电动力学第四章

第四章

4.1 真空中的波动方程 4.2 时谐波 亥姆霍兹方程和边值关系 平面波 4.3 导体内的电磁波 4.4 电磁波在界面的反射和折射 4.5 谐振腔和波导 4.6 高斯光束(阅读与讨论) 4.7 等离子体中的电磁波 4.8 光子晶体(讲座) 4.9 光学空间孤子(讲座)

4.1 真空中的波动方程

随时间变化的电荷电流分布激发时变电磁场,变化的电场与磁场互相激发形成电磁波. 由麦克斯韦方程组

D = ρf ,

B = 0 ,

B t D × H = Jf + t × E =

(4.1)

在激发源之外的真空中, ρ f = 0 , J f = 0 , D = ε 0 E , H = B/μ 0 ,有

E = 0 , × E =

B t

B = 0 , × B = μ 0ε 0

而

E t

(4.2)

2E × ( × E ) = ( × B ) = μ 0 ε 0 2 t t × ( × E ) = ( E ) 2 E

于是得关于 E 的齐次波动方程:

2E

同理可得关于 B 的齐次波动方程:

1 2E =0 c 2 t 2

(4.3)

2B

E 和 B 有完全相同的波动形为,其中

1 2B =0 c 2 t 2

(4.4)

1

c=

1

μ 0ε 0

= 299 792 458 m/s

(4.5)

是所有频率的电磁波在真空中的传播速度.

4.2 时谐波

时谐波

亥姆霍兹方程和边值关系

平面波

即角频率为 ω 的单色波:

E ( x, t ) = E ( x )cosωt , B ( x, t ) = B ( x )cosωt

写成复数形式

E ( x , t ) = E ( x ) e iω t ,

介质色散

B ( x, t ) = B ( x )e iωt

(4.6)

即便是同一种介质,其电容率 ε 和磁导率 μ 一般地是频率的函数:

ε = ε (ω ) , μ = μ (ω )

仅对单色波,各向同性线性均匀介质内才有 ε = 常数, μ = 常数:

D = εE ,

线性均匀绝缘介质内的亥姆霍兹方程

B = μH

(4.7)

边值关系

在各向同性线性均匀的绝缘介质内, ρ f = 0 , J f = 0 , 麦克斯韦方程组为

D = 0, B = 0 ,

将(4.6)和(4.7)代入(4.8),得

× E =

B t D × H = t

(4.8)

E ( x) = 0 , H ( x) = 0 ,

× E ( x ) = iωμH ( x ) × H ( x ) = iωεE ( x )

(4.9)

注意这四个方程中,只有第 2 和第 4 式是独立的. 取第 2 式的散度即给出第 3 式; 取第 4 式的散度即给出第 1 式. 因此,对于时谐波,电磁场的四个边值关系

e n ( D2 D1 ) = σ f , e n × ( E 2 E1 ) = 0 e n ( B 2 B1 ) = 0 ,

中,只有第 2 和第 4 式是独立的:

2

en × (H 2 H1 ) = α f

e n × ( E 2 E1 ) = 0 ,

满足这两个边值关系,其它两个自然也满足.

en × (H 2 H1 ) = α f

(4.10)

对(4.9)的第 2 式求旋度,并由第 4 式,得线性均匀绝缘介质内时谐波电场 E 的亥姆霍兹 方程:

2 E ( x) + k 2 E ( x) = 0

其中

(4.11)

k = ω με = 2π/λ

(真空中 k = ω

μ 0ε 0 = ω / c )

(4.12)

λ 为电磁波在介质中的波长, k 为波数.方程(4.11)的解还必须满足条件:

E ( x) = 0

(横场条件) (4.13)

在研究电磁波在有界空间中的传播时,在各线性均匀绝缘介质内满足亥姆霍兹方程 (4.11)和条件(4.13),在界面上又满足(4.10)第一式的电场 E,是唯一的. 解出 E 后,由(4.9)第 2 式即可求出磁场:

B ( x ) = μH ( x ) =

i

ω

× E ( x)

(4.14)

同理,从方

程组(4.9),亦可得磁场 B 遵从亥姆霍兹方程:

2 B( x ) + k 2 B( x ) = 0

B( x) = 0

(横场条件)

