江苏省南京师范大学[数学之友]2016年高考数学模拟试题(1-2)(PDF)

2016高考数学模拟题(1)

南师大《数学之友》

一. 填空题

1. 在边长为6的正三角形ABC 中，=

11

；=. AD 与BE 相交于点P ，

32

⋅的值为

2. 设函数f (x ) 的定义域为R ，且为奇函数，当x >0时，f (x ) =−x +2x . 若f (x ) 在区

2

，a −2]上是单调递增函数，则a 的取值范围是 间[−1

3. 已知曲线y =

x

x ∈R ，e 是自然对数的底数）在x =−1处的切线和它在x =x 0（x 0≠0) e ⎛m m +1⎞

, ⎟，m 是整数，则m =． 44⎝⎠

处的切线互相垂直，设x 0∈⎜

4. 在ΔABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b =2，且

cos 2B +cos B +cos(A −C ) =1，当a +2c 取得最小值时，最大边所对角的余弦值是

________．

5. 设集合A ={(x , y ) |x +y +2x −1=0}，B ={(x , y ) |(x +t ) ≥y }. 若A ⊆B , 则实数

2

2

2

2

t 的取值范围为.

6.已知函数f (x ) =a

2x

+ma x −n (a >0且a ≠1）,若存在实数x 使得f (x ) +f (−x ) =−2,

则m 2+4n 2的最小值为_.

二、解答题

7. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆

x 2y 2⎛12⎞

E :2+2=1(a >b

>0) 的离心率为，点A ⎜, ⎟a b 2⎝33⎠

在椭圆E 上，射线AO 与椭圆E 的另一交点为B ，点

P (−4t , t ) 在椭圆E 内部，射线AP , BP 与椭圆E 的另一交

点分别为C

, D .

（1）求椭圆E 的方程；（2）求证：CD ∥AB .

8. 如图，某城市有一个五边形的地下污水管通道ABCDE ，四边形BCDE 是矩形，其中CD =8km , BC =3km ；△ABE 是以BE 为底边的等腰三角形，AB =5km .现欲在BE 的中间点P 处建地下污水处理中心，为此要过点P 建一个“直线型”的地下水通道MN 接通主管道，其中接口处M 点在矩形BCDE 的边BC 或CD 上.

(1) 若点M 在边BC 上，设∠BPM =θ，用θ表示BM 和NE 的长； (2) 点M 设置在哪些地方，能使点M , N

平分主通道ABCDE 的周长？请说明理由.

（p 为常数，n =1, 2, 3...) . 9．数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a 1=1，2a n +1=2a n +p

（1）若数列{a n }是等比数列，求实数p 的值；

⎧1⎫

（2）是否存在实数p ，使得数列⎨⎬满足：可以从中取出无限多项并按原来的先后次

⎩a n ⎭

序排成一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的值；若不存在，请说明理由.

10. 设f (x ) =ln x −x −k , x ∈(0, +∞) . （1）若f [f (1)]

（2）设函数g (x ) =f (x ) −kx 的单调递增区间为D ，对任意给定的k >0，均有

2

D ⊆(0, a ](a 为与k 无关的常数），求证：a 的最小值为1.

（0，e ）（3）求证：f (x ) 在区间上有两个零点的充要条件为k ∈(1−e , −1).

理科加试

11. 某班从6名志愿者中(其中男生4人，女生2人) ，选出3人参加学校的义务劳动. （1）设所选3人中女生人数ξ，求ξ的分布列及数学期望； （2）求男生甲或女生乙被选中的概率；

（3）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率.

12. 设整数n ≥3，集合P ={1, 2, 3, L , n }，A ，B 是P 的两个非空子集.记a n 为所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(A , B ) 的个数. （1）求a 3； （2）求a n .

参考答案

一、填空题

1. 答案：

27

. 4

解：根据题意D 为BC 的中点，E 为AC 的三分之一点，以BC 所在的直线为x 轴，以线段BC 的中垂线为y 轴建立图示的直角坐标系，则33333

所以=(−3, −. =(0, −. 22227. 所以PB ⋅PD =4

B (−3, 0) ，P (0,

2. 答案：1

解：因为f (x ) 为R 上的奇函数，所以f (x

) 的图形关于原点成中心对称，图形如图.

