河北省石家庄市2016届高三第一次模拟考试 数学文

2016届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷

数学（文科）A 卷

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12个小题, 每小题5分, 共60分. 在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合A ={x |-2, -1, 2, 3}，B ={x |-1

A ．(-2, 3) B．(-1, 3) C．{2} D．{-1, 2, 3}

2. 若复数z =2i （i 是虚数单位），则z =( ) 1-i

A ．-1+i B．-1-i C．1+i D．1-i

x 2y 233. 已知双曲线2-=1(a >0) 的渐近线为y =±x ，则该双曲线的离心率为( ) a 94

A ．355 B． C． D． 4443

⎧x +1≥0⎪4. 设变量, y 满足约束条件⎨x +2y -2≥0，则目标函数z =3x +4y 的最小值为( )

⎪2x -y -2≤0⎩

A ．1 B．3 C．26 D．-19 5

11π) 的值为( ) 245. 函数f (x ) =A sin(ωx +ϕ)(A >0, ω>0) 的部分图像如右图所示，则f (

A ．-62 B．- C．- D．-

1 222

6. 已知函数y =f (x ) 的图象关于直线x =0对称，且当x ∈(0, +∞) 时，f (x ) =log 2x ，若a =f (-3) ，

1b =f () ，c =f (2) ，则a , b , c 的大小关系是( ) 4

A ．a >b >c B．b >a >c C．c >a >b D．a >c >b

7. 程序框图如图，当输入x 为2016时，输出的y 的值为( )

A ．1 B．1 C．2 D．4

8

8. 为比较甲乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月中的5天中11时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：

①甲地该月11时的平均气温低于乙地该月11时的平均气温

②甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温

③甲地该月11时的气温的标准差小于乙地该月11时的气温的标准差

④甲地该月11时的气温的标准差大于乙地该月11时的气温的标准差

其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为( )

A ．①③ B．①④ C．②③ D．②④

9. 如图所示的数阵中，用A (m , n ) 表示第m 行的第n 个数，则依此规律A (8, 2) 为( )

A ．1111 B． C． D． 4586122167

10. 某几何体的三视图如图所示，图中网格小正方形边长为1，则该几何体的体积是( )

A ．4 B．1620 C． D．12

33

11. 已知A , B , C 是圆O 上的不同的三点，线段CO 与线段AB 交于D ，若OC =λOA +μOB （λ∈R , μ∈R ），则λ+μ的取值范围是( )

A ．(0, 1) B．(1, +∞) C．(1, 2] D．(-1, 0)

12. 若函数f (x ) =x +ax +bx (a , b ∈R ) 的图象与x 轴相切于一点A (m , 0)(m ≠0) ，且f (x ) 的极32

1，则m 的值为( ) 2

2323A ．- B．- C． D． 3232大值为

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

213. 已知命题p ：“∃x 0∈R , |x 0|+x 0，则⌝p 为

x 2214. 已知椭圆2+y =1的左、右焦点为F 1、F 2，点F 1关于直线y =-x 的对称点P 仍在椭圆上，a

则∆PF 1F 2的周长为15. 已知∆ABC 中，AC =4, BC =27, ∠BAC =60, AD ⊥BC 于D ，则 BD 的值为 . CD

16. 在三棱锥P -ABC 中，PA =BC

=4，PB =AC =5，PC =

AB =，则三棱锥P -ABC 的外接球的表面积为 .

三、解答题 （本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）

18. （本小题满分12分）

在平面四边形ACBD （图①）中，∆ABC 与∆ABD 均为直角三角形且有公共斜边AB ，设AB =2，∠BAD =30 ，∠BAC =45 ，将∆ABC 沿AB 折起，构成如图②所示的三棱锥C ' -ABC . （Ⅰ）当C ' D =2时，求证：平面C ' AB ⊥平面DAB ；

（Ⅱ）当AC ' ⊥BD 时，求三棱锥C ' -ABD 的高.

