微专题----椭圆中斜率乘积为的问题
b 2
椭圆中斜率乘积为-a 2的问题
【热身训练】
x 2y 2
1. 设B 1、B 2是椭圆2+2=1(a >b >0) 的上下两顶点,P 是椭圆上异于B 1、B 2的任一
a b
ON 为定值点,直线PB 1、PB 2与x 轴相交于点M , N , 求证:OM
x 2y 2
2. 平面直角坐标系系xOy 中,过椭圆M :=1(a >b >0)右焦点的直线x +y -3=0交
a b M 于A ,B 两点,P 为AB 中点且OP 的斜率为
【例题精讲】
1
,则椭圆M 的方程为 . 2
x 2y 2
+=
1,点A B (-,O 为坐标原点. 例1:已知椭圆γ:82
22
(I )若P 是椭圆γ上任意一点,OP =mOA +nOB ,求m +n 的值;
(II )设M (x 1, y 1), N (x 2, y 2) 是椭圆γ上的两个动点,满足k OM ⋅k ON =k OA ⋅k OB ,试探究
∆OMN 的面积是否为定值,说明理由.
+y 2=1上异于顶点的点,若P 是椭圆γ上异于S , T 任意一点,满变题1:S , T 椭圆γ:4
足OP =mOS +nOT ,且m 2+n 2=1(mn ≠0) ,求k OS ⋅k OT 的值.
变题2:如图,椭圆的中心为原点O
,离心率e =(1)求该椭圆的标准方程;
,一条准线的方程为x =2
(2)设动点P 满足:OP =OM +2ON , 其中M , N 是椭圆上的点,直线OM 与ON 的斜率
之积为-
1
,问:是否存在两个定点F 1, F 2, 使得PF 1, F 2的1+PF 2为定值?若存在,求出F 2
坐标;若不存在,请说明理由.
+y 2=1,变题3:已知椭圆γ:设M (x 1, y 1) , N (x , 2y ) 24
且∆OMN 的面积是1,试探究k OM ⋅k ON 是否为定值.
【课后练习】
是椭圆γ上异于顶点的两个动点,
x 2
+y 2=1上的任意一点(异于左, 右顶点A,B ) ,直线PA , PB 分别交直1. 设点P 是椭圆E :4
线l :x =
10
与点M , N ,求证:PN ⊥BM . 3
x 2
+y 2=1上一点,从原2. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,设点M (x 0, y 0) 是椭圆C :4
点O 向圆M :(x -x 0) 2+(y -y 0) 2=r 2作两条切线分别与椭圆C 交于点P , Q ,直线
OP , OQ 的斜率分别记为k 1, k 2.
(1)若圆M 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点,求圆M
(2)若r =
. 5
①求证:k 1k 2=-
1
;②求OP ⋅OQ 的最大值;③试探究 4
【热身训练】
x 2y 2
1. 设B 1、B 2是椭圆2+2=1(a >b >0) 的上下两顶点,P 是椭圆上异于B 1、B 2的任一
a b
ON 为定值a 2 点,直线PB 1、PB 2与x 轴相交于点M , N , 求证:OM
x 2y 2
2. 平面直角坐标系系xOy 中,过椭圆M :=1(a >b >0)右焦点的直线x +y -3=0交
a b
x 2y 21
+=1 M 于A ,B 两点,P 为AB 中点且OP 的斜率为,则椭圆M 的方程为 . 632
【例题精讲】
x 2y 2
+=
1,点A B (-,O 为坐标原点. 例1:已知椭圆γ:82
22
(I )若P 是椭圆γ上任意一点,OP =mOA +nOB ,求m +n 的值;
(II )设M (x 1, y 1), N (x 2, y 2) 是椭圆γ上的两个动点,满足k OM ⋅k ON =k OA ⋅k OB ,试探究
∆OMN 的面积是否为定值,说明理由.
