数列求和的基本方法和技巧
数列求和的基本方法和技巧
一、利用常用求和公式求和
1、 等差数列求和公式:S n =
n (a 1+a n ) n (n -1)
=na 1+d 22
(q =1) ⎧na 1
⎪
2、等比数列求和公式:S n =⎨a 1(1-q n ) a 1-a n q
=(q ≠1)
⎪1-q ⎩1-q
前n 个正整数的和 1+2+3+ +n =
n (n +1)
2
n (n +1)(2n +1)
6n (n +1) 2
前n 个正整数的立方和 13+23+33+ +n 3=[]
2
前n 个正整数的平方和 12+22+32+ +n 2=
公式法求和注意事项 (1)弄准求和项数n 的值;
(2)等比数列公比q 未知时,运用前n 项和公式要分类。
例 已知log 3x =
-1
,求x +x 2+x 3+⋅⋅⋅+x n +⋅⋅⋅的前n 项和. log 23
例 设S n =1+2+3+…+n,n ∈N *, 求f (n ) = ∴ f (n ) =
S n
= =
(n +32) S n +1
S n
的最大值.
(n +32) S n +1
1n +34+
64n
=
(n -
18n
≤
) 2+50
1 50
∴ 当
n -
81,即n =8时,f (n ) m ax =
50二、错位相减法求和
这种方法主要用于求数列{an · b n }的前n 项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q ;然后再将得到的新和式和原和式相减,转化为同倍数的等比数列求和。
1n +1
例:(2009全国卷Ⅰ理)在数列{a n }中,a 1=1, a n +1=(1+) a n +n
n 2
a
(I )设b n =n ,求数列{b n }的通项公式(II )求数列{a n }的前n 项和S n
n
a a 11
分析:(I )由已知有n +1=n +n ∴b n +1-b n =n
n +1n 22
1
利用累差迭加即可求出数列{b n }的通项公式: b n =2-n -1(n ∈N *)
2
n n n
k k n
(II )由(I )知a n =2n -n -1, ∴S n =∑(2k -k -1) =∑(2k ) -∑k -1
22k =1k =1k =12
而∑(2k ) =n (n +1) , 又∑
k =1
n
k
是一个典型的错位相减法模型, k -1
2k =1
n
易得∑
k n +2n +2S ==4-n (n +1) +-4 ∴n k -1n -1n -1
22k =12
n
三、 倒序相加法求和
这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n 个(a 1+a n ) .
012n +3C n +5C n +⋅⋅⋅+(2n +1) C n =(n +1) 2n 例 求证:C n
证明: 设S n =C n +3C n +5C n +⋅⋅⋅+(2n +1) C n
n n -110
S n =(2n +1) C n +(2n -1) C n +⋅⋅⋅+3C n +C n
012n
∴ S n =(n +1) ⋅2
n
四、分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.
111
[例7] 求数列的前n 项和:1+1, +4, 2+7, ⋅⋅⋅, n -1+3n -2,…
a a a
111
解:设S n =(1+1) +(+4) +(2+7) +⋅⋅⋅+(n -1+3n -2)
a a a 111
S n =(1++2+⋅⋅⋅+n -1) +(1+4+7+⋅⋅⋅+3n -2)
a a a
(3n -1) n (3n +1) n
当a =1时,S n =n +=
22
1
1-n n a -a (3n -1) n (3n -1) n +当a ≠1时,S n == +
a -1221-a
1-
例:(2010全国卷2文)(18)(本小题满分12分)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且a 1+a 2=2(
11111
+) ,a 3+a 4+a 5=64(++)
a 3a 4a 5a 1a 2
12
求数列{b n }的前n 项和T n 。 ) ,a n
(Ⅰ)求{a n }的通项公式;(Ⅱ)设b n =(a n +
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如:
sin 1
=tan(n +1) -tan n (1)a n =f (n +1) -f (n ) (2)
cos n cos(n +1) (2n ) 2111111
a n ==1+(-) (3) (4)a n ==-
(2n -1)(2n +1) 22n -12n +1n (n +1) n n +1
(5)a n =(6)
a n =
1111
=[-]
n (n -1)(n +2) 2n (n +1) (n +1)(n +2)
n +212(n +1) -n 1111
⋅n =⋅n =-, 则S =1- n
n (n +1) 2n (n +1) 2n ⋅2n -1(n +1) 2n (n +1) 2n
例 求数列
11+2
1
,
12+, ⋅⋅⋅,
1n +n +1
, ⋅⋅⋅的前n 项和.
a n =
n +n +111+2
+
=n +1-n 1
1n +n +1
则 S n =
2++⋅⋅⋅+
=-1
例 在数列{an }中,a n =
212n
,又b n =,求数列{bn }++⋅⋅⋅+
a n ⋅a n +1n +1n +1n +1
的前n 项的和.
12n n ++⋅⋅⋅+= n +1n +1n +12211
∴ b n ==8(-)
n n +1⋅2211111118n
S n =8[(1-) +(-) +(-) +⋅⋅⋅+(- )] =
22334n n +1n +1
解: ∵ a n =
六、合并法求和
针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求S n .
例 数列{an }:a 1=1, a 2=3, a 3=2, a n +2=a n +1-a n ,求S 2002.
解:设S 2002=a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅+a 2002
a 6k +1=1, a 6k +2=3, a 6k +3=2, a 6k +4=-1, a 6k +5=-3, a 6k +6=-2
∵ a 6k +1+a 6k +2+a 6k +3+a 6k +4+a 6k +5+a 6k +6=0
S 2002=a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅+a 2002 =a 6k +1+a 6k +2+a 6k +3+a 6k +4=5
例 在各项均为正数的等比数列中,若a 5a 6=9, 求log 3a 1+log 3a 2+⋅⋅⋅+log 3a 10的值.
解:设S n =log 3a 1+log 3a 2+⋅⋅⋅+log 3a 10
由等比数列的性质 m +n =p +q ⇒a m a n =a p a q
S n =(l o 3g a 1+l o g g a 2+l o g g a 5+l o g 3a 10) +(l o 33a 9) +⋅⋅⋅+(l o 33a 6) =10
七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和,是一个重要的方法.
例 求1+11+111+⋅⋅⋅+111⋅ ⋅⋅1之和.
n 个1
⋅⋅⋅1=解:由于111
k 个1
11k
⨯999⋅⋅⋅9=(10-1) 99k 个1
∴ 1+11+111+⋅⋅⋅+111⋅ ⋅⋅1 =
n 个1
110(10n -1) n 1=⋅- =(10n +1-10-9n ) 910-1981