(4.15) (4.16)

在各线性均匀绝缘介质内满足亥姆霍兹方程(4.15)和条件(4.16),在界面上又满足(4.10)第 2 式 的磁场 B,也是唯一的.解出 B 后,由(4.9)第 4 式,即可求出电场

E ( x) =

线性均匀绝缘介质内的平面波

i

ωμε

× B( x )

(4.17)

自然界一切电磁波均可看成由各种单色平面波叠加的结果.亥姆霍兹方程

2 E ( x) + k 2 E ( x) = 0

E ( x) = 0

(横场条件)

(4.18) (4.19)

最基本的解是单色平面波.例如,当单色平面波沿 x 轴传播时 波矢量

k = ke x

3

方程(4.18)为

d 2 E ( x) + k 2 E ( x) = 0 2 dx

E ( x ) = E 0 e ikx

它的一个解为 由条件 E ( x ) = 0 ,有

ex

E 的全表达式为

[ E 0 e ikx ] = ike x E ( x ) = 0 , 即 k ⊥ E , x

E 为横场

E ( x , t ) = E ( x )e iωt = E 0 e i ( kx -ωt )

波的相位为

φ = kx ωt

(4.20)

与波矢量 k = ke x 正交的任意平面,都是等相面.在此平面上所有各点

φ = kx ωt = 常数

对求上式时间的导数,得相速度

v=

介质的折射率

ω

k

=

1

με

=

1

1

μ rε r

μ 0ε 0

=

c n

(线性均匀绝缘介质中)

(4.21)

n = μ rε r

(4.22)

μ r 和 ε r 与波的频率有关,故 v 和 n 也与频率有关——色散. Z = μ/ε 称为介质的波阻抗.

真空中任何频率的波,均有

n = 1 , v = c , Z 0 = μ 0 /ε 0 376.7Ω

沿任意方向传播的平面波: 波矢量 电场 波的相位 与 k 正交的任意平面,都是等相面. 由 E ( x) = 0 , 磁场为

4

k = kxex + k ye y + kzez E ( x , t ) = E 0 e i ( k x -ωt )

(4.23) (4.24) (4.25)

φ = k x ωt

得 ik E = 0 , 即 k ⊥ E

B( x ) = k

i

ω

× E ( x) =

i

ω

× [ E 0 e i ( k x ωt ) ]

(4.26)

1 = × E = ek × E ω v

可知电磁波:

(1) 是横波,E, B, k 三者正交, 即 k E = 0 , k B = 0 ,而且 E × B → k 方向. (2) 电场与磁场的振幅比

E = B

E = B

电磁波的偏振

1

με

=v

1

(线性均匀绝缘介质中)

(4.27)

μ 0ε 0

=c

(真空中)

(4.28)

电磁波电场 E (或磁场 B)一般地可分解为与波矢 k 垂直的两个独立偏振.设 k = ke z ,则 E 可分解为

E = Exex + E ye y

(4.29)

(1) 若 E 的矢端始终在一直线上(如 E x = 0, E y ≠ 0 ,或 E x ≠ 0, E y = 0 ),则称之为线偏 振波——完全偏振波. (2) 在面对传播方向看,若 E 的矢端作逆时针旋转,称之为右旋的圆偏振波(当 ;若 E 的矢端作顺时针旋转,称为左旋的 ,或右旋的椭圆偏振波(当 E x ≠ E y ) Ex = E y ) 圆偏振波或椭圆偏振波. 平面波的能量和能流 各向同性线性均匀的绝缘介质内,能量密度为

w=

由于 B = E / v =

1 2 1 2 εE + B 2 2μ

(4.30)

με E ,故波的电能=磁能(无损耗的理想情形).能量密度瞬时值为

w = εE 2 = εE 02 cos 2 (k x ωt )

(4.31)

能流密度瞬时值为

5

S = E×H =

1

μ

E × B = ε/μ E 2 e k = vwe k

(4.32)

e k 为传

播方向的单位矢量,上式表示,各向同性线性均匀的绝缘介质内,单色波的能量以相

速度 v 沿传播方向转移. w 和 S 在每个周期 T 内的平均值为

w=

1 T

T 0

∫

T

0

wdt =

1 1 Re( E εE ) = εE 02 2 2

(4.33)

