自考 概率论与数理统计(4)

4.1 随机变量的期望

4.1.1 离散型随机变量的期望

引例 10人参加考试，1人得100分，6人得80分，3人得60分，求10人考度的平均分。

【答疑编号：10040101针对该题提问】 解：平均分为：

从本例看：平均分并不等于60、80、100的平均值80。这是由于60分出现的机会多于100分，上面方法出现了60分出现的频率多。100分的频率小，能正确计算平均值。 定义 若X 的分布律为 P （X=xi ）

=pi ，i=1，2…

当级数

就说

绝对收敛时（即

收敛）

是离散型随机变量X 的期望。记作EX ，即

说明：（1）若X 取值为有限个x 1，

x 2，…，x n 则

（2）若X 取值为可列无限多个x 1，x

2，…，x n … 则

这时才要求无穷级数绝对收敛。

很明显，X 的期望EX 体现随机变量X 取值的平均概念，所以EX 也叫X

的均值。 【例4-1】设随机变量X 的分布律为

求E （X ）

解 E （X ）=（-1）×0.3+0×0.2+1×0.5=0.2

【例4-2

】甲乙两人进行打靶，所得分数分别记为X ，Y ，它们的分布律分别为

试比较他们成绩的好坏。

【答疑编号：10040102针对该题提问】 解 我们分别计算X 和Y 的数学期望： EX=0×0+1×0.2+2×0.8=1.8（分）。 EY=0×0.1+1×0.8+2×0.1=1（分）。

这意味着，如果进行多次射击，甲所得分数的平均值接近于1.8分，而乙得分的平均值接近1分。很明显乙的成绩远不如甲。

4.1.2 下面介绍几种重要离散型随机变量的数学期望。 1. 两点分布

随机变量X 的分布律为

其中0＜p ＜1，有 EX=0×（1-p ）+1×p=p。 2. 二项分布 设X ～B （n,p ），即

可以证明它的期望EX=np

二项分布的数学期望np

，有着明显的概率意义。比如掷硬币试验，设出现正面概率

若进行100次试验，则可以“期望”出现来由。

3. 泊松分布 设其分布律为

则X 数学期望为EX=

小结上面的结果，有下面公式

次正面，这正是期望这一名称的

今后在上面三种情形下，期望EX 不必用定义计算，可以直接套用公式。 例如 若 X ～B （10，0.8），则EX=10×0.8=8 若 X ～P （3），则EX=3。 4.1.3 下面介绍离散型随机变量函数的数学期望。 定理4-1 设离散型随机变量X 的分布律为 P{X=xk }=pk ，k=1，2，…。

