高等数学工专讲义

接下来我们就开始学习高等数学了，也许在学习的过程中我们会感到枯燥无味，但是我相信只要我们努力，我们一定能达到成功的彼岸。

常量与变量

变量的定义

我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化，我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为变量。

注：在过程中还有一种量，它虽然是变化的，但是它的变化相对于所研究的对象是极其微小的，我们则把它看作常量。

变量的表示

如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。

在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。

以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间：

[a，+∞)：表示不小于a 的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞；

(-∞，b) ：表示小于b 的实数的全体，也可记为：-∞＜x ＜b ；

(-∞，+∞)：表示全体实数，也可记为：-∞＜x ＜+∞

注：其中-∞和+∞，分别读作" 负无穷大" 和" 正无穷大", 它们不是数, 仅仅是记号。邻域

设α与δ是两个实数，且δ＞0. 满足不等式│x-α│＜δ的实数x 的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。

函 数

函数的定义

如果当变量x 在其变化范围内任意取定一个数值时，量y 按照一定的法则总有确定的数值与它对应，则称y 是x 的函数。变量x 的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x 叫做自变量，y 叫做因变量。

注：为了表明y 是x 的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示. 这里的字母"f" 、"F" 表示y 与x 之间的对应法则即函数关系, 它们是可以任意采用不同的字母来表示的. 注：如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。

函数的表示

a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。 例：直角坐标系中，半径为r 、圆心在原点的圆的方程是：x 2+y2=r2

b) ：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。

例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。 c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。

例：直角坐标系中，半径为r 、圆心在原点的圆用图示法表示为：

函数的简单性态

函数的有界性

如果对属于某一区间I 的所有x 值总有│f(x)│≤M成立，其中M 是一个与x 无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I 有界，否则便称无界。

注意：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数

例题：函数cosx 在(-∞,+∞)内是有界的.

函数的单调性

如果函数在区间(a,b)内随着x 增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x 1及x 2，当x 1＜x 2

时，有

，则称函数在区间(a,b)内是单调增加的。 如果函数在区间(a,b)内随着x 增大而减小，即：对于(a,b)内任意两点x 1及x 2，当x 1＜x 2

时，有

，则称函数在区间(a,b)内是单调减小的。 例题：

函数=x2在区间(-∞,0)上是单调减小的，在区间(0,+∞)上是单调增加的。

函数的奇偶性

如果函数对于定义域内的任意x

都满足=，

则叫做偶函数；

如果函数对于定义域内的任意x

都满足=-，

则叫做奇函数。 注意：偶函数的图形关于y 轴对称，奇函数的图形关于原点对称。

函数的周期性

对于函数，若存在一个不为零的数l ，使得关系式

对于定义域内任何x

值都成立，则叫做周期函数，l 是的周期。

注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期。

例题：函数是以2π为周期的周期函数；函数tanx 是以π为周期的周期函数。

反函数

反函数的定义

设有函数，若变量y 在函数的值域内任取一值y 0时，变量x 在函数的定义域内必有一值x 0

与之对应，即，那末变量x 是变量y 的函数.

这个函数用

来表示，称为函数的反函数.

注：

由此定义可知，函数

也是函数的反函数。

反函数的存在定理

若在(a，b) 上严格增(减) ，其值域为 R ，则它的反函数必然在R 上确定，且严格增(减).

注：严格增(减) 即是单调增(减)

例题：y=x2，其定义域为(-∞,+∞)，值域为[0,+∞).对于y 取定的非负值, 可求得x=±. 若我们不加条件，由y 的值就不能唯一确定x 的值，也就是在区间(-∞,+∞)上，函数不是严格增(减) ，故其没有反函数。如果我们加上条件，要求x≥0，则对y≥0、x=

就是y=x2在要求x≥0时的反函数。即是：函数在此要求下严格增(减).

反函数的性质

在同一坐标平面内，与的图形是关于直线y=x对称的。

例题：函数

与函数互为反函数，则它们的图形在同一直角坐标系中是关于直线y=x对称的。如右图所示：

复合函数的定义

若y 是u 的函数：，而u 又是x 的函数：，且的函数值的

全部或部分在的定义域内，那末，y 通过u 的联系也是x 的函数，我们称后一个函

数是由函数及

复合而成的函数，简称复合函数，记作，其中u 叫做中间变量。

注：并不是任意两个函数就能复合；复合函数还可以由更多函数构成。

例题：函数

与函数是不能复合成一个函数的。

因为对于的定义域(-∞,+∞)中的任何x 值所对应的u 值（都大于或等于2），

使都没有定义。

初等函数

基本初等函数

我们最常用的有五种基本初等函数，分别是：指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数。下面我们用表格来把它们总结一下：

初等函数

由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一个解析式表出的函数称为初等函数.