由图像可知函数f (x ) 在区间[−1,1]上为单调递增函数，所以

⎧a −2>−1

，解得1

⎩a −2≤1

3. 答案： 2.

解：当x

x −11

，且，及即：f ' (−1) =−2e f (x ) ⋅(−2e ) =−1() f x =>0，00

2e e x

1−x 01−x 01-x

=−2e ) =−1，即' () f x 所以，即000

e e e

可以得到x 0>0. 当x >0时，f ' (x ) =

+∞)上单调递增，e x 0+2ex 0−2e =0，设g (x ) =e x +2ex −2e (x >0) ，显然g (x ) 在(0，

33e 3e ⎛23⎞1

，g () =e −=e −>0，所以x 0∈⎜, ⎟，所以m =2. g () =−e

24216⎝44⎠

4. 答案：−

4

2

. 4

解：根据题意，−cos(A +C ) +cos(A −C ) =1−cos 2B ，化简得：sin A sin C =sin 2B ，即b 2=ac =4. 因为a +2c ≥22ac =42，当且仅当a =22，c =

2时取等号. 又

b =2，所以角A 最大，从而cos A =

4+2−82

=−.

4 2⋅2⋅2

5. 答案：t ≥3或t ≤−1.

（0, 0）∈B ，∴集合B 表示两条直线解：集合A 表示圆(x +1) +y =2上的点，又Q

22

y =±(x +t ) 所组成的含有原点的对顶区域，中心为(−t , 0) .因为A ⊆B , 所以圆心到直线的

距离d ≥r , 即 6. 答案：

|t -1|

≥2, 因此t ≥3或t ≤−1. 2

16. 5

解：根据题意得：a 2x +ma x −n +a −2x +ma −x −n =-2，则

2

（a x +a −x ）+m (a x +a −x ) −2n =0，令t =a x +a −x ≥2，当且仅当x =0时，取“=”，

（m , 2n ) 在直线tx −y +t 2=0上，m 2+4n 2可以看成是点（m , 2n ) 到t 2+mt −2n =0，即点

4

t （m +4n ）原点的距离的平方，所以（=2是增函数，当t =2时，min =2t +1+t

2

2

2

t 2

m 2+4n 2取得最小值

16

. 5

二、解答题

⎛1⎞⎛2⎞

⎜⎟

⎜⎟3⎠⎝3⎠⎝1, =7. 解：（1）易得2+=, 2a b 2

解得a 2=1，b 2=

2

2

1， 2

2

2

所以，椭圆E 的方程为：x +2y =1. （2）Q A (,

1212

，∴B (−, −. 3333

r uuu r uuu r uuu r uuu

设C (x 1, y 1) ，D (x 2, y 2) ，AP =λ1P C ，BP =λ2PD ，其中λ1，λ2∈， （0,1）

1⎧

(1)(4) t λ+−−1⎪⎪x 1=

λ1⎪

代入椭圆方程并整理得，（λ1+1）⋅18t 2=λ1−1, 则⎨2⎪(λ+1) t −

⎪y =11⎪λ1⎩

同理得,（λ2+1）⋅18t 2=λ2−1，相减得（λ1-λ2）⋅(18t 2−1) =0. Q 18t 2

8. 解：（1）当点M 在边BC 上，设∠BPM =θ(0≤tan θ≤在Rt △BPM 中，BM =BP ⋅tan θ=4tan θ. 在△PEN 中,不妨设∠PEN =α,其中sin α=

3

， 4

PE NE 34

=， , cos α=，则

55sin(π−θ−α) sin θ

即NE =

4sin θ20sin θ20tan θ

==；

sin(θ+α) 4sin θ+3cos θ4tan θ+3

10tan θ

=1；即8tan 2θ−8tan θ−3=0, 解得tan θ=2±.