解:
(Ⅰ)OP =mOA +nOB =-+,得
()
P -+,(m -n )+(m +n )=1,即m 2+n 2=
(II )(解法一)由条件得,
()
22
1
2
y 1y 21
=-,平方得x 12x 22=16y 12y 22=(8-x 12)(8-x 22) , x 1x 24
即x 12+x 22=8
S ∆OMN =
1x 1y 2-x 2y 1=
2==2
故∆OMN 的面积为定值2
(解法二)①当直线MN 的斜率不存在时,易得∆OMN 的面积为2 ②当直线MN 的斜率存在时,设直线MN 的方程为y =kx +t
⎧x 2y 2
=1⎪+
⇒(1+4k 2)x 2+8ktx +4(t 2-2)=0 2⎨8
⎪y =kx +t ⎩
4(t 2-2)-8kt
由M (x 1, y 1), N (x 2, y 2) ,可得x 1+x 2=, , x 1x 2=
1+4k 21+4k 2
t 2-8k 2
y 1y 2=(kx 1+t )(kx 2+t )=k x 1x 2+kt (x 1+x 2)x +t = 2
1+4k
2
2
又k OM ⋅k ON =
y 1y 21
=-,可得t 2=4k 2+1
x 1x 24
因为MN =x 1-x 2,点O 到直线MN
的距离d =
t 2
S ∆OMN
t t 1
=⋅MN ⋅d =⋅x 1-
x 2=222
=
=2
综上:∆OMN 的面积为定值2
x 2
+y 2=1上异于顶点的点,若P 是椭圆γ上异于S , T 任意一点,满变题1:S , T 椭圆γ:4
22
足OP =mOS +nOT ,且m +n =1(mn ≠0) ,求k OS ⋅k OT 的值.
解:设S (x 1, y 1), T (x 2, y 2), P (x 0, y 0)
,
由OP =mOS +nOT ,有x 0=mx 1+nx 2, y 0=my 1+ny 2,
x 2(mx 1+nx 2) 22
+y =1上任意一点,所以有+(my 1+ny 2) 2=1, 因为P 是椭圆γ:44
2
x 122x x 22x 2
+y 1) +n (+y 22) +mn (12+2y 1y 2) =1即m (444
2
x 2x 12x 2222
+y =1上异于顶点的点,所以+y 1=1, +y 22=1, 因为S , T 椭圆γ:4442x 1x 2
+2y 1y 2) =1, 4
2x x 22
因为m +n =1(mn ≠0) ,所以12+2y 1y 2=0,
4
所以m +n +mn (
2
2
x 2
+y 2=1上异于顶点的点,所以x 1≠0, x 2≠0,所以x 1⋅x 2≠0, 因为S , T 椭圆γ:4
所以
1y 1y 21
=-,即k OS ⋅k OT =-.
4x 1x 24
变题2:如图,椭圆的中心为原点O
,离心率e =(1)求该椭圆的标准方程;
,一条准线的方程为x =2
(2)设动点P 满足:OP =OM +2ON , 其中M , N 是椭圆上的点,直线OM 与ON 的斜率
之积为-
1
,问:是否存在两个定点F 1, F 2, 使得PF 1, F 2的1+PF 2为定值?若存在,求出F 2
坐标;若不存在,请说明理由.
c 2a 2
=
2,解得a =2, c =,b 2=a 2-c 2=2, 解:(1)由e ==,
c a 2
x 2y 2
+=1. 故椭圆的标准方程为42
(2)设M (x 1, y 1), N (x 2, y 2), P (x , y ) , 则由OP =OM +2ON ,
得x =x 1+2x 2, y =y 1+2y 2,
x 12y 12x 22y 22x 2y 2
+=1上的点,所以+=1, +=1, 因为M, N 椭圆γ:424242
x 2y 2(x 1+2x 2) 2(y 1+2y 2) 2
+=+故4242 2222x y x y
=(1+1) +4(2+2) +x 1⋅x 2+2y 1⋅y 2=5+x 1⋅x 2+2y 1⋅y 2
4242
1y y 11
因为直线OM 与ON 的斜率之积为-,即k OM ⋅k ON =-,也即12=-,
2x 1x 22 2x 2y 2x 2y 2
+=5,即+=1,
所以x 1⋅x 2+2y 1⋅y 2=0,所以422010
22
所以P
=1上的点.设该椭圆的左、右焦点为F 1, F 2,
=,
则由椭圆的定义有PF 1+PF 2
为定值
c =
因此两定点的坐标为F 1(F 2.
x 2
+y 2=1,变题3:已知椭圆γ:设M (x 1, y 1) , N (x , 2y ) 24
且∆OMN 的面积是1,试探究k OM ⋅k ON 是否为定值.