绝对收敛，则随机变量Y 的数学期望为

令Y=g（X ），若级数

特别情形

【例4-5】设随机变量X 的分布律为

令Y=2X+1，求E （Y ）。

【答疑编号：10040103针对该题提问】 解

EY=（2×（-1）+1）×0.3+（2×0+1）×0.2+（2×1+1）×0.4+（2×2+1）×0.1 =（-1）×0.3+1×0.2+3×0.4+5×

0.1=1.6。 【例4-6】设随机变量X 的分布律为

且Y=X2，求

EY 。

【答疑编号：10040104针对该题提问】

解 =（-1）2×0.3+02×0.2+0.52×0.1+12×0.1+22×0.3 =0.3+0.025+0.1+1.2=1.625。

4.1.4 连续型随机变量的期望 对于连续型随机变量的期望，形式上可类似于离散型随机变量的期望给予定义，只需将

中的x i 改变x,p i 改变为f （x ）dx （其中f （x ）为连续型随机变量的概率密度函

和式

数）以及和号“Σ”演变为积分号“∫”即可。

定义4-2 设连续型随机变量X 的概率密度为f

（x ），若广义积分

收敛，则称该积分为随机变量X 的数学期望（简称期望或均值），记为

EX ，即

绝对

【例4-7】设随机变量X 的概率密度为

求E （X ）。

【答疑编号：10040105针对该题提问】 解

【例4-8】设随机变量X 的概率密度函数为

求E （X ）。

【答疑编号：10040106针对该题提问】

解 因为f （x ）只在有限区间存在，且

上不为零，且在该区间上为连续函数，所以E （X ）

根据奇函数的性质知道E （X ）=0。

下面介绍几种重要连续型随机变量的期望。 1. 均匀分布

设随机变量X 在[a,b]上服从均匀分布，其概率密度为

则

在区间[a,b]上服从均匀分布的随机变量的期望是该区间中点。 2. 指数分布

设随机变量X 服从参数为λ>0的指数分布，其概率密度为

解：在微积分中有

即指数分布的数学期望为参数λ的倒数。 3. 正态分布

设

其概率密度为

则X 的期望 E （X ）=μ。（不证）

上面三种情况列表如下（可以作为公式使用）

例如 X ～U （0,10） 则

X ～E （2）

则

下面介绍连续型随机变量函数的数学期望。 定理4-2 设X 为连续型随机变量，其概率密度为f X （x ），又随机变量Y=g（X ），则 当

收敛时，有

证明略。

这一公式的好处是不必求出随机变量Y 的概率密度f Y （x ），而可由随机变量X 的概率密度f X （x ）直接计算E （Y ），应用起来比较方便。 特别情形

例4-9

求EX 2

【答疑编号：10040107针对该题提问】 解

4.1.5二维随机变量函数的期望 定理4-3 （1）若（X ，Y ）为离散型随机变量，若其分布律为p ij ＝P{X=xi ,Y=yi }， 边缘分布律为 则

（2）其（X ，

Y ）为二维连续型随机变量，f （

x,y ）,f x （x ）,f Y （y ）分别为 （X ，Y ）的概率密度与边缘概率密度，则

证明略。 定理4-4 设g （X ，Y ）为连续函数，对于二维随机变量（X ，Y

）的函数g （X ，Y ），

（1）若（X ，Y

）为离散型随机变量，级数

收敛，则

收敛，则

（2）若（X ，

Y ）为连续型随机变量，且积分

证明略。

【例4-10】已知（X ，Y ）的分布律为

求：（1）E （2X+3Y）

；（2）

E

（XY ）。

【答疑编号：

10040108针对该题提问】

解 （1）由数学期望定义知

【例4-11】设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

求：（1）E （X+Y）；（2）E （XY ）；（3）P{ X+Y≤1}。 【答疑编号：10040109针对该题提问】 解：

4.1.6 期望的性质 期望有许多重要性质，利用这些性质可以进行期望的运算。下面列举的这些性质对离散型随机变量和连续型随机变量而言，都可以利用随机变量函数的期望与二维随机变量函数的期望公式加以证明。 性质4-1 常数的期望等于这个常数，即 E （C ）=C，其中C 为常数。

证明 常数C 作为随机变量，它只可能取一个值C ，即P{X=C}=1，所以 E （C ）=C·1=C 性质4-2 常数与随机变量X 乘积的期望等于该常数与随机变量X 的期望的乘积，即 E （CX ）=C·E （X ）。

证明

设X 是连续型随机变量，其概率密度为f （x ），则有

当X 为离散型随机变量时，请读者自证。 ∴有E （CX+b）=CEX+b 性质4-3 随机变量和的期望等于随机变量期望之和，即 E （X+Y）=E（X ）+E

（Y ）。

证明 不妨设（X ，Y ）为二维随机变量，其概率密度为f （x,y ）,Z=X+Y是（X ，Y ）的函数，有

=E（X ）+E（Y ）。 这一性质可作如下推广： E （C 1X+C2Y ）=C1E （X ）+C2E （Y ），其中C 1，C 2为常数。 结合性质4-2与性质4-3可证此性质。 一般地，设X 1，X 2，…,Xn 为n 个随机变量，则有 E （X 1+X2+…+Xn ）= EX1+ EX2+…+ EXn E （C 1X 1+C2X 2+…+Cn X n ）=C1EX 1+C2EX 2+…+ Cn EX n 性质4-4 两个相互独立的随机变量乘积的期望等于期望的乘积，即若X ，Y 是 相互独立的随机变量，则E （XY ）=E（X ）E （Y ）。

