微专题训练9 "等时圆"模型
微专题训练9 “等时圆”模型
1．(多选) 如图1所示，一物体从竖直平面内的圆环的最高点A 处由静止开始沿光滑弦轨道AB 下滑至B 点，那么( ) ． A ．只要知道弦长，就能求出运动时间 B ．只要知道圆半径，就能求出运动时间 C ．只要知道倾角θ，就能求出运动时间 D ．只要知道弦长和倾角，就能求出运动时间
mg cos θ解析 物体沿AB 弦轨道下滑，加速度为a ＝g cos θ，弦长l ＝
m 2R ·cos θ，则t ＝
2l
a
2·2R cos θ
＝2
g cos θ
R
. 可见，物体沿任何一条弦轨g
图1
道下滑所用时间均相等，且等于沿直径自由下落的时间． 答案 BD
2．(多选) 如图2所示，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平轨道面相切于M 点，与竖直墙相切于A 点，竖直墙上另一点B 与M 的连线和水平面的夹角为60°，C 是圆轨道的圆心．已知在同一时刻，a 、b 两球分别由A 、B 两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M 点；c 球由C 点自由下落到M 点．则 A ．a 球最先到达M 点 B ．b 球最先到达M 点 C ．c 球最先到达M 点
D ．c 、a 、b 三球依次先后到达M 点
解析 设圆轨道半径为R ，据“等时圆”模型结论有，t a ＝ B 点在圆外，t b >t a ，c 球做自由落体运动t c ＝ 正确． 答案
CD
g ＝ 2
g ；
( ) ．
图2
2R
g t c
b .C 、D
3．(单选) 如图3所示，AB 和CD 为两条光滑斜槽，它们各自的两个端点均分别位于半径为R 和r 的两个相切的圆上，且斜槽都通过切点P . 设有一重物先后沿两个斜槽，从静止出发，由A 滑到B 和由C 滑到D ，所用的时间分别为t 1和t 2，则t 1与t 2之比为 A ．2∶1 3∶1
( ) ．
D ．1∶3
，t ＝t ＝2 g PB PD
r
，所以g
图3
B ．1∶1
解析 由“等时圆”模型结论有：t AP ＝t CP ＝ 2
t 1＝t AP ＋t PB ，t 2＝t CP ＋t PD ，知t 1＝t 2，B 项正确． 答案 B
4．(单选) 如图4所示，在倾角为θ的斜面上方的A 点处放置一光滑的木板AB ，B 端刚好在斜面上．木板与竖直方向AC 所成角度为α，一小物块自A 端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，则α与θ角的大小关系应为
( ) ．
图4
A ．α＝θ θ
C ．α＝3
θ
B ．α＝2D ．α＝2θ
解析 如图所示，在竖直线AC 上选取一点O ，以适当的长度为半径画圆，使该圆过A 点，且与斜面相切于D 点．由等时圆知识可知，由A 沿斜面滑到D 所用时间比由A 到达斜面上其他各点所用时间都短．将木板下端与D 点重合即可，而∠COD ＝θ，则α＝2. 答案 B
5．(单选) 如图5甲是某景点的山坡滑道图片，为了探究滑行者在滑道直线部分AE 滑行的时间，技术人员通过测量绘制出如图乙所示的示意图．AC 是滑道的竖直高度，D 点是AC 竖直线上的一点，且有AD ＝DE ＝10 m，滑道AE 可视为光滑，滑行者从坡顶A 点由静止开始沿滑道AE 向下做直线滑动，g 取10 m/s2，则滑行者在滑道AE 上滑行的时间为
(
) ．
θ
甲 乙
图5
2 s
B ．2 s
3 s D ．2 s
解析 A 、E 两点在以D 为圆心半径为R ＝10 m的圆上，在AE 上的滑行时间与沿AD 所在的直径自由下落的时间相同，t ＝ 答案 B
1
6．如图6所示，圆弧AB 是半径为R 的4AB 上放置一光滑木板BD ，一质量为m 的小物体在BD 板的D 端由静止下滑，然后冲向水平面BC ，在BC 上滑行L 后停下．不计小物体在B 点的能量损失，已知小物体与水平面BC 间的动摩擦因数为μ. 求：小物体在BD 上下滑过程中，
重力做功的平均功率．
4R g
4AD
g 2 s，选B.
图6
解析 由动能定理可知小物体从D 到C 有W G －μmgL＝0，所以W G ＝μmgL 由等时圆知识可知小物体从D 到B 的时间等于物体从圆周的最高点下落到B 4R
g BD 上下滑过程中，重力做功W G μmgL g
的平均功率为P t 2
R
μmgL g 答案
2R 点的时间，即为t ＝