C '

A B A B

① ②

19. （本小题满分12分）

某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员在篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图：

（Ⅰ）依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数；

（Ⅱ）若从该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离为2到5米的这三组中，用分层抽样的方法抽取7次成绩（单位：米，运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离越远越好），并从抽到的这7次成绩中随机抽取2次. 规定：这2次成绩均来自到篮筐中心的水平距离为4到5米的这一组，记1分，否则记0分. 求该运动员得1分的概率.

20. （本小题满分12分）

已知抛物线C ：y =2px (p >0) 过点M (m , 2) ，其焦点为F ，且|MF |=2.

（Ⅰ）求抛物线C 的方程；

（Ⅱ）设E 为y 轴上异于原点的任意一点，过点E 作不经过原点的两条直线分别与抛物线C 和圆F ：2(x -1) 2+y 2=1相切，切点分别为A , B ，求证：A 、B 、F 三点共线.

21. （本小题满分12分）

已知函数f (x ) =e -3x +3a （e 为自然对数的底数，a ∈R ）.

（Ⅰ）求f (x ) 的单调区间与极值； x

e x 313（Ⅱ）求证：当a >ln ，且x >0时，>x +-3a . x 2x e

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示，过点P 分别做圆O 的切线PA 、PB 和割线PCD ，弦BE 交CD 于F ，满足P 、B 、F 、A 四点共圆.

（Ⅰ）证明：AE //CD ；

（Ⅱ）若圆O 的半径为5，且PC =CF =FD =3，求四边形PBFA 的外接圆的半径

.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知曲线C 1：ρ=2cos θ和曲线C 2：ρcos θ=3，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系.

（Ⅰ）求曲线C 1和曲线C 2的直角坐标方程；

（Ⅱ）若点P 是曲线C 1上一动点，过点P 作线段OP 的垂线交曲线C 2于点Q ，求线段PQ 长度的最小值.

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f (x ) =|x |+|x -1|.

（Ⅰ）若f (x ) ≥|m -1|恒成立，求实数m 的最大值M ；

（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数a , b 满足a 2+b 2=M ，证明：a +b ≥2ab .

2016届高三数学一模文科答案

一．选择题：

A 卷答案：1-5 CBCBD 6-10 DACCB 11-12 BD

B 卷答案：1-5 CACAD 6-10 DBCCA 11-12 AD

二．填空题：

13.. ∀x ∈R , x +x ≥0 14. 2+22

15. 6 16. 26π

三、解答题

2

所以{a n }的通项公式为a n =5+2(n -3) =2n -1，„„„„„„„„6分

（II ）b n =

∴T n =1111=(-) „„„„„„„„8分 (2n -1)(2n +1) 22n -12n +1111111(1-+-+ +-) „„„„„10分 23352n -12n +1

11n „„„„„„„„12分 =(1-) =22n +12n +1

18. 解：（1

）当C 'D =时，取AB 的中点O ，连C 'O , DO ，

C'

A D B

在Rt ∆ACB ，Rt ∆ADB ，AB =2，则C 'O =DO =

1，又 C 'D =，

∴C 'O 2+DO 2=C 'D 2，即C 'O ⊥OD ，„„„„„„„„„„„„„„„„2分 又 C 'O ⊥AB ，AB OD =O ，AB , OD ⊂平面ABD ，„„„„„„„„∴C 'O ⊥平面ABD ，

4分

又 C 'O ⊂平面ABC '

∴平面C 'AB ⊥平面DAB ． „„„„„„„„5分

（2）当AC '⊥BD 时，由已知AC '⊥BC '，∴AC '⊥平面BDC '，„„„„„„„7分 又 C 'D ⊂平面BDC '，∴AC '⊥C 'D ，△AC 'D 为直角三角形，

