代 数 公 式(函数)
代 数 公 式(函数)
一、集合:
1、集合概念:
①两种关系:元素与集合之间的属于关系“∈、∉”; ..
集合与集合之间的包含关系:包含与真包含:⊆、⊂ ; ..
②子集与真子集:若由x ∈A, 一定有 x∈B, 则A 是B 的子集,记作A ⊆B, .....
若A 是B 的子集,且存在y ∈B 但y ∈A ,则A 是B 的真子集,记作A ⊂B, 两个集合的相等:若A 是B 的子集,同时,B 也是A 的子集,即A ⊆B 且B ⊆A ,.....
则A=B。或者说,集合A 与B 的元素完全相同,则A=B。
③元素的三种特性:确定性,相异性,无序性;
④两种表示方法:列举法,描述法;
⑤两种特殊集合:全集(I )与空集(φ),他们的性质;
全集(I )的概念是相对的,在某个研究过程中被研究的对象(元素)的全体就可以叫做全集。
φ是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。
⑥五个数集的符号:N 、Z 、Q 、R 、C ,(R +、R -、Q +、Q -、Q 等的含义)。
2、集合的运算:交、并、补及其用文氏图的表示法:
①交:A ∩B={x|x∈A 且x ∈B }∪B=B ⇔A ∩B=A ⇔ A⊆B; .
②并:A ∪B={x|x∈A 或x ∈B }; 性质∪B=A∩B, A∩B=A∪B; .
③补:A={x|x∈I 且x ∅. .
3n 个。真子集共有2n n
二、函数的基本性质:
1、函数的定义、定义域与值域的求法
⑴定义:非空数集到非空数集的映射。 ..........
确定函数的两要素:定义域与对应法则。 .......
⑵定义域的求法:①实际问题要根据其实际意义;
②分母不为零;
③偶次根式的被开方数不为负;
④对数的真数大于零,底数大于零且不等于1;
⑤分段函数的定义域是各段函数的自变量取值范围的并集。
⑶值域的求法:①根据函数的解析式讨论函数值的取值范围;例如二次函数的最值,偶次根式与绝对值的值非负等;
②根据函数的性质讨论函数值的取值范围;例如函数的单调性等; ③利用反函数的定义域就是原来函数的值域;
④分式函数常用化简的方法,使分子化成常数,再研究分母的取值情况; ⑤转化成求二次函数的判别式;
⑥利用换元法,基本不等式,图象法等来求值域。
2、函数的性质:⑴单调性:若x 1), 则f(x)为增(减)...
函数;
⑵奇偶性:若函数的定义域关于原点为对称,则①对定义域内的一切x, 都有...
f(-x)= -f(x)时,f(x)为奇函数;②对定义域内的一切x, 都有f(-x)= f(x)时,f(x)为偶函数;③若既f(-x)≠ -f(x),又f(-x)≠f(x),则f(x)为非奇非偶函数。 ⑶周期性:若存在常数T (T ≠0),对于函数定义域内的一切x ,都有...
f(x+T)=f(x)成立,则函数 f(x)是周期函数,T 为其一个周期,所有周期中如果存在最小的正数,则这个最小正数就称为函数的最小正周期。
3、两步复合函数的性质:令y=f(u), u=ϕ(x);则y=f[ϕ(x)]就是复合函数,其....
中u 称为中间变量.
①定义域与值域:设y=f(u)的定义域为u ∈M ,u=ϕ(x)的值域为u ∈N ,M ∩N=P, ..........
则复合函数y=f[ϕ(x)]的定义域为A={x| ϕ(x)∈P},
值域为B={y| y=f[ϕ(x)],x∈A}.
②单调性:若u=ϕ(x)在x ∈[a,b]时单调增,且此时u ∈[c,d],而当u ∈[c,d]...
时,y=f(u)单调增(减),则x ∈[a,b]时y=f[ϕ(x)] 单调增(减);反之,若u=ϕ(x)在x ∈[a,b]时单调减,且此时u ∈[c,d],而当u ∈[c,d]时,y=f(u)单调增(减),则x ∈[a,b]时y=f[ϕ(x)] 单调减(增);
这可利用记号“+”、“-”来表示:把单调增记为“+”,单调减记为“-”,则可用乘积的符号法则得出复合函数的增减性结论。
③周期性:令y=f(u), u=ϕ(x);且设u=ϕ(x)是周期为T 的周期函数,而u=ϕ(x)...