44tan θ+3

（2）当点M 在边BC 上，由BM +AB +AN =MC +CD +DE +EN , BM −NE =2; 即2tan θ−

Q tan θ=

32−2+3

与0≤tan θ≤矛盾，点只能设在CD 上. 4444

当点M 在边CD 上，设CD 中点为Q ,由轴对称不妨设M 在CQ 上，此时点N 在线段AE

4

) ，在Rt △MPQ 中，MQ =PQ ⋅tan θ=3tan θ； 3

43

在△PAN 中，不妨设∠PAE =β，其中sin β=, cos β=;

55

上；设∠ MPQ =θ(0≤tan θ≤则

PA AN 3sin θ15sin θ15tan θ

===，即AN

=；

sin(π−θ−β) sin θsin(θ+β) 3sin θ+4cos θ3tan θ+4

由MC +CB +BA +AN =MQ +QD +DE +EN ,得

AN =MQ ，即3tan θ=

15tan θ

；解得tan θ=0或

3tan θ+4

tan θ=

1； 3

1

=3时，符合题意. 3

故当CM =4，或者CM =4−3×

答：当点M 位于CD 中点Q 处，或点M 到点C 的距离为3km 时，才能使点M , N 平分地下水总通道ABCDE 的周长.

2

9. （1）若数列{a n }是等比数列，则a 2=a 1a 3.

因为a 1=1，2a n +1=2a n +p ，所以2a 2=2a 1+p =2+p ，2a 3=2a 2+p =2+2p . 所以,（1+

p 2

=1×(1+p ) ，p =0. 2

⎧1⎫

（2）当p =0时，由（1）及a 1=1，所以1=1（n =1, 2, 3...) ，即数列⎨⎬是一个无穷

a n ⎩a n ⎭

等差数列.所以当p =0，满足题意.

当p ≠0时，因为a 1=1，2a n +1=2a n +p ，即a n +1−a n =

p

2.

下面用反证法证明，当p ≠0，从数列⎨个等差数列.

⎧1⎫

不能取出无限多项并按原来的先后次序排成一⎩a n ⎭

⎧1⎫

p ≠0假设存在0，从数列⎬可以取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列.

⎩a n ⎭

不妨记为{b n }，设数列{b n }的公差为d . （1）当p 0>0时，a n >0(n =1, 2, 3...)

，

所以，数列{b n }是各项为正数的递减数列，所以d 1−

，

b 1b

,即n −1>−1，即（n −1) d

d d

b n >0矛盾.

（2）当p 0

p 0p 2

， n +1−01−p 022

当n >1−

2

时，a n

所以，数列{b n }是各项为负数的递增数列，所以,d >0. 因为b n =b 1+(n −1) d (n =1, 2, 3...) ，b n =b 1+(n −1) d >b 1+(1−盾.

b 1

−1) d =0，与b n

综上所述，p =0是唯一满足条件的p 的值.

10. （1）f [f (1)]

e +1

, −1). e

−1++81

−1−2kx >0得2kx 2+x −10, 得0

4k x

−1+8−1++8. 若0a ，得

4k 4k

（2）g ' (x ) =

所以g (x ) 的单调递增区间为（0k

1−a 1−a

这说明当给定的时，D ⊆（0, a ]不成立. k

−1++8≤1⇔+8k ≤4k +1⇔k 2≥0，

4k

11−x −1=, 所以f (x ) 在(0, 1) 上单调递x x

所以a ≥1，又a =1时，D ⊆(0, a ]⇔

这显然正确，所以a =1满足条件，故a 的最小值为1. （3）设f (x ) =ln x −x −k , x ∈(0, e ), 则f ' (x ) =

增，在(1, e ) 上单调递减，f (1) =−1−k , f (e ) =1−e −k ,因此f (x ) 在区间(0, e ) 上有两个

零点的必要条件为⎨

⎧f(1)>0

，即1−e

⎩f(e)

⎧f(1)>0k k k 当⎨，即1−e

递增，得在区间f (x ) 在(0, 1) 上存在唯一零点，而⎨

⎧f(1)>0

，及f (x ) 在(1, e ) 上单调递减，

⎩f(e)

得f (x ) 在区间(1, e ) 上存在唯一零点，故f (x ) 在区间(0, e ) 上有两个零点的充要条件为

1−e

故所求的k 的取值范围为(1−e , −1) .