由勾股定理，C 'D ===1„„„„„„„„9分

而△BDC '中，BD

=1,BC '=，

11⨯1⨯1=„„„„„„„„10分 22∴△BDC '为直角三角形，S BDC '=

三棱锥C '-

ABD 的体积V =111．

⨯S BDC '⨯AC '=⨯=332S ABD =1321 ，设三棱锥C '-ABD 的高为h ，则由⨯h ⨯ ⨯1==2326

6．„„„„„„„„12分 3解得h =

19. 解：（I ） 设该运动员到篮筐的水平距离的中位数为x ，

∵0. 05⨯2+0. 10+0. 200. 5，

∴x ∈[4, 5] „„„„„„„2分 由0. 40⨯(5-x ) +0. 20⨯1=0. 5，解得x =4. 25

∴该运动员到篮筐的水平距离的中位数是4. 25（米）． „„„„„„„4分

（II ）由题意知，抽到的7次成绩中，有1次来自到篮筐的水平距离为2到3米的这一组，记作A 1；有2次来自到篮筐的水平距离为3到4米的这一组，记作B 1，B 2；有4次来自到篮筐的水平距离为4到5米的这一组，记作C 1，C 2，C 3，C 4 .

从7次成绩中随机抽取2次的所有可能抽法如下：

（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，C 1），（A 1，C 2），（A 1，C 3），（A 1，C 4），（B 1，B 2），（B 1，C 1），（B 1，C 2），（B 1，C 3），（B 1，C 4），（B 2，C 1），（B 2，C 2），（B 2，C 3），（B 2，C 4），（C 1，C 2），（C 1，C 3），（C 1，C 4），（C 2，C 3），（C 2，C 4），（C 3，C 4）共21个基本事件. „„„ 7分

其中两次成绩均来自到篮筐的水平距离为4到5米的这一组的基本事件有6个.

„„„„ 10分

62=. „„„„„„„„„ 12分 217

p 20. 解：（I ）抛物线C 的准线方程为：x =-， 2

p p ∴|MF |=m +=2，又 4=2pm ，即4=2p (2-) „„„„„2分 22 所以该运动员得1分的概率P=

∴p 2-4p +4=0, ∴p =2

抛物线C 的方程为y =4x . „„„„„4分

（II ）设E (0,t )(t ≠0) ，已知切线不为y 轴，设EA :y =kx +t 2

⎧y =kx +t 222联立⎨2，消去y ，可得k x +(2kt -4) x +t =0

⎩y =4x

直线EA 与抛物线C 相切，∴∆=(2kt -4) 2-4k 2t 2=0，即kt =1 代入12222，，即A (t , 2t ) „„„„„„„„6分 ∴x =t x -2x +t =02t

设切点B (x 0, y 0) ，则由几何性质可以判断点O , B 关于直线EF :y =-tx +t 对称，则 ⎧y 0t -0⎧2t 2⨯=-1x =⎪⎪2t 22t ⎪0t 2+1⎪x 00-1，解得：⎨，即B (2, 2) „„„„„„„„8分 ⎨t +1t +1⎪y =2t ⎪y 0=-t ⋅x 0+t 0⎪⎪t 2+1⎩⎩22

直线AF 的斜率为k AF =2t (t ≠±1) ， t 2-1

直线BF 的斜率为k BF 2t -022t =2=2(t ≠±1) ， 2t t -1-1t 2+1

∴k AF =k BF ，即A , B , F 三点共线. „„„„„„„„„„„„„„10分

当t =±1时，A (1,±2), B (1,±1) ，此时A , B , F 共线.

综上：A , B , F 三点共线. „„„„„„„„„„„„„„12分

21. （I ）解 由f (x ) ＝e x －3x ＋3a ，x ∈R 知f ′(x ) ＝e x －3，x ∈R . „„„„„„„„„1分 令f ′(x ) ＝0，得x ＝ln 3， „„„„„„„„„„„„2分 于是当x 变化时，f ′(x ) ，f (x ) 的变化情况如下表.

单调递增区间是[ln3，＋∞) ，„„„„„„„„„„„„5分

f (x ) 在x ＝ln 3处取得极小值，极小值为f (ln 3)＝e ln3－3ln 3＋3a ＝3(1－ln 3＋a ) ．„„„6分 （II ）证明:待证不等式等价于e x >

设g (x ) =e x -32x -3ax +1„„„„„„„„„„„„7分 232x +3ax -1，x ∈R ， 2

x 于是g '(x ) =e -3x +3a ，x ∈R .