的值域为u ∈[c,d],又[c,d]是函数y=f(u)的定义域的子集,则y=f[ϕ(x)]也是周期函数。其周期不超过T 。
④由f[g(x)]=h(x)求f(x):令g(x)=t,解得x=g-1(t),于是得f(t)=h[g-1(t)],再代换t →x ,得f(x)=h[g-1(x)],而f(x)的定义域是g(x)定义域的子集.
4、函数的图象:①奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象y 轴对称; ②研究函数y=f(-x)、y= -f(x)、y=-f(-x)的图象与函数y=f(x)的图象间的关系;
③研究函数y=f(|x|)、y=|f(x)|的图象与函数y=f(x)的图象间的关系; ④研究函数y=Af(ωx+φ)+b的图象与函数y=f(x)的图象间的关系;
5、反函数:⑴反函数的定义;
⑵反函数的求法:①解出x 用y 表示的解析式;
②交换x 与y ;
③注意定义域与值域互换。
⑶反函数的图象:函数及其反函数的图象关于y=x对称。
⑷函数与反函数的定义域、值域之间的关系:函数与反函数的定义域、值域互相交换。
三、幂函数、指数函数、对数函数:
1、几个重要的函数:
⑴正比例函数与一次函数:y=kx+b图象为直线。
⑵反比例函数y=k/x图象为双曲线
⑶二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 图象为抛物线
①开口方向:a>0时,开口向上;a
②顶点坐标(-b/2a,4ac-b2/4a).
③对称轴:x=-b/2a.
④顶点式:在知道抛物线的顶点为(h,k )(或对称轴为x=h)时抛物线方程可写为y=a(x-h)2+k;
两根式:在知道两个根(抛物线与x 轴交点的横坐标)为x 1,x 2时抛物线方
程可写为y=a(x-x1)(x-x2).
⑤图象与x 轴的交点:Δ>0时两个交点,Δ=0时唯一交点,Δ
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⑧二次方程ax 2+bx+c=0(a>0)的根的分布
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⑷函数y=ax+b/x(a>0,b>0)
①图象的画法及性质
②在最值问题上的应用:x>0时,当x=√时y 取得最小值y min =2√ x
⑸一次分式函数: y=ax+b/cx+d(c≠0,ad-bc ≠0); 图象为双曲线,可由反比例函数y=k/x经平移而得出,原点移至(-d/c,a/c); 渐近线为x= -d/c,y=a/c; 取k=bc-ad/c2, 则k>0时图象在新坐标系的一、三象限,k
二、四象限。
⑹抽象函数:①抽象函数的性质
②若f(a+x)=f(a-x)成立,则 f(x)的图象关于 x=a对称。
2、对数的概念与运算:
⑴对数的意义:若a b =N,则b=loga N(a>0且a ≠1);
⑵b=loga N 中a 叫做底数,N 叫做真数,b 叫做以a 为底N 的对数;
⑶对数恒等式: alogaN =N(a>0,a≠1且N>0)
⑷对数运算法则:①log a (MN)=loga M+loga N; ②log a (M/N)=loga M-log a N;
③log a (Mn )=nloga M; ④log a M 1/n=1/nloga M.
⑸换底公式及其推论:log a N=logb N/logb a;
⑹常用对数与自然对数:①意义与记号:lgN 与lnN ;②数e,e=2.71828……是无理数;③lg2+lg5=1;
3、幂、指、对函数
⑴幂函数:定义y=xα(α为常数) ;
(考纲要求α在{-2,-1,-1/2,1/3,1/2,1,2,3}中取值。)
④α=1时图象为直线y=x;
4 ⑴指数上含有未知数的方程叫做指数方程,对数记号后面含有未知数的方程叫做对数方程。
⑵解法:指数方程与对数方程没有一般解法,只能就几种特殊类型求解:
①a f(x)=aϕ (x)型:化为f(x)= ϕ (x);
②a f(x)=bϕ (x)型:取对数得f(x)lga=ϕ (x)lgb;
x x ③f(a)=0:换元,令a =t,解f(t)=0取其满足t>0的解法代入原方程求解; ④log a f(x)=loga ϕ (x)型:解 f(x)= ϕ (x),f(x)>0;
⑤log a f(x)=logb ϕ (x): 换底(lgb)〃lgf(x)=(lga)〃lg ϕ (x),f(x)>0;
⑥f(loga x)=0:换元,令log a x=t,解f(t)=0所得解代入原方程求解;
⑦log f(x)A=b型:解[f(x)]b =A,f(x)>0且≠1;
⑧log f(x)a=logϕ(x)b 型:换底得(lgb)〃lgf(x)=(lga)〃lg ϕ (x) 求解,f(x)>0且≠1,ϕ (x)>0且≠1.