理科加试

11. 解：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2，依题意得：

C C 3C C 1C 1

P (ξ=0)= 5P (ξ=1)= 5P (ξ=2)= 5 C 6 C 6 C 6

∴ ξ的分布列为

311

∴ E ξ=0×555.

3

31

12

C 1

（2）设“男生甲、女生乙都不被选中”为事件C ，则P (C )= 5 C 6

—4

∴所求概率为P (C )=1-P (C )= 5 （3）设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，则 C 1C 1

P (A )= 2P (AB )= 5 C 6 C 6

P (AB ) 2

∴在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为P (B |A )= P (A ) 5

12. 解：（1）当n =3时，P ={1, 2, 3}，其非空子集为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，

2

1

3

{2，3}，{1，2，3}，则所有满足题意的集合对(A , B ) 为({1},{2})，({1},{3})，({2},{3})，({1},{2，3})，({1，2},{3})共5对，所以a 3=5.

（2）设A 中的最大数为k ，其中1≤k ≤n −1，整数n ≥3，则A 中必含元素k ，另元素

1k −1k −1

，B 中必不含元素1, 2, L , k −1可在A 中，故A 的个数为：C k 0−1+C k −1+L +C k −1=2

1, 2, L , k ，另元素k +1, k +2, L , n 可在B 中，但不能都不在B 中，故B 的个数为：

12n −k n −k

C n −1, −k +C n −k +L +C n −k −=2

从而集合对(A , B ) 的个数为2所以，a n =

k −1

⋅(2n −k −1) =2n −1−2k −1，

n −1

∑(2

k =1

n −1

n −1

−2

k −1

) =(n −1) ⋅2

1−2n −1

−=(n −2) ⋅2n −1+1. 1−2

2016高考数学模拟题(2)

南师大《数学之友》

一. 填空题

1.直线l ：x +y =t 与圆O ：x +y =20交于点A ，B ，且ΔOAB 的面积S ΔOAB 为整数，则所有满足条件的正整数t 的和为 ▲ .

2. 若θ∈(0,

3. 设正三棱锥A −BCD 的底面边长和侧棱长均为4，点E , F , G , H 分别为棱AB , BC , CD , BD 的中点，则三棱锥E −FGH 的体积为 ▲ .

4.平面内四点O , A , B , C 满足OA =4, OB =2, OC =面积的最大值为 ▲ .

2

2

π

4

，且sin 2θ=

1π

，则sin(θ−的值为 ▲ .

44

5, ⋅=0,则ΔABC

⎧|2x −1|,x

, 若关于x 的函数y =2f 2(x ) +2bf (x ) +1有6个不同的5.已知函数f (x ) =⎨

⎩2−x , x ≥1

零点，则实数b 的取值范围是.

6.正数数列{a n }的前n 项和为S n ，a n =2S n −1，设c 为实数，对任意的三个成等差数列 的不等的正整数m , k , n ，不等式S m +S n >cS k 恒成立，则实数c

二、解答题

7.如图，某水域两条直线型岸边l 1和l 2成定角120°，该水域中位于该角平分线上且与顶点A 相距1km 的D 处有一固定桩.现某渔民准备经过该桩安装一直线型的隔离网BC （B , C 分别在l 1和l 2上）围出三角形ABC 的养殖区，且AB 的长不超过5km ，由于条件的限制

3

AC =a km ，a ∈[, 3]，设AB

=x km ，问该渔民至少

2

可以围出多少平方公里的养殖区？

8. 已知直线

l :y =x +1，圆O :x 2+y 2=

3

, 直线l 被圆截得的弦长与椭圆2

x 2y 2. C :2+2=1(a >b

>0) 的短轴长相等，椭圆的离心率e =

a b 2

（1）求椭圆C 的方程；

−) 的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点,试问：在坐标平面上是否存在一个（2）过点M (0，

定点T ,使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.

9. 设f (x ) =ax +b −x ln x (a >0) ，g (x ) =

1

3

2x

，若直线y =e −x 是曲线C：y =f (x ) 的1+x 2

一条切线（其中e 是自然对数的底数）且f (1) =1. （1）求a , b 的值；

（2）设0g (n ) .