S=

1 T

∫

Sdt =

1 1 Re( E × H ) = 2 2

ε 2 E0 ek μ

(4.34)

在上述各式中,将 μ 和 ε 改为 μ 0 和 ε 0 ,即得真空中电磁波能量密度和能流密度的瞬时值,或 平均值. 在介质内,由于相速度 v 与频率 ω 有关,故不同频率的单色波有不同的能量传播速度 ——色散,这将导致多频率成份的波变形. 当介质中的波含有众多频率成份时(例如脉冲波和已调制波),由于能量密度与波的振幅 平方成正比,故整个波包的传播速度,才是波的能量传播速度,又称为群速度

vg =

dω dk

(4.35)

由于介质折射率 n 是频率 ω 的函数,而相速度 v p = c/n , ω = kv p = kc/n ,故群速度与相速 度的关系为

vg =

正常色散介质 dn/dω

dvp c dω = vp + k = dk n + ω (dn/dω ) dk

(4.36)

> 0 ,故 vg v p ,自由空间中

vg = v p = c .

4.3 导体内的电磁波

线性均匀导体内的自由电荷分布 线性均匀导体内,当频率 ω 不是太高时,传导电流遵从欧姆定律 J f = σE , D = εE , 由场方程和电流连续性方程

D = ρf , Jf +

ρ f =0 t

6

得

ρ f σ = J f = ρ f t ε

其解为

ρ f ( x, t ) = ρ f ( x ,0)e

t

σ ε

ρ f ( x,0) 是 x 处 t = 0 时刻的子由电荷密度.可知,在线性均匀导体内,若起初时刻某处有自

由电荷积累,其密度将按指数规律衰减, 衰减特征时间常数为

τ = ε /σ

(4.37)

σ 越高衰减越快.例如铜, σ ≈ 5.8 × 10 7 / Ω m , ε ≈ ε 0 = 8.85 × 10 12 F / m , τ ~ 10 19 s .

对于一般金属, τ = ε / σ ~ 10 17 s .当波的频率

即满足

ω > 1 εω

ρf = 0

(4.38)

可认为导体内部

自由电荷只能分布于导体表面,以电荷面密度 σ f 描述. 线性均匀导体内的亥姆霍兹方程 线性均匀导体内的场方程为

D = 0,

× E =

B = 0 , × H = Jf +

对时谐波

D D = σE + t t

B t

E ( x , t ) = E ( x ) e iω t ,

有

B ( x , t ) = B ( x ) e i ωt

E ( x) = 0 , H ( x) = 0 ,

× E ( x ) = iωμH ( x )

(4.39)

× H ( x ) = iωεE ( x ) + σE ( x ) = iωε ′E ( x )

因此线性均匀导体内的时谐波,也遵从亥姆霍兹方程

2 E ( x) + k 2 E ( x) = 0

及横场条件 但

(4.40) (4.41)

E ( x) = 0

7

k = ω με ′ , ε ′ = ε + iσ / ω

(4.42)

ε ′ 是导体的复数电容率.由于 k 为复数,因此导体内波矢量为复矢量

k = β + iα

(4.43)

故得导体内平面波的电磁场为

E = E 0 e i ( κ x- ωt ) = E 0 e -α x e i ( β x- ωt )

B=

1

ω

k×E =

1

ω

( β + iα ) × E

(4.44)

E 0 是波在导体表面的振幅.波的相位为

φ = β x ωt

与矢量 β 正交的平面是波在导体内

的等相面,波在导体内的相速度为

(4.45)

v=

ω β

(4.46)

β 称为相位常数.因子

E 0 e -α x

表明随着穿入深度增加,波在导体内的振幅呈指数衰减, 与矢量 α 正交的平面是波在导体 内的等振幅面, α 称为衰减常数. 波在导体内衰减,是由于传导电流的热效应引起能量损耗所致. 平均损耗功率密度为

p=

1 T

∫

T

0

J f Edt =

σ

1 Re( E E ) = σE 02 e 2α x 2 2

(4.47)