由（I ）及a >ln 3=ln 3-1知：g '(x ) 的最小值为g ′(ln 3)＝3(1－ln 3＋a ) ＞0. „„„9分 e

于是对任意x ∈R ，都有g '(x ) ＞0，所以g (x ) 在R 内单调递增． 于是当a >ln 3=ln 3-1时，对任意x ∈(0，＋∞) ，都有g (x ) ＞g (0)． „„„„„„10分 e

而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞) ，g (x ) ＞0. e x 3132即e >x -3ax +1，故>x +-3a „„„„„„„„12分 x 2x 2x

22. 解：（I ）连接AB,

P 、B 、F 、A 四点共圆，

∴∠PAB =∠PFB ． „„„„„„„„„„„„2分

又 PA 与圆O 切于点A, ∴∠PAB =∠AEB , „„„„„„„„„„„„4分

∴∠PFB =∠AEB

∴AE //CD . „„„„„„„„„„„„5分

（II ）因为PA 、PB 是圆O 的切线，所以P 、B 、O 、A 四点共圆，

由∆PAB 外接圆的唯一性可得P 、B 、F 、A 、O 共圆，

四边形PBFA 的外接圆就是四边形PBOA 的外接圆，

∴OP 是该外接圆的直径. „„„„„„„„„„„„7分

由切割线定理可得PA 2=PC ⋅PD =3⨯9=27 „„„„„„„„„„„„9分

∴OP ===.

∴四边形PBFA

„„„„„„„„„„„„10分

23解：（I ）C 1的直角坐标方程为(x -1)+y =1， „„„„„„„„„„„„2分 22

C 2的直角坐标方程为x =3；„„„„„„„„„„„„4分

（II ）设曲线C 1与x 轴异于原点的交点为A,

PQ ⊥OP , ∴PQ 过点A (2,0),

设直线PQ 的参数方程为⎨⎧x =2+t cos θ(t 为参数)， y =t sin θ⎩

代入C 1可得t +2t cos θ=0, 解得t 1=0或t 2=-2cos θ，

可知|AP |=|t 2|=|2cos θ| „„„„„„„„„„„„6分 代入C 2可得2+t cos θ=3, 解得t /=

可知|AQ |=|t /|=|21， cos θ1| „„„„„„„„„„„„8分 cos θ

11所以

PQ=|AP |+|AQ |=|2cos θ|+||≥当且仅当|2cos θ|=||时取等号， cos θcos θ

所以线段PQ

长度的最小值为 „„„„„„„„„„„„10分

⎧1-2x , x

⎪2x -1, x ≥1⎩

所以f min (x ) =1， „„„„„„„„„„„„3分 所以只需|m -1|≤1，解得-1≤m -1≤1，

∴0≤m ≤2，

所以实数m 的最大值M =2. „„„„„„„„„„„„5分

（2）法一：综合法

a 2+b 2≥2ab

∴ab ≤

1

≤1，当且仅当a =b 时取等号，① „„„„„„„„„„„„7分

又≤a +b 2

∴ab 1≤ a +b 2

ab ab ，当且仅当a =b 时取等号，② „„„„„„„„„„„„9分 ≤a +b 2

ab 1≤，所以a +b ≥2ab „„„„„„„„„„„„10分 a +b 2∴由①②得，∴

法二：分析法因为a >0, b >0,

所以要证a +b ≥2ab ，只需证(a +b ) ≥4a b ，

即证a 2+b 2+2ab ≥4a 2b 2， 222

a 2+b 2=M ，所以只要证2+2ab ≥4a 2b 2，„„„„„„„„„„„„7分 即证2(ab ) -ab -1≤0，

即证(2ab +1)(ab -1) ≤0，因为2ab +1>0，所以只需证ab ≤1，

下证ab ≤1，

因为2=a 2+b 2≥2ab ，所以ab ≤1成立，

所以a +b ≥2ab „„„„„„„„„„„„10分

2