10.定义：从一个数列{a n }中抽取若干项（不少于三项）按其在{a n }中的次序排列的一列数叫做{a n }的子数列.成等差（等比）的子数列叫做{a n }的等差（等比）子列.

（1）记数列{a n }的前n 项的和为S n ，已知S n =n ，求证：数列{a 3n }是数列{a n }的等差子列；

（2）设等差数列{a n }的各项均为整数，公差d ≠0，a 5=6.若数列a 3, a 5, a n 1是数列{a n }的等比子列，求n 1的值；

（3）设数列{a n }是各项均为实数的等比数列，且公比q ≠1.若数列{a n }存在无穷多项的等差子列，求公比q 所有的值.

2

理科加试

11. 某篮球运动员每次在罚球线投篮投进的概率是0.8，且各次投篮的结果互不影响. （1）假设这名运动员投篮3次，求恰有2次投进的概率；

（2）假设这名运动员投篮3次，每次投进得1分，未投进得0分；在3次投篮中，若有2次连续投进，而另外一次未投进，则额外加1分；若3次全投进，则额外加3分，记ξ为该篮球运动员投篮3次后的总分数，求ξ的分布列及数学期望E (ξ) .

12. 设M ={−1, 0, 1}，集合A n ={(x 1, x 2, L , x n ) x i ∈M , i =1, 2, 3, L , n }，集合A n 中满足条

n

件“1≤x 1+x 2+L +x n ≤m ”(m ∈N )的元素的个数记为S m .

*

（1）求S 2，S 2的值；

n （2）当m

24

参考答案

一. 填空题

1.答案：8.

t t 21t 2t t

解：d =，AB =220−，所以S ΔOAB =×220−×当t =2=40−t 2，

22222

或t =6时，S ΔOAB 为整数，故所有满足条件的正整数t 的和为8.

2.答案：−

6

. 4

解：因为θ∈(0,

π

4

) ，所以sin θ

，故sin(θ−=. (sinθ−cos θ) =−

4224

13

=，所44

以sin θ−cos θ=− 3.答案:

22

. 3

18

113622

. ××(×42) ×(×4) =

83433

解：V E −FGH =V A −BCD =

4.答案：15.

解：以, 为正交基底建立平面直角坐标系（, 的方向为x , y 轴的正方向），则BC =5，直线BC 的方程为x +2y −2=0，点A 在圆x +y =16上，设

2

2

A (4cos α, 4sin α) ，则A 到直线BC 的距离为

d =

4cos α+8sin α−23

, −2) .

2

≤

−42+82−25

=6，所以S ΔABC =

1

BC ⋅d ≤15. 2

5.答案：(−

解：由函数f (x ) 的图像可得，

使得函数y =2f (x ) +2bf (x ) +1有6个不同的零点，

2

b ⎧0

必须保证方程g (x ) =2x +2bx +1=0在(0, 1) 上有两个不同的根，⎨3+2b >0,

⎪4b 2−8>0⎪⎩

解得−

6.答案: (−∞, 2].

3

解：S n

（a n +1) 2（a n +1) 2（a n −1+1) 2=，当n ≥2时，a n =S n −S n −1=−即

444

（a n −1+1）所以a n −a n −1=2或a n =−a n −1（舍去），（a n −1) 2=（a n −1+1) 2 化简得a n −1=±S m +S n m 2+n 24(m 2+n 2)

令n =1，解得a 1=1.所以S n =n .根据题意c

S k k 2(m +n ) 2

2

4(m 2+n 2) 2(m −n ) 2S m +S n

−2=>0，所以>2，所以c ≤2. 22

(m +n ) (m +n ) S k

二、解答题

7. 解：根据题意S △ABD+S △ACD=S △ABC，

x 111

. x ⋅1⋅sin 60°+AC ⋅1⋅sin 60°=x ⋅AC ⋅sin 120°，解得：AC =

222x −1

x a

令0

x −1a −1a 5−4a a 又−5=

即

令△ABC 的面积为y ，

13x 231则y =x ⋅AC ⋅sin 120°=⋅=[(x −1) ++2].

