圆锥曲线教案 双曲线的几何性质教案

圆锥曲线教案 双曲线的几何性质教案

教学目标

1．通过课堂讨论让学生探究、推导、并初步掌握双曲线的基本性质． 2．通过探究双曲线的性质，培养学生运用数形结合的思想，用联想、类比、归纳的方法，提高解决问题的能力．

教学重点与难点

双曲线的渐近线既是重点也是难点． 教学过程

师：上节课我们根据双曲线的定义推导出双曲线的标准方程．今天我们以其标准方程为工具，研究双曲线的几何性质．

请同学们对比椭圆性质的讨论，谈谈这一问题．

生：双曲线也应有范围、对称性、顶点、离心率的问题． 师：好！那么请同学们动手做．

(目的是让学生产生联想椭圆时的情景，用类比方法推导双曲线范围，……联想和类比也是数学中非常重要的思维方法．

)

师：这个结果说明了什么？

(这时写板书：1．范围：x ≥a 或x ≤-a ，y ∈R )

生：双曲线在两条平行直线x=±a 的两侧，而在两条平行线x=±a 之间没有图象．

生：同理双曲线的范围是：y ≥a 或y ≤-a ，x ∈R ．

生：在标准方程中，把x 换成-x ，或把y 换成-y ，或把x ，y 同时换成-x ，-y 时，方程都不变，所以图形关于y 轴、x 轴和原点都是对称的．

师：很好，这说明坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心．双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．

(板书：2．对称性：双曲线的对称轴是x 轴、y 轴，原点是它的对称中心．) 请大家回忆一下什么叫做曲线的顶点． 生：曲线与它的对称轴的交点叫做曲线的顶点．

师：那么咱们一起来判断一下，双曲线有几个顶点？顶点的坐标是什么？

这说明双曲线有两个顶点，A 1(-a，0) ，A 2(a，0) ．

师：不错，但大家要注意，一般曲线的顶点不一定在坐标轴上，而

轴上的两个特殊点B 1(0，-b) ，B 2(0，b) 可看作双曲线与y 轴的两个虚交点(这个问题待同学们学习复数之后将可以作出解释) ．这两个点在双曲线中也具有举足轻重的作用．我们称B 1B 2为双曲线的虚轴，所以虚轴|B1B 2|的长为2b ．

(板书：3．顶点：A 1(-a，0) 、A 2(a，0) ，称A 1A 2为实轴，B 1B 2

的实轴长与虚轴长相等，称其为等轴双曲线x 2-y 2＝a 2．)

(前面这些内容可由椭圆类比过来，学生不会感到困难，下面进入这节课的难点渐近线，思维从问题开始．)

师：椭圆与双曲线还有一个最大不同是曲线的范围及其走向．曲线的范围与走向是我们研究曲线性质的一个重要方面，因为它可以为我们绘制曲线的草图提供依据，那么大家想想双曲线的走向是什么样的呢？谁能比较准确地画出双曲线？

师：很好，别的同学还有什么补充？

生：根据双曲线与x 轴对称可知它在第四象限是减函数．又根据双曲线与y 轴对称可知在第二，第三象限分别是减函数和增函数．

师：只知道函数的增减性，是不能准确地作出图形的，我们还知道什么呢？ 生：可以用描点法．

师：通过列表描点，我们能把双曲线顶点及其附近的点比较精确地画出来．但双曲线向何处伸展就不清楚了，怎么办呢？

生：没人回答．

(学生的思维受到了阻力，老师可以给点帮助．) 师：过去我们学过双曲线吗？

越来越接近x 轴和y 轴．

线它们有没有渐近线呢？如果有的话，它们的渐近线是什么呢？ (稍停，让学生思考．)

师：刚才我们讨论了双曲线的范围、对称性、顶点，我们回忆一下，

-a 2≥0，所以x ≤-a 或x ≥a ，从而得出了双曲线在两条平行线x=±a 的两侧，我们能不能把双曲线的范围再缩小一点？让我们先看看双曲线

(再让学生思考一下

)

指出区域．

)

区域的范围．

经过A 1A 2作y 轴平行线x=±a ，经过B 1B 2作x 轴平行线y=±b ，

与这两条直线逐渐接近，谁能来试一试证明这个结论？

x 越来越近，再具体点．

生：在第一象限内，双曲线上任一点M(x，y) ，当x 无限增大，点

师：咱们一起证明一下：(让学生说，老师适当整理书写．

)