例题：是初等函数。

我们再来学习一下工程技术中常用的函数——双曲函数及反双曲函数

双曲函数及反双曲函数

双曲函数

在应用中我们经常遇到的双曲函数是：(用表格来描述)

我们再来看一下双曲函数与三角函数的区别：

双曲函数也有和差公式：

反双曲函数

双曲函数的反函数称为反双曲函数.

a)：反双曲正弦函数 其定义域为：(-∞,+∞)；

b)：反双曲余弦函数 其定义域为：[1,+∞)；

c)：反双曲正切函数 其定义域为：(-1,+1)；

数列的极限

我们先来回忆一下初等数学中学习的数列的概念。

数列

若按照一定的法则，有第一个数a 1，第二个数a 2，…，依次排列下去，使得任何一个正整数n 对应着一个确定的数a n ，那末，我们称这列有次序的数a 1，a 2，…，a n ，…为数列.

数列中的每一个数叫做数列的项。第n 项a n 叫做数列的一般项或通项.

注：我们也可以把数列a n 看作自变量为正整数n 的函数，即：a n f (n ) ，它的定义域是全体正整数

极限

极限的概念是求实际问题的精确解答而产生的。

例：我们可通过作圆的内接正多边形，近似求出圆的面积。

设有一圆，首先作圆内接正六边形，把它的面积记为A 1；

再作圆的内接正十二边形，其面积记为A 2；

再作圆的内接正二十四边形，其面积记为A 3；

依次循下去(一般把内接正6×2n-1边形的面积记为A n ) 可得一系列内接正多边形的面积：A 1，A 2，A 3，…，An ，…，它们就构成一列有序数列。

我们可以发现，当内接正多边形的边数无限增加时，An 也无限接近某一确定的数值(圆的面积) ，这个确定的数值在数学上被称为数列A 1，A 2，A 3，…，An ，… 当n→∞(读作n 趋近于无穷大) 的极限

注：上面这个例子就是我国古代数学家刘徽(公元三世纪) 的割圆术。

数列的极限

一般地，对于数列来说，若存在任意给定的正数ε(不论其多么小) ，总存在正整数N ，使得对于n ＞N

时的一切不等式x n -a

是数列的极限

，或者称数列收敛于a .

记作：或

注：此定义中的正数ε只有任意给定，不等式x n

-a

且定义中的正整数N 与任意给定的正数ε是有关的，它是随着ε的给定而选定的。 注：在此我们可能不易理解这个概念，下面我们再给出它的一个几何解释，以使我们能理解它。

数列极限为a 的一个几何解释：

将常数a

及数列在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点a 的ε邻域即开区间(a-ε，a+ε) ，如下图所示：

因不等式x n

-a

间(a-ε，a+ε) 内，而只有有限个(至多只有N 个) 在此区间以外。

注：至于如何求数列的极限，我们在以后会学习到，这里我们不作讨论。

数列的有界性

对于数列，若存在着正数M ，

使得一切

都满足不等式││≤M，

则称数列是有界的，若正数M 不存在，则可说数列是无界的。

定理：若数列

收敛，那末数列一定有界。

注：有界的数列不一定收敛，即：数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。 例：数列 1，-1，1，-1，…，(-1)n+1，… 是有界的，但它是发散的。

函数的极限

前面我们学习了数列的极限，已经知道数列可看作一类特殊的函数，即自变量取 1→∞内的正整数，若自变量不再限于正整数的顺序，而是连续变化的，就成了函数。下面我们来学习函数的极限.

函数的极值有两种情况：a) ：自变量无限增大；b) ：自变量无限接近某一定点x 0，如果在这时，函数值无限接近于某一常数A ，就叫做函数存在极值。

我们已知道函数的极值的情况，那么函数的极限如何呢 ?

下面我们结合着数列的极限来学习一下函数极限的概念!