证明 仅证连续型情况，因为X ，Y 相互独立，所以 f （x,y ）=fX （x ）f Y （y ），

=E（X ）E （Y ）

由数学归纳法可证得：当X 1，X 2，…，X n 相互独立时有 E （X 1X 2…Xn ）=E（X 1）E （X 2）…E（X n ）。 【例4-12】设X i （i=1,2,…）服从0-1分布

其中0

解法1 由二项分布的定义知，X 服从二项分布，因此， E （X ）=np

解法2 因为E （X i ）=p，X=X1+X2+…+Xn , 由期望性质知 E （X ）=E（X 1）+E（X 2）+…+E（X n ）=np。 这一结论与直接计算一致。

他向目标射击3枪，击中0枪得0分，击中一枪

例4-13 某人射击目标的命中率

得20分，击中二枪得60分，击中三枪得100分。求他的平均得分。 【答疑编号：10040111针对该题提问】 解 用X 表示该人击中枪数，Y 表示得分数

∴该人平均得分42.5分。

4.2.1方差的概念

随机变量的期望反映了随机变量取值的集中位置，在许多问题中，我们还要了解随机变量的其他特征。例如，在投资决策中，我们选择某一项目或购买某种资产（如股票、债券等），我们不仅关心其未来的收益水平，还关心其未来收益的不确定程度，前者通常用期望来度量，后者常称为风险程度。这种风险程度有多种衡量方法，最简单直观的方法就是用方差来度量。粗略地讲，方差反映了随机变量偏离其中心--期望的平均偏离程度。 对任一随机变量X ，设期望为E(X)，记Y ＝X-E(X)，称为随机变量X 的离差，由于E(X)是常数，因而有

由此可知，离差Y 代表随机变量X 与期望之间的随机误差，其值可正可负，从总体上说正负相抵，故其期望为零。这样用E(Y)不足以描述X 取值的分散程度。为了消除离差中的符号，我们也可以考虑使用绝对离差转而考虑离差平方散程度。

定义4-3 设随机变量记作D(X),即D(X)＝

称

的期望存在，则称

为随机变量X 的方差，

的期望，即用

，但由于

中绝对值不便处理，

来描述随机变量X 取值的分

为X 的标准差（或均方差）。

的期

从随机变量的函数的期望看，随机变量X 的方差D(X)即是X 的函数

望。

由方差定义可知，当随机变量的取值相对集中在期望附近时，方差较小；取值相对分散时，方差较大，并且总有

.

若X 为离散型随机变量，其分布律为

则

（4.2.1）

若X 为连续型随机变量，其概率密度为f(x),则

（4.2.2）

其分布律为

【例4-14】设两批纤维的长度分别为随机变量

求：

【答疑编号：10040201针对该题提问】 解

【例4-15】已知随机变量X 的概率密度为

.

求：

.

【答疑编号：10040202针对该题提问】 解

＝

在计算方差时，用下面的公式有时更为简便；

即X 的方差等于的期望减去X 的期望的平方。 证明

利用期望的性质证明。 因为

由于E(X)是一个常数，有

(4.2.3)

当X 是离散型随机变量时，

(4.2.4)

当X 是连续型随面变量时，

(4.2.5)

【例4-16】 设随机变量的期望E(X)=2,方差D(X)=4，求：

.

【答疑编号：10040203针对该题提问】 解 由式（4.2.3）

【例4-17】设X 的概率密度为

求：DX.

【答疑编号：10040204针对该题提问】 解：（1）

（2）

4.2.2 常见随机变量的方差 1.0-1分布

设X 的分布律为

.

，及已知E(X)=2,D(X)=4,得

其中0＜P ＜1, 则X 的方差 D(X)=P(1-P). 因为

而

故

（2）二项分布 设X ～B(n,p) 则有 （3）泊松分布

(不证)

设X ～P(), 则有 （4）均匀分布 设X ～U(a,b),则有

(不证)

（5）指数分布

设

(6)正态分布 可以证明，若

下表是六种常见分布的期望和方差的结果。 要求大家熟记下面公式。

【例4-18】 若X ～U(a,b)且EX ＝3， 求：a,b 及X 的概率密度f(x)

【答疑编号：10040205针对该题提问】 解：

【例4-19】已知随机变量X 服从二项分布，且E(X)=2.4，D(X)=1.44，求二项分布的参数n ，p 。

【答疑编号：10040206针对该题提问】 解：因为E(X)=np，D(X)=npq，

由已知E(X)=2.4，D(X)=1.44，np=2.4，npq=1.44， 得q=0.6，p=0.4，n=6

【例4-20】已知（X ，Y ）的分布律为

求：E(X),E(Y),D(X),D(Y).