在非垂直入射情形,矢量 β 与 α 的方向不一致.由

k = ω με ′ , ε ′ = ε + iσ / ω

k = β + iα

两边均平方,得

β 2 α 2 = ω 2 με ,

知道矢量 β 与 α 的夹角 θ ,便可解出 β 与 α . 导体内的电磁波

α β = ωμσ

1 2

(4.48)

当电磁波垂直入射于导体时, β 与 α 均指向导体内部的法向 e n ,即导体内的波矢量为

8

k = ( β + iα ) e n

由(4.48)可解出

(4.49)

β = ω με [ ( 1 + α = ω με [ ( 1 +

于是透入导体内的电磁场为

1 2

1 σ2 + 1)] 2 2 2 ω ε 1 σ2 1)] 2 2 2 ω ε

1 2

(4.50)

E = E 0 e α z e i ( β z ωt ) , B =

波在导体内的相速度

1

ω

( β + iα ) e n × E

(4.51)

v =ω/β

波在导体内的穿透深度

(绝缘介质中 v = ω / k = 1/

με )

(4.52)

z =δ =

对于良导体,即满足条件

1

α

(4.53)

σ >> 1 ωε

时, (4.50)给出

(4.54)

α ≈β ≈

因此,良导体内的磁场

ωμσ

2

(4.55)

α μσ i 4 B ≈ (1 + i)e n × E = e en × E ω ω

H≈

这表明,良导体内 (1) B 的相位比 E 滞后 π/4 , (2)且

π

σ i4 e en × E ωμ

π

(4.56)

μ H >> ε E ,故良导体(金属)内部电磁波的能量主要是磁场能.这是因为,电

场通过直接对自由电荷作功而失去了能量.电磁波在良导体内的穿透深度为

δ=

1

α

≈

2

ωμσ

(4.57)

9

电导率 σ 和波的频率 ω 越高, δ 越小,这现象称为导体的高频趋肤效应.

4.4 电磁波在界面的反射和折射

经典光学和电动力学——电磁波的反射和折射现象 (1)决定于界面两边介质的电磁性质和边值关系:

e n × ( E 2 E1 ) = 0 ,

en × (H 2 H1 ) = α f

(4.58)

(2)假定反射波和折射波的频率,与入射波的频率相同(忽略了介质内原子或分子对电 磁波散射,或吸收,再发射等复杂的量子过程). 事实上,电磁波(光)与介质的互作用是量子过程,与介质的分子结构,电磁波的强度, 频率,以及温度都有关.Compton 散射(P239,26 题)表明,散射波频率比入射波频率低. 反射定律和折射定律 设界面为 z = 0 的平面,以 θ , θ ′ , θ ′′ 分别表示入射角,反射角和折射角, 频率

ω = ω ′ = ω ′′

k ′′ = ω / v2 = ω μ 2ε 2

(4.59)

k = k ′ = ω / v1 = ω μ1ε 1 ,

入射波 反射波

E = E 0 e i ( k x -ωt ) ′ E ′ = E 0 e i ( k ′ x -ωt ) ′ E ′′ = E 0′e i ( k ′′ x -ωt )

折(透)射波

在 z = 0 的界面,由边值关系 e n × ( E 2 E1 ) = 0 ,有

′ ′ e z × ( E 0 e ik x + E 0 e ik ′ x )

= e z × E 0′e ik ′′ x

在整个 z = 0 的平面上,上式均成立,必须有

k x = k ′ x = k ′′ x

若入射面 xz 平面, 则 k y = k ′ = k ′′ = 0 .由(4.60)有 y y

( z = 0)

(4.60)

′ ′ k x x = k x x = k x′x

即 将(4.59)式代入上式,得 反射定律

′ ′ , k x = k x = k x′

(4.61)

ksinθ = k ′sinθ ′ = k ′′sinθ ′′

θ′ =θ

(4.62)

10

折射定律

v sin θ = 1 = sin θ ′′ v 2

μ 2ε 2 μ 1ε 1

=

n2 = n 21 n1

(4.63)

n21 是介质 2 对于介质 1 的相对折射率.