函数的极限(分两种情况)

a):自变量趋向无穷大时函数的极限

定义：

设函数，若对于任意给定的正数ε(不论其多么小) ，总存在着正数X ，使得对于适合不等式

的一切x

，所对应的函数值都满足不等式

那末常数A

就叫做函数当x→∞时的极限

，记作： 下面我们用表格把函数的极限与数列的极限对比一下：

从上表我们发现了什么 ？？试思考之

b):自变量趋向有限值时函数的极限

我们先来看一个例子.

例：函数，当x→1时函数值的变化趋势如何？

函数在x=1处无定义. 我们知道对实数来讲，在数轴上任何一个有限的范围内，都有无穷多个点，为此我们把x→1时函数值的变化趋势用表列出, 如下图:

从中我们可以看出x→1时，→2.而且只要x 与1有多接近，就与2有多接近.

或说：只要与2只差一个微量ε，就一定可以找到一个δ，当＜δ

时满足＜δ

定义：

设函数在某点x 0的某个去心邻域内有定义，且存在数A ，如果对任意给定的ε (不论其多么小) ，总存在正数δ，当0＜＜δ时，＜ε

则称函数当x→x0时存在极限，且极限为A

，记： 注：在定义中为什么是在去心邻域内呢？

这是因为我们只讨论x→x0的过程，与x=x0出的情况无关。

此定义的核心问题是：对给出的ε，是否存在正数δ，使其在去心邻域内的x 均满足不等式。

有些时候，我们要用此极限的定义来证明函数的极限为 A，其证明方法是怎样的呢？ a):先任取ε＞0；

b):

写出不等式＜ε；

c):解不等式能否得出去心邻域0

＜＜δ，若能；

d):则对于任给的ε＞0，总能找出δ，当0

＜＜δ时，＜ε成立，

因此

下面我们来学习函数极限的运算法则和函数极限的存在准则

函数极限的运算规则

前面已经学习了数列极限的运算规则，我们知道数列可作为一类特殊的函数，故函数极限的运算规则与数列极限的运算规则相似。

函数极限的运算规则

若已知x→x0(或x→∞)时，.

则：

推论：

在求函数的极限时，利用上述规则就可把一个复杂的函数化为若干个简单的函数来求极限。

例题：求

解答： 例题：求

此题如果像上题那样求解，则会发现此函数的极限不存在. 我们通过观察可以发现此分式的分子

和分母都没有极限，像这种情况怎么办呢？下面我们把它解出来。 解答：

注：通过此例题我们可以发现：当分式的分子和分母都没有极限时就不能运用商的极限的运算规则了，应先把分式的分子分母转化为存在极限的情形，然后运用规则求之。

函数极限的存在准则

学习函数极限的存在准则之前，我们先来学习一下左、右的概念。

我们先来看一个例子：

例：符号函数为

对于这个分段函数,x 从左趋于0和从右趋于0时函数极限是不相同的. 为此我们定义了左、右极限的概念。

定义：如果x 仅从左侧(x＜x 0) 趋近x 0时，

函数与常量A 无限接近，则称A

为函数当时的左极限.

记：

如果x 仅从右侧(x＞x 0) 趋近x 0

时，函数与常量A 无限接近，则称A 为

函数当时的右极限.

记：

注：只有当x→x0

时，函数

的左、右极限存在且相等，方称在x→x0时有极限

函数极限的存在准则

准则一：对于点x 0的某一邻域内的一切x ，x 0点本身可以除外(或绝对值大于某一正数的

一切x) 有

≤≤

，且，

，那末存在，且等于A 。

注：此准则也就是夹逼准则.

准则二：单调有界的函数必有极限.

注：有极限的函数不一定单调有界

两个重要的极限

一：

注：其中e 为无理数，它的值为：e=2.[**************]...

二：

注：在此我们对这两个重要极限不加以证明.

注：我们要牢记这两个重要极限，在今后的解题中会经常用到它们.

例题：求

解答：令，则x=-2t，因为x→∞，故t→∞，

则

注：解此类型的题时，一定要注意代换后的变量的趋向情况，象x→∞时，若用t 代换1/x，则t→0.