是椭圆γ上异于顶点的两个动点,
解:①当直线MN 的斜率不存在时,设MN :x =
t , M (t N (t , 则可得
∆
OMN 的面积为
=
1,即t =,
所以k OM ⋅k ON
t 211-
1
=-2=-=-,
t 24
②当直线MN 的斜率存在时,设直线MN 的方程为y =kx +t
⎧x 2
⎪+y 2=1
⇒(1+4k 2)x 2+8ktx +4(t 2-1)=0 ⎨4
⎪y =kx +t ⎩
4(t 2-1)-8kt
由M (x 1, y 1), N (x 2, y 2) ,可得x 1+x 2=, , x 1x 2=22
1+4k 1+4k
t 2-4k 2
y 1y 2=(kx 1+t )(kx 2+t )=k x 1x 2+kt (x 1+x 2)x +t =
2
1+4k
2
2
因为MN =x 1-x 2,点O 到直线MN
的距离d =
t 2
S ∆OMN
t t 1
=⋅MN ⋅d =⋅x 1-
x 2=222
=
=1
可得2t =4k +1,所以k OM ⋅k ON
22
t 2-4k 2
2y 1y 2t 2-4k 21-t 21======-, 222
x 1x 244t -14t -14t -11+4k 2
综上:k OM ⋅k ON 为定值-
1
. 4
x 2
+y 2=1上的任意一点(异于左, 右顶点A,B ) ,1. 设点P 是椭圆E :直线PA , PB 分别交直线4
l :x =
10
与点M , N ,求证:PN ⊥BM . 3
证明:设M (
1033, y 1), 则k MB =,k PA =k MA =,所以k MB =4k PA , 34y 116y 1
设P (x , y ) ,则k PA ⋅k PB
x 21-
y y y 21=⋅=2=2=-, x +2x -2x -4x -44
所以k PB ⋅k MB =-1,即PN ⊥BM
x 2
+y 2=1上一点,从原2. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,设点M (x 0, y 0) 是椭圆C :4
点O 向圆M :(x -x 0) 2+(y -y 0) 2=r 2作两条切线分别与椭圆C 交于点P , Q ,直线
OP , OQ 的斜率分别记为k 1, k 2.
(1)若圆M 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点,求圆M
(2)若r =
. 5
1
;②求OP ⋅OQ 的最大值;③试探究 4
1
解:(1)因为椭圆C 右焦点的坐标为,所以圆心M 的坐标为±) ,
2
1212
从而圆M 的方程为(x +(y ±) =.
24
=(2)①因为圆M 与直线OP :y =k 1x , ①求证:k 1k 2=-
即(4-5x 02) k 12+10x 0y 0k 1+4-5y 02=0, 同理,有(4-5x 02) k 22+10x 0y 0k 2+4-5y 02=0,
所以k 1, k 2是方程(4-5x 02) k 2+10x 0y 0k +4-5y 02=0的两根, 从而k 1k 2=
4-5y 0
=
4-5x 02
2
4-5(1-
125x 0) -1+x 02
1==-.
4-5x 024-5x 024
⎧y =k 1x
4k 124⎪222
②设点P ,解得x 1=, , y 1=1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2) ,联立⎨x 222
1+4k 1+4k 11⎪+y =1
⎩44k 22422
同理,x 2=, , y 2=22
1+4k 21+4k 2
4k 124k 12+44
所以OP =+=,
1+4k 121+4k 121+4k 12
2
1
+4k 12
4k 24k 2+44k 2k +4k 1+16k 1242 OQ =+==2==2
1+4k 221+4k 221+4k 22k 1+4k k 4k +11k 12+4
5+20k 122()
254+4k 121+16k 1222≤=, OP ⋅OQ =⋅
(1+4k 12) 241+4k 121+4k 12
15
当且仅当k 1=±时取等号. 所以OP ⋅OQ 的最大值为.
22
2
2
22
1
212221
4+4k 121+16k 125+20k 12
③由②有所以OP +OQ =+==5 222
1+4k 11+4k 11+4k 1
2
2