【答疑编号：10040207针对该题提问】 解：∵

∴（1） （2） （3）

（4）

（5）

（6）

【例4-21】设（X,Y ）的概率密度为

求：E(X),E(Y),D(X),D(Y).

【答疑编号：10040208针对该题提问】

，

，

【例4-22】设（X,Y ）服从在D 上的均匀分布，其中D 由x 轴、y 轴及x+y=1所围成，求D(X).

【答疑编号：10040209针对该题提问】

解：由均匀分布定义知 因为D 的面积

∴（X,Y ）的概率密度

4.2.3方差的性质

性质4-5常数的方差等于零，随机变量与常数之和的方差等于随机变量的方差，即

D(C)=0,D(X+C)=D(X).

性质4-6

常数与随机变量乘积的方差等于这个常数的平方与随机变量方差的乘积，即

，其中C 为常数

性质4-7

两个独立随机变量之和的方差等于它们方差之和，即若X ，Y 相互独立，则

D(X+Y)=D(X)+D(Y)

上式最后一项

E[(X－E(X))(Y－E(Y))]=E[XY－XE(Y)－YE(X)+E(X)E(Y)]

=E(XY)－E(X)E(Y)－E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)－E(X)E(Y)，

因为X 与Y 相互独立，有E(XY)=E(X)E(Y)，因而上式为零 因此 D(X+Y)=D(X)+D(Y)

注意：证明过程中得到有用结论

E[(X－E(X))(Y－E(Y))]=E(XY)－E(X)E(Y)