无穷大量和无穷小量

无穷大量

我们先来看一个例子：

已知函数，当x→0

时，可知，我们把这种情况称为趋

向无穷大。

为此我们可定义如下：

设有函数

y=，在x=x0的去心邻域内有定义，对于任意给定的正数N (一个任意

大的数) ，总可找到正数δ，

当时，成立，

则称函数当

时为无穷大量

。记为：（表示为无穷大量，实际它是没有极限的）

同样我们可以给出当

x→∞时，无限趋大的定义：

设有函数

y=，当x 充分大时有定义，对于任意给定的正数N (一个任意大的数) ，

总可以找到正数M

，当时，成立，则称函数当x→∞时是无穷大量，记

为：

无穷小量

以零为极限的变量称为无穷小量。

定义：设有函数，对于任意给定的正数ε(不论它多么小) ，总存在正数δ(或

正数M ) ，使得对于适合不等式(或) 的一切x ，所对应的函数值满

足不等式

，则称函数当(或x→∞)时 为无穷小量.

记作：(或)

注意：无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量，不是常量，只有0可作为无穷小量的

唯一常量。

无穷大量与无穷小量的区别是：前者无界，后者有界，前者发散，后者收敛于0.

无穷大量与无穷小量是互为倒数关系的.

关于无穷小量的两个定理

定理一：如果函数

在(或x→∞)时有极限A ，

则差是当(或x→∞)时的无穷小量，反之亦成立。

定理二：无穷小量的有利运算定理

a)：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；

b)：有限个无穷小量的积仍是无穷小量；

c)：常数与无穷小量的积也是无穷小量.

无穷小量的比较

通过前面的学习我们已经知道，两个无穷小量的和、差及乘积仍旧是无穷小. 那么两

个无穷小量的商会是怎样的呢？

好！接下来我们就来解决这个问题，这就是我们要学的两个无穷小量的比较。

定义：设α，β

都是时的无穷小量，且β在x 0的去心领域内不为零，

a)

：如果，则称α是β的高阶无穷小或β是α的低阶无

穷小；

b)

：如果，则称α和β是同阶无穷小；

c)

：如果，则称α和β是等价无穷小，记作：α∽β(α与

β等价)

例：

因为，所以当x→0时，x 与3x 是同阶无穷小；

因为，所以当x→0时，x 2是3x 的高阶无穷小；

因为，所以当x→0时，sinx 与x 是等价无穷小。

等价无穷小的性质

设

，且

存在，则.

注：这个性质表明：求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来

代替，因此我们可以利用这个性质来简化求极限问题。

例题：1. 求

解答：当x→0时，sin ax ∽ax ，tan bx ∽bx ，故：

例题： 2.求

解答：

注：

注：从这个例题中我们可以发现，作无穷小变换时，要代换式中的某一项，不能只

代换某个因子。

函数的一重要性质——连续性

在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的. 这种现

象在函数关系上的反映，就是函数的连续性

在定义函数的连续性之前我们先来学习一个概念——增量

设变量x 从它的一个初值x 1变到终值x 2，终值与初值的差x 2-x 1就叫做变量x 的增量，

记为：△x ，即：△x=x2-x 1 。增量△x 可正可负.

我们再来看一个例子：

函数在点x 0的邻域内有定义，当自变量x 在领域内从

x 0变到x 0+△x 时，函数y

相应地从

变到，其对应的增量为：

这个关系式的几何解释如下图：

现在我们可对连续性的概念这样描述：如果当△x 趋向于零时，函数y 对应的增量△y

也趋向于零，即：

那末就称函数在点x 0处连续。

函数连续性的定义：

设函数在点x 0

的某个邻域内有定义，如果有

称函数

在点x 0处连续，且称x 0

为函数的的连续点.

下面我们结合着函数左、右极限的概念再来学习一下函数左、右连续的概念：

设函数在区间(a,b]

内有定义，如果左极限

存在且等于，

即：

=

，那末我们就称函数在点b 左连续.

设函数在区间[a,b)

内有定义，如果右极限

存在且等于，

即：

=

，那末我们就称函数在点a 右连续.

一个函数在开区间(a,b)内每点连续, 则为在(a,b)连续，若又在a 点右连续，b 点左

连续，则在闭区间[a，b]连续，如果在整个定义域内连续，则称为连续函数。

注：一个函数若在定义域内某一点左、右都连续，则称函数在此点连续，否则在此点不连

续.

注：连续函数图形是一条连续而不间断的曲线。

通过上面的学习我们已经知道函数的连续性了，同时我们可以想到若函数在某一点

要是不连续会出现什么情形呢？接着我们就来学习这个问题：函数的间断点

函数的间断点

定义：我们把不满足函数连续性的点称之为间断点.