24x −14x −1

c 当

a ≤2，即2≤a ≤3时，y ≥(2+2) =，当且仅当x =2时取" =" ; a −14

d 当

a a −1>2，即32≤a

, 4]. 再令f (t ) =

3(t +1+2) ，f ' 1

4t (t ) =4(1−t

2) . Q

1a −1>1, ∴f ' (t ) >0即f (t ) 在t ∈[1a −1

, 4]上为单调递增函数， 所以f t ) =f (13a 2min (a −1=4(a −1)

.

答：当2≤a ≤3时，养殖区面积的最小值为3平方公里，

当3

a 22

≤a

4(a −1) 平方公里.

2

2

8. 解：(1)由题设，可知b =⎛⎜3⎞⎜2⎟⎛1⎞

⎟−⎜⎟=1，

⎝⎠⎝2⎠

又e =

x 22

, a =, 所以椭圆C 的方程是2+y 2=1.

(2)法一：假设存在点T (u , v ) ，若直线l 的斜率存在，设其方程为y =kx −1

3

， 将它代入椭圆方程，并整理，得（18k

2

+9) x 2−12kx −16=0.

设点A , B 的坐标分别为A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，则x 1, 2

=

2k ±9k 2+4. 6k 2+3

因为TA uu r =(x uur ) 及y 111−u , y 1−v ), TB =(x 2−u , y 2−v 1=kx 1−3, y 2=kx 2−3

,

所以，⋅=(x 1−u )(x 2−u ) +(y 1−v )(y 2−v ) =(k 2

+1) x 1x 2−(u +

13k +kv )(x ) +u 2+v 2+2v 1

1+x 23+9

(6u 2 =+6v 2−6) k 2−4ku +(3u 2+3v 2+2v −5)

6k 2

+3

， 当且仅当TA →

⋅TB →

=0恒成立时，以AB 为直径的圆恒过定点T ,

⎧ 所以⎪

6u 2+6v 2−6=0, ⎨u =0,

解得u =0, v =1.

⎪⎩

3u 2+3v 2+2v −5=0.

此时，以AB 为直径的圆恒过定点T (0,1). 当直线l 的斜率不存在时，l 与y 轴重合， 以AB 为直径的圆为x 2+y 2=1，也过点T (0,1).

综上可知，在坐标平面上存在一个定点T (0,1)，满足条件. 法二：若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆是x 2+y 2=1.

若直线l 垂直于y 轴，则以AB 为直径的圆是x 2

+

（y +1

2

=16

39

. ⎧x 2+y 2=1

由⎪

⎨⎧x =0⎪21216解. ⎩

x +（y +3=得⎨9. ⎩y =1 由此可知所求点T 如果存在，只能是（0,1）.

事实上T (0,1)点就是所求点，证明如下： 当直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴重合时， 以AB 为直径的圆为x 2+y 2=1，过点T (0,1)； 当直线l 的斜率存在，设直线方程为y =kx −

1

3

，代入椭圆方程， 并整理得 （18k 2+9) x 2−12kx −16=0.

⎧

设点A , B 的坐标分别为A (x y ⎪⎪x 12k 1+x 2=⎨18k 2+9

, 1, 1), B (x 2, y 2) ，则

⎪⎪⎩

x −161x 2=18k 2+9.

→

Q TA =(x , y −1), TB →

=(x , y −1)及y 11122

1=kx 1−

3, y kx 1

2=2−3

, ∴TA →⋅TB →

=x

1x 2+(y 1−1)(y 2−1)

=(k 2+1)

x 41x 2−

()

3k (x x 16

1+2)+9

=−16k 2+118k 2+9−43k

⋅12k 18k 2+9+169=0 所以AB 为直径的圆恒过定点T (0,1).

即证明了T (0,1)点就是所求以AB 为直径的圆恒过的定点T (0,1).

9.解：（1）设切点坐标为（x 0, ax 0+b −x 0ln x 0) , 根据题意得，⎨

⎧a −ln x 0−1=−1

，

⎩e −x 0=ax 0+b −x 0ln x 0

所以，⎧⎨a =ln x 0

⎩

b =e −x .