这一性质也可推广到n 个相互独立的随机变量情况：若相互独立，则

将这一性质应用于二项分布可知，二项分布随机变量X 能表示成n 个相互独立的两点分布随机变量之和：

【例4-23】 设相互独立，的期望和方差。

【答疑编号：10040210针对该题提问】

解：（1）

，因为

的方差为pq,k=1，2，…，

n ，则

（2）

【例4-24】设随机变量X ，Y 相互独立，X 与Y 的方差分别为4和2。求D(2X-Y). 【答疑编号：10040211针对该题提问】 解 由方差的性质得

4.3 协方差与相关系数

对二维随机变量（X ，Y ），我们除了讨论X 与Y 的期望和方差之外，还需讨论X 与Y 之间相互关系的数字特征，本节主要讨论这方面的数字特征。

4.3.1 协方差

定义4-4 设有二维随机变量（X ，Y ），且E （X ）

，E （Y ）存在，如果

存在，

则称此值为X 与Y 的协方差，记，即 定义

（4.3.1）

当（X ，Y ）为二维离散型随机变量时，其分布律为

则

当（X ，Y ）为二维连续型随机变量时，

（4.3.3）

证明

协方差有下列计算公式：

（4.3. ４）

（4.3.2） 为（X,Y) 的概率密度

此公式是计算协方差的重要公式，特别地取X=Y时，有

【例4-25】设（X ，Y ）的密度函数为

求

【答疑编号：10040301针对该题提问】 解 由

则

【例4-26】设（X ，Y ）服从在D 上的均匀分布，其中D 由x 轴、y 轴及x+y=1所围成，求X 与Y 的协方差

【答疑编号：10040302针对该题提问】 解：∵D 的面积

∴

协方差具有下列性质：

（1）（2）（３）

，其中a,b 为任意常数。

性质（1）～（3）可由定义直接证明。

（４）若X

，

Y 相互独立，则

证明 若Ｘ，Ｙ相互独立，则有

反过来，若 ，则X ，Y 一定不相互独立。 【例4-27】接例4-26，判断X ，Y 是否相互独立。 【答疑编号：10040303针对该题提问】

，知X ，Y 一定不相互独立。

解 由

4.3.2 相关系数

定义4-5

若，称为X 与Y 的相关系数，记为

即

例28 若（X ，Y ）的分布律为

求：（1）X 的边缘分布 （2）Y 的边缘分布 （3）EX ， ，DX （4）EY ， ，DY （5）E （XY ） （6） （7）

（8）讨论X ，Y 的独立性

【答疑编号：10040304针对该题提问】

解：（1）

（2） （3）

（4）

（5） （6）

（7） （8）∵

∴不相关

∴不独立

本例说明X ，Y 不相关不能得出X ，Y 独立的结论。 各问： （1）（1）

时，说X ，Y 不相关

（2）且

时，说X ，Y 完全相关

（不证)

定理：若X ，Y 独立，则X ，Y 不相关

证：X ，Y 独立，则有E （XY ）=E（X ）E （Y ） ∴ ∴

本定理说明X ，Y 独立是X ，Y 不相关的充分条件，反之不一定成立，在例28中，（X ，Y ）不相关，但（X ，Y ）并不独立。

虽然在一般情况下，X ，Y 不相关不能得到X ，Y 一定独立的结论，但如果X ～N Y ～N

则X ，Y 不相关则是X ，Y 独立的充分条件，即有

，

若X ，Y 都正态分布，则有X ，Y 独立的充分必要条件是X ，Y 不相关。

【例4-29】设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

求：（1）E （X ），E （Y ）；（2）D （X ），D （Y ）；（3）Cov （X ，Y ），

【答疑编号：10040305针对该题提问】

解：这是一道综合题，要熟练掌握解题的全过程，本题可以先求出边缘概率密度，再求 期望和方差，也可以直接由联合分布求期望和方差。 先画出区域的图形如图4-2所示。

解法

1

（1） 当

时

当

时，

∴ 当

当

，

时

（2）

（3）

解法2 ∵

（1

）

（2

）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

所以，

【例4-30】证明D （X+Y）=D（X ）+D（Y ）+2Cov（X ，Y ）.

证明

【例4-31】已知

【答疑编号：10040307针对该题提问】

求

解：

性质 若（X ，Y ）～N 则（X ，Y ）的相关系数为 X 与Y 独立

，且有

（不证）

4.3.3 矩、协方差矩阵

数学期望和方差可以纳入到一个更一般的概念范畴之中，那就是随机变量的矩。 定义4-7（1）设X 为随机变量，k 为正整数，如果阶原点矩，记 （2）如果

，即

存在，则称

显然，一阶原点矩就是数学期望：

.

为X 的k 阶中心矩，记为

即

存在，则称

为X 的k

，二阶中心矩就是方差：

定义4.8 矩阵叫（X ，Y ）的协方差矩阵

【例4-32】设（X ，Y ）的协方差矩阵为，求.

解 由协方差矩阵的定义可知

则

本章小结

本章的考核内容是

（一）知道随机变量的期望的定义和计算公式，性质。 （1）离散型： （2）连续型： （3）

（4）

期望的性质： （1）E C=C

（2）E （kX ）=kEX （3）E （X±Y ）=EX±EY

（4）X,Y 独立时，E （XY ）＝（EX ）（EY ）

（二）知道方差的概念和计算公式以及方差的性质

∴X 是离散型随机变量时

X 是连续型随机变量时

（2）计算公式 （3）性质 ①DC ＝0

② ③D （X±Y ）=DX+DY±2E[(X-EX)(Y-EY)] =DX+DY±2Cov(X,Y) ∴X,Y 独立

X,Y 不相关时D(X±Y)=DX+DY

Cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]

计算公式Cov(X,Y)=E(XY)－(EX)(EY)

相关系数 定理X ，Y 独立 X ，Y 独立 本章作业

X ，Y 不相关（

）

特别情形X ，Y 正态，则有

X ，Y 不相关

教材95～96页 1（1）（2），2，3，4，5，6，

，7，

104～105页 1，2，3提示：X ～E(2),Y～U(0,), ，5，

112～113页 1，2，3，

113～115页 自我测验题 4全部

，5，6