它包括三种情形： a) ：在x 0无定义；

b) ：在x→x0时无极限；

c) ：在x→x0

时有极限但不等于；

下面我们通过例题来学习一下间断点的类型：

例1： 正切函数

在

处没有定义，所以点

是函数的

间断点，因

，我们就称为函数的无穷间断点；

例2：函数在点x=0处没有定义；故当x→0时，函数值在-1与+1之间变动

无限多次，我们就称点x=0

叫做函数的振荡间断点；

例3：函

数当x→0时，左

极限，右

极限

，从这我们可以看出函数左、右极限虽然都存在，但不相等，故函数在点

x=0是不存在极限。

我们还可以发现在点x=0时，函数值产生跳跃现象，为此我们把这种间断点

称为跳跃间断点；

我们把上述三种间断点用几何图形表示出来如下:

间断点的分类

我们通常把间断点分成两类：如果x 0

是函数的间断点，且其左、右极限都存在，

我们把x 0

称为函数的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类

间断点.

可去间断点

若x 0

是函数

的间断点，但极限存在，那末x 0是函数的第一类间断点。此时函数不连续原因是：

不存在或者是存在但≠。我们令

，则可使函数在点x 0处连续，故这种间断点x 0称为可去间断

点。

连续函数的性质及初等函数的连续性

连续函数的性质

函数的和、积、商的连续性

我们通过函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则，可得出以下结论：

a)：有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数；

b)：有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数；

c)：两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数(分母在该点不为零) ；

反函数的连续性

若函数在某区间上单调增(或单调减) 且连续，那末它的反函数也

在对应的区间上单调增(单调减) 且连续。

例：函数

在闭区间上单调增且连续，

故它的反函数在

闭区间[-1,1]上也是单调增且连续的。

复合函数的连续性

设函数当x→x0时的极限存在且等于a ，即：.

而函数

在点u=a

连续，那末复合函数当x→x0时的极限也存在

且等于.

即：

例题：求

解答：

注：

函数可

看作

与复合而成，且

函数

在点u=e连续，因此可得出上述结论。

设函数在点x=x0连续，且，

而函数在点u=u0连续，那

末复合函数在点x=x0也是连续的

初等函数的连续性

通过前面我们所学的概念和性质，我们可得出以下结论：

基本初等函数在它们的定义域内都是连续的；一切初等函数在其定义域内也都是连续

的.

下面我们再来学习一下——闭区间上连续函数的性质

闭区间上连续函数的性质

闭区间上的连续函数则是在其连续区间的左端点右连续，右端点左连续. 对于闭区间

上的连续函数有几条重要的性质，下面我们来学习一下：

最大值最小值定理

在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。(在此不作证明)

例：函数y=sinx在闭区间[0，2π]上连续，

则在点x=π/2处，它的函数值为1，且大于闭区间[0，2π]上其它各点出的函数值；

则在点x=3π/2处，它的函数值为-1，且小于闭区间[0，2π]上其它各点出的函数值

介值定理

在闭区间上连续的函数一定取得介于区间两端点的函数值间的任何值。 即：，，μ在α、β之间，则在[a，b]间一定有一个ξ，使

推论：在闭区间连续的函数必取得介于最大值最小值之间的任何值。

导数的概念

在学习到数的概念之前，我们先来讨论一下物理学中变速直线运动的瞬时速度的问

题。

例：设一质点沿x 轴运动时，其位置x 是时间t

的函数，，求质点在t 0

的瞬时速度？

我们知道时间从t 0有增量△t

时，质点的位置有增量，

这就是质点在时间段△t的位移。因此，在此段时间内质点的平均速度为：

.

若质点是匀速运动的则这就是在t 0的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还

不是质点在t 0时的瞬时速度。

我们认为当时间段△t无限地接近于0时，此平均速度会无限地接近于质点t 0时的

瞬时速度，

即：质点在t 0时的瞬时速度

=

为此就产生了导数的定义，如下：

导数的定义

设函数在点x 0的某一邻域内有定义，当自变量x 在x 0处有增量△x(x+△x

也在该邻域内) 时，相应地

函数有增量

，

若△y与△x之比当△x→0时极限存在，

则称这个极限值为在x 0处的导数。

记为：

还可记为：，

函数在点x 0

处存在导数简称函数在点x 0处可导，否则不可导。

若函数在区间(a,b)

内每一点都可导，就称函数在区间(a,b)内可导。这

时函数对于区间(a,b)内的每一个确定的x 值，都对应着一个确定的导数，这就

构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数的导函数。

注：导数也就是差商的极限

左、右导数

前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导

数的概念。

若极限

存在，我们就称它为函数在x=x0处的左导数。

若极限

存在，我们就称它为函数在x=x0处的右导数。

注：函数在x 0

处的左右导数存在且相等是函数在x 0处的可导的

充分必要条件

函数的和、差求导法则

函数的和差求导法则

法则：两个可导函数的和(差) 的导数等于这两个函数的导数的和(差).