菲涅尔公式 入射波的电场 E,一般地可分解为垂直于入射面的偏振 E ⊥ ,和平行于入射面的偏振 E // . 若界面两边均为非铁磁性( μ1 ≈

μ 2 ≈ μ 0 )的均匀绝缘介质,由边值关系

E1t = E 2t , H 1t = H 2t

(4.64)

当 E 垂直于入射面偏振时,有

′ ′′ E⊥ + E⊥ = E⊥ ,

将

H cosθ H ′ cosθ = H ′′ cosθ ′′

H = B / μ 0 = ε 1 / μ 0 E⊥ ,

′ H ′ = B′ / μ 0 = ε 1 / μ 0 E⊥

′′ H ′′ = B ′′ / μ 0 = ε 2 / μ 0 E ⊥

代入上式,可解出

′ E⊥ =

sin(θ θ ′′) E⊥ , sin(θ + θ ′′)

′′ E⊥ =

2cosθsinθ ′′ E⊥ sin(θ + θ ′′)

(4.65)

当 E 平行于入射面偏振时,有

′ ′ E // cos θ E // cos θ = E //′ cos θ ′′ ,

可解出

H + H ′ = H ′′

′ E // =

上述两式表明:

tan(θ - θ ′′) E // , tan(θ + θ ′′)

′ E //′ =

2cosθsinθ ′′ E // sin(θ + θ ′′)cos(θ θ ′′)

(4.66)

(1) E ⊥ 与 E // 在界面上有不同的反射和折射行为.

′ ′ ′′ ′ (2) 若入射波是圆偏振波(如自然光)时,由于 E ⊥ ≠ E // , E ⊥ ≠ E //′ ,反射波 E ′ 和折

射波 E ′′ 将变成椭圆偏振波.

′ ′ (3) 当 θ + θ ′′ = π/2 时,由(4.65)和(4.65) 有 E // = 0 , E ⊥ = sin(θ θ ′′) E ⊥ ,即反射波 ′ 变为只有 E ⊥ 分量的线偏振波,此时的入射角 θ = θ B 称为布儒斯特(Brewster)角或起偏角.由

11

折射定律

n sin θ = 2 = n21 , 可知 sin θ ′′ n1

tan θ B = n 2 /n1

(4) 若 ε 2 > ε 1 ,即 n2 > n1 ,由折射定律可知,此时 θ > θ ′′ ,由(4.65)

′ E⊥ =

sin(θ θ ′′) E⊥ sin(θ + θ ′′)

为负值

′ ′′ 即反射波 E ⊥ 与入射波 E ⊥ 相位相反——"半波损失".但 E ⊥ / E ⊥ 总是正的,即折射波无相

位突变. 反射系数和透射系数 反射系数 R 定义为反射波与入射波平均法向能流之比,透射系数 T 定义为折射波与入 射波平均法向能流之比:

R=

S ′ en S en

=

′ E0 2 E 02

, T=

S ′′ e n S en

′ n 2 cos θ ′′ E 0′ 2 = n1 cos θ E 02

(4.67)

无损耗情形下 T = 1 R . 全反射 当 n 21 θ c (临界角,即 θ ′′ = π/2 时的 入射角, sin θ c = n21 ),从折射定律

v sin θ = 1 = sin θ ′′ v 2

μ 2ε 2 μ 1ε 1

=

n2 = n 21 n1

可知,此时 sin θ > n 21 , sin θ ′′ > 1 ,将

发生全反射,透入第二介质的波是沿界面切向传播的表 面波,透入波沿法向的平均能流为零. 利用全反射的例子:光纤传播(课外阅读与讨论). 良导体表面的反射 当电磁波垂直入射到良导体时,设界面是 z = 0 的平面.由边值关系

E + E ′ = E ′′ ,

真空中

H H ′ = H ′′

H = ε 0 / μ0 E ,

H ′ = ε 0 / μ0 E′

非磁性良导体内 解出

H ′′ =

σ (1 + i ) E ′′ 2ωμ 0

12

(1 2ωε 0 / σ ) + i E′ = E (1 + 2ωε 0 / σ ) + i

反射系数为

R=

2ωε 0 E ′ E ′ E ′ = ≈ 1 2 E σ EE

(4.67)

导体电导率 σ 越高, R 越接近于 1,绝大部分能量被反射出导体外. 对于微波和无线电波,大多数金属反射系数 R → 1 ,电磁波和电流仅存在于其表面的薄 层中,内部场强为零,此时金属可视为理想导体.因此在理想导体表面,边值关系变为

en × E = 0 ,

n × H = αf

(4.68)

E 和 H 是导体表面的场强.当 E 和 H 已求出,由第二式可求出导体表面的电流密度 α f .

