如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。 （1）求证：AB1⊥平面A1BD。 （2）求点C到平面A1BD的距离。

21，如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M,N分别为AB，PC的中点。 （1）求证：MN⊥CD。

（2）若∠PDA=45，求证：MN⊥平面PCD

A

C

D

A1

B1

C1

P

N

AB

M

D

22，如图所示，在矩形ABCD

中，BC=3，沿对角线BD将∆BCD折起，使点C移到C1，且点C1在平面ABC上的射影O恰好在AB上。 （1）求证：BC1⊥平面AC1D。 （2）求点A到平面BC1D的距离。

23，如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点，试确定点F的位置，使得D1E⊥AB1F。

C

D

B

O

D

A

C(C1)

B

A

A1

B1

D1

B

E

CF

D

24，如图，正方形ABCD的边长是1，分别取BC,CD的中点E,F，连接AE,EF,AF

以AE,EF,AF为折痕，折叠这个正方形，使点B,C,D重合于一点P，得到一个四面体。

（1）求证：AP⊥EF。

25，已知∆ABC中，∠BCD=90，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60，

A

D

A

F

P

（2）求证：平面APE⊥平面APF。

F

B

E

C

E

AEAF

==λ，(0

（1）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC。 A（2）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD。

E,F分别为AC,AD上的动点，且

ECB

D

27，如图，矩形ABCD与矩形ABEF的公共边为AB，且平面ABCD⊥ 平面ABEF

，

DF=2,AD=1,EF=。

（1）证明：AE⊥平面BCF。

（2）若M是棱AB的中点，在线段DF上是否存在一点N，

使得MN//平面BCF？证明你的结论。

D

FE

A

C

B