用公式可写为：。其中u 、v 为可导函数。

例题：已知

，求

解答：

例题：已知

，求

解答：

函数的积商求导法则

常数与函数的积的求导法则

法则：在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去。用公式可写成：

例题：已知

，求

解答： 函数的积的求导法则

法则：两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数乘第二个因子，加上第一个因子乘第二

个因子的导数。用公式可写成：

例题：已知

，求

解答：

注：若是三个函数相乘，则先把其中的两个看成一项。

函数的商的求导法则

法则：两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母导数乘积减去分母导数与分子导数的乘

积，在除以分母导数的平方。用公式可写成：

例题：已知

，求

解答：

复合函数的求导法则

在学习此法则之前我们先来看一个例子!

例题：求=?

解答：由于

，故 这个解答正确吗?

这个解答是错误的，正确的解答应该如下：

我们发生错误的原因是是对自变量x 求导，而不是对2x 求导。

下面我们给出复合函数的求导法则

复合函数的求导规则

规则：两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变

量的导数。用公式表示为：，其中u 为中间变量

例题：已知

，求

解答：设, 则

可分解为, 因此

注：在以后解题中，我们可以中间步骤省去。

例题：已知

，求

解答：

反函数求导法则

根据反函数的定义，函数

为单调连续函数，则它的反函数, 它也

是单调连续的.

为此我们可给出反函数的求导法则，如下(我们以定理的形式给出) ：

定理：若

是单调连续的，且

，则它的反函数在点x 可

导，且有：

注：通过此定理我们可以发现：反函数的导数等于原函数导数的倒数。

注：这里的反函数是以y 为自变量的，我们没有对它作记号变换。

即：

是对y

求导，是对x 求导

例题：求的导数.

解答：

此函数的反函数为，故则：

例题：求的导数.

解答：

此函数的反函数为，故则：

高阶导数

我们知道，在物理学上变速直线运动的速度v(t)是位置函数s(t)对时间t 的导数，即：

，而加速度a 又是速度v 对时间t 的变化率，即速度v 对时间t 的导数：

，或

。这种导数的导数叫做s 对t 的二阶导数。下

面我们给出它的数学定义：

定义：函数

的导数仍然是x 的函数.

我们把的导数叫做

函数的二阶导数，记作或

，即：或.

相应地，把

的导数

叫做函数的一阶导数.

类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数，叫做四阶导数，…，一般地(n-1)阶导数的导数叫做n 阶导数.

分别记作：

，

，…，或

，

，…，

二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。

由此可见，求高阶导数就是多次接连地求导，所以，在求高阶导数时可运用前面所学的求导方法。

例题：已知

，求

解答：因为=a，故=0

例题：

求对数函数的n 阶导数。

解答：

，，，，

一般地，可得

隐函数及其求导法则

我们知道用解析法表示函数，可以有不同的形式.

若函数y 可以用含自变量x 的算式表示，像y=sinx，y=1+3x等，这样的函数叫显函数. 前面我们所遇到的函数

大多都是显函数.

一般地，如果方程F(x,y)=0中，令x 在某一区间内任取一值时，相应地总有满足此方程的y 值存在，则我们就

说方程F(x,y)=0在该区间上确定了x 的隐函数y.

把一个隐函数化成显函数的形式，叫做隐函数的显化。

注：有些隐函数并不是很容易化为显函数的，那么在求其导数时该如何呢？

下面让我们来解决这个问题！

隐函数的求导

若已知F(x,y)=0，求时，一般按下列步骤进行求解：

a)：若方程F(x,y)=0，

能化为的形式，则用前面我们所学的方法进行求导； b)：若方程F(x,y)=0

，不能化为的形式，则是方程两边对x 进行求导，并把y 看成x

的函数，用复合函数求导法则进行。

例题：已知

，求

解答：此方程不易显化，故运用隐函数求导法.