4.5 谐振腔和波导

在以理想导体为边界面的谐振腔和波导内,电场是亥姆霍兹方程

2 E ( x) + k 2 E ( x) = 0

满足

E =0

和边界条件 的解.磁场由下式给出:

en × E = 0

B = μH =

矩形谐振腔

i

ω

× E

(4.69)

边长分别为 l1 , l 2 , l 3 ,以金属为边界面的矩形谐振腔内,电场为

E x = A1 cosk x xsink y ysink z ze iωt E y = A2 sink x xcosk y ysink z ze iωt E z = A3 sink x xsink y ycosk z ze iωt

k x = mπ/l1 , k y = nπ/l 2 , k z = pπ/l3 , m, n, p = 0,1,2L

k x A1 + k y A2 + k z A3 = 0

(4.70) (4.71) (4.72)

从(4.72)式可知, E 三个分量的振幅 A1 , A2 , A3 中,只有两个是独立的,即对每一组 m, n, p

13

值,有两种独立的波模.本征频率为

ω mnp =

π

με

(m/l1 ) 2 + (n/l 2 ) 2 + ( p/l3 ) 2

(4.73)

当 l1 > l 2 > l 3 ,最低频率的波模为 1,1,0 模. 矩形波导 在截面边长为 a 和 b ,以金属为管壁的矩形波导内,沿 z 方向传播的波为

E x = A1cosk x xsink y ye i ( k z z ωt ) E y = A2 sink x xcosk y ye i ( k z z ωt ) E z = A3 sink x xsink y ye i ( k z z ωt )

k x = mπ/a , k y = nπ/b , m, n = 0,1,2 L

A1 k x + A2 k y iA3 k z = 0

可见,对每一组 m, n 值,波导内有两种独立波模. (1)由(4.74)式和(4.69)式可推知,在波导内只能传播横电波(TE 波)或横磁波(TM 波), 不能传播 TEM 波; (2)因 k z =

2 (ω/c) 2 (k x2 + k y ) 必须为实数,故最低频率(截止频率)为

(4.74) (4.75) (4.76)

ω c ,mn = πc (m/a) 2 + (n/b) 2

(3)由 k

(4.78)

= ω/c = 2π/λ0 , λ 0 是频率为 ω 的波在自由空间中的波长,而 k z

内的波长 λ ,相速度 v p 和群速度 v g 为

λ=

dω 2π ω > λ0 , vp = > c , vg =

(4.79)

4.6 高斯光束 (课外阅读与讨论) 4.7 等离子体中的电磁波

等离子体是整体上为电中性或准电中性的电离物质.因电子质量远小于正离子质量,在 热平衡状态下,电子在等离子

体内部电磁场作用下的振荡远比正离子振荡激烈.稀薄等离子 体固有振荡频率为

ω p = n0 e 2 /mε 0

(4.78)

14

n0 为电子密度, m 为电子质量.当频率为 ω 的外来电磁波作用于等离子体,且电子速度远小

于光速时,可略去磁场对电子的作用,由运动方程

m&& = -eE = -eE 0 e i ( k x ωt ) r

可解出电子速度

(4.79)

& v=r=

等离子体的电流密度和电导率分别为

ie E 0 e i ( k x ωt ) mω

(4.80)

J( ω ) = -n0 ev =

in0 e 2 E, mω

σ (ω ) =

in 0 e 2 mω

(4.81)

其中已假定欧姆定律 J = σE 在等离子体内成立. σ 为纯虚数表明电流与作用电场 E 有 π/2 的相位差.稀薄等离子体内 ε ≈ ε 0 ,由(4.42),有

ε ′ = ε 0 + i σ/ ω = ε 0 n 0 e 2 / m ω 2

k = ω μ 0ε ′ =

(4.82)

2 ωp

ω

c

1

ω p2 ω2

,

n = 1

ω2

(4.83)

当 ω > ω p ,折射率 n θ c (临界角),将发生全 反射.当 ω

4.8 光子晶体(讲座) 4.9 光学空间孤子(讲座)

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