0又f (1) =1=a +b =ln x 0+e −x 0 ，因为a >0，所以x 0>1. 令h (x ) =ln x −x +e −1(x >1) ，h ' (x ) =

1

x

−1，所以h (x ) 在

（1，+∞）为单调递减函数， 又h (e ) =0，所以x =e ，即x 0=e ，所以a =1, b =0. 即f (x ) =x −x ln x .

（2）因为f (x ) =x −x ln x （0

(x ) =1−ln x −1=−ln x >0，

所以f (x ) 在（0，1）上为单调递增函数；

因为0f (n ) ，又f (n ) =n −n ln n ，下面证明f (n ) >g (n ) .

要证上式成立，只要证n −n ln n >2n n 2-1n 2+1

，即证ln n -n 2+1

令r (n ）=ln n -n 2-1'

(n 2-n 2+1

0

=1) 2n (n 2+1) 2>0， 所以r (n ）在（0，1）为单调递增函数，所以r (n ）

n 2+1

10. 证明：（1）当n ≥2时，a n =S n −S n −1=2n −1，又a 1=S 1=1=2×1−1， 所以a n =2n −1.

故a 3n =2⋅3n −1=6n −1，当n ≥2时，a 3(n +1) −a 3n =6， 所以数列{a 3n }是数列{a n }的等差子列.

（2）根据题意，a 6

3=a 5−2d =6−2d ，公比q =6−2d

，

所以a 6

n 1=6⋅

6−2d

.

又a n 1=a 5+(n 1−5) d =6+(n 1−5) d ， 所以

366−2d =6+(n ) d ，即n 6

1−51=5+

3−d

. 因为d 为整数，n 1为正整数，

所以d =1, n 1=8或d =2, n 1=11或d =-3, n 1=6， 所以n 1=6, 8, 11.

（3）q 所有可能的取值为-1.

设数列{a n k }为{a n }的等差子列，公差为d ，则a n n k −1

k =a 1⋅q ，a n k +1−1

k +1=a 1⋅q

n ，

所以a n k −1

n k +1−a n k =a 1⋅q ⋅q n k +1−n k −1.

当q >1时，q n k +1−n k

−1≥q −1，所以d =a n k +1−a n k ≥a 1⋅q n k −1⋅(q −1) .

取n d k >1+log q

a ，所以a n k +1−a n k >d ，即d >d ，矛盾.

1⋅(q −1)

当q

1⋅q n k +1−n k −1≤a −11⋅q n k −1⋅(q n k +1−n k +1)

取n d

k >1+log q

2a ，所以a n k +1−a n k

所以q =1，又q ≠1，所以q =−1.

理科加试

11. 解：（1）设X 为该运动员在3次投篮中投进的次数，则X ~(3, 0. 8) . 在3次投篮中，

2

恰有2次投进的概率P (X =2) =C 3⋅0. 82⋅(1−0. 8) =0. 384;

（2）由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6.

1P (ξ=0) =0. 23=0. 008, P (ξ=1) =C 3⋅0. 8⋅(1−0. 8) 2=0. 096;

P (ξ=2) =0. 82⋅(1−0. 8) =0. 128; P (ξ=3) =0. 82⋅(1−0. 8) ⋅2=0. 256; P (ξ=3) =0. 83=0. 512.

所以ξ的分布列是

ξ

P

E (ξ) =0. 008×0+0. 096×1+0. 128×2+0. 256×3+0. 512×6=4. 192.

12. 解：（1）S 2=8，S 2=32.

（2）根据题意，x 1+x 2+L +x n 的取值可能是1, 2, 3, L , m −1, m .

若x 1+x 2+L +x n =k （1≤k ≤m ），只要x 1, x 2, L , x n 中有k 个取1或-1其余均取0

k 1k k

即可，共有C n ，所以 ⋅(C 2) =2k ⋅C n n 122 S m =C n 2+C n 2+L +C n m 2m

001122m m m +1

24

=(1+2) n −(2n +1−2m +1) =3n −2n +1+2m +1，

所以命题成立.