两边对x 进行求导，

故

=

注：我们对隐函数两边对x 进行求导时，一定要把变量y 看成x 的函数，然后对其

利用复合函数求导法则进行求导。

例题：

求隐函数，在x=0处的导数

解答：两边对x 求导

故

当x=0时，y=0.故

有些函数在求导数时，若对其直接求导有时很不方便，像对某些幂函数进行求导时，有没有一种比较直观的方法呢？

下面我们再来学习一种求导的方法：对数求导法

对数求导法

对数求导的法则

根据隐函数求导的方法，对某一函数先取函数的自然对数，然后在求导。

注：此方法特别适用于幂函数的求导问题。

例题：已知x ＞0，求

此题若对其直接求导比较麻烦，我们可以先对其两边取自然对数，然

后再把它看成隐函数进行求导，就比较简便些。如下

解答：先两边取对数：

把其看成隐函数，再两边求导

因为

，所以

例题：

已知

，求

此题可用复合函数求导法则进行求导，但是比较麻烦，下面我们利用

对数求导法进行求导

解答：先两边取对数

再两边求导

因为

，所以

函数的微分

学习函数的微分之前，我们先来分析一个具体问题：

一块正方形金属薄片受温度变化的影响时，其边长由x 0变到了x 0+△x，则此薄片的面积改变了多少？ 解答：设此薄片的边长为x ，面积为A ，则A 是x 的函数： 薄片受温度变化的影响面积的改变量，可以看成是当自变量x 从x 0取的增量△x时，函数A 相应的增量△A，

即：

从上式我们可以看出，△A分成两部分，第一部分是△x的线性函数，即下图中红色部分；

第二部分即图中的黑色部分，

当△x→0时，它是△x

的高阶无穷小，表示为：

由此我们可以发现，如果边长变化的很小时，面积的改变量可以近似的用地一部分来代替。 下面我们给出微分的数学定义：

函数微分的定义

设函数在某区间内有定义，x 0及x 0+△x在这区间内，若函数的增量可表示

为

，其中A 是不依赖于△x的常数，是△x的高阶无穷小，

则称函数

在点x 0可微的。

叫做函数在点x 0相应于自变量增量△x的微分，记作dy

，即：=

通过上面的学习我们知道：微分是自变量改变量△x的线性函数，dy 与△y

的差是关于△x的高阶无穷小量，我们把dy 称作△y的线性主部。于是我们又得出： 当△x→0时，△y≈dy.

导数的记号为：，

现在我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的比值(把△x看成dx, 即:定义自变量的增量等于自变量的微分)

，还可表示为：

由此我们得出：若函数在某区间上可导，则它在此区间上一定可微，反之亦成立。 微分形式不变性

什么是微分形式不变性呢？

设

，则复合函数

的微分为：，

由于

，故我们可以把复合函数的微分写成

由此可见，不论u 是自变量还是中间变量，的微分dy

总可以用与du 的乘积来表示。 我们把这一性质称为微分形式不变性。

例题：已知，求dy

解答：把2x+1看成中间变量u ，根据微分形式不变性，则

通过上面的学习，我们知道微分与导数有着不可分割的联系，前面我们知道基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，那么基本初等函数的微分公式和微分运算法则是怎样的呢？

下面我们来学习———基本初等函数的微分公式与微分的运算法则

基本初等函数的微分公式与微分的运算法则

基本初等函数的微分公式

由于函数微分的表达式为：，于是我们通过基本初等函数导数的公式可得出基本初等函数微分的公式，下面我们用表格来把基本初等函数的导数公式与微分公式对比一下：(部分公式)

微分运算法则

由函数和、差、积、商的求导法则，可推出相应的微分法则. 为了便于理解，下面我们用表格来把微分的运算法则与导数的运算法则对照一下：

复合函数的微分法则就是前面我们学到的微分形式不变性，在此不再详述。

例题：设，求对x 3的导数

解答：根据微分形式的不变性

微分的应用

微分是表示函数增量的线性主部. 计算函数的增量，有时比较困难，但计算微分则比较简单，为此我们用函数的微分来近似的代替函数的增量，这就是微分在近似计算中的应用.

例题：求的近似值。

解答：我们发现用计算的方法特别麻烦，为此把转化为求微分的问题

故其近似值为1.025(精确值为1.024695