(学生思路受阻，不知所措．)

师：这个式子告诉我们，当x 无限增大时，分母为常数，而分子是一个无穷减无穷的绝对值，看不清楚这个距离是否趋于零，需要继续变形．我们能不能让分子为常数，而分母为无穷大呢？谁有办法？

师：这个结果告诉我们什么？你能解释一下吗？

生：当x 无限增大时，分子是常数而分母是无穷大，也就是说当

x

线的对称性，在其他象限内也有类似的情况．

生：由于实轴在y 轴上的双曲线方程是将实轴在x 轴上的双曲线方

师：这样，我们就比较完满地解决了画双曲线远处的走向问题，从

例1 求下列双曲线的渐近线方程(写成直线的一般式) ，并画出双曲线． (1)4x2-9y 2=36

6

(3)25x2-4y 2=100

100

请看结果：

双曲线4x 2-9y 2=36，渐近线方程是：2x ±3y=0， 双曲线4x 2-9y 2=-36，渐近线方程是：2x ±3y=0， 双曲线25x 2-4y 2=100，渐近线方程是：5x ±2y=0， 双曲线25x 2-4y 2=-100，渐近线方程是：5x ±2y=0．

师：可以发现，双曲线方程与其渐近线方程之间似乎存在某种规律(启发学生讨论，归纳) ．

生：每项开平方，中间用正、负号连接起来，常数项改为零，就得到渐近线方程．

师：谁还补充？

生：以各项系数绝对值的算术平方根为x ，y 的系数，且用正负号连接起来等于零，就是渐近线方程．

师：还有吗？

(4)25x2-4y 2=-(2)4x2-9y 2=-3

生：如果两个曲线方程的二次项相同，那么渐近线方程就相同，与常数项无关．

生：反过来，渐近线的方程相同，双曲线方程的二次项就相同，常数可以不同．

生：应该说二次项系数成比例．

师：大家揭示了其中的规律．但是，大家的回答还不够严格，也不够简洁，是否可以归纳出一种方法，把双曲线方程处理一下，就得到渐近线方程？

是特殊的双曲线．这个结论很容易记忆．

最后我们讨论双曲线的离心率．

离心率．)

那么双曲线的离心率与椭圆的离心率有什么不同？ 生：因为c ＞a ，所以双曲线的离心率e ＞1．

师：除了离心率的范围不同以外，双曲线的形状与e 有什么关系？

师：谁能解决这个问题？

师：从这个题的解法过程，能否得到更一般的结论．

任一点到两条渐近线的距离的积． 师：还能得到什么结论？

生；此题是否还可改为证明题．即证明：双曲线上任一点到两渐近线的距离之积是个常数．

师：谁来证明这个结论？

师：下面小结一下今天课所讲的内容： 把椭圆、双曲线性质列表如下，让学生填写．

作业：

第91页练习：2，3．习题七：1，3，4． 设计说明

1．本节课的内容是通过双曲线方程推导研究双曲线的性质，采用把椭圆的性质类比到双曲线上来，让学生自己得到一些类似的结论．一句话，在教学中，凡是经过努力学生自己能得到的结论应该让学生自己得到，凡是难度不大，经过努力学生自己能解决的问题，应该让学生自己解决．这样有利于调动学生学习的积极性，有利于刺激和激发学生的学习兴趣，同时也有利于学生建立信心，使他们的主动性得到淋漓尽致的发挥，从中提高学生的思维能力和解决问题的能力． 2．这节课的难点是双曲线的渐近线，故采取了有目的的精心巧妙地存疑设问，用悬念激发学生的情趣，促进思考，根据已知与未知、新知识与旧知识、现象与本质之间的矛盾来明确探索课题．这样引入双曲线渐近线比较自然而且合理推理，从而提出问题，解决问题，善始善终．

4．课中的例2，让学生做完后，采取继续反思、一题多变、一题多解的训练，这样做好处是多方面的．第一，每做完一个题都让学生养成一个反思的好习惯，这题还有没有其他解法？比较一下它们的优劣．第二，这题还能不能引申？第三，把已知和结论适当地调整，这题还能不能成立？第四，此题的结论是否有推广的价值？从而通过做一个题相当于做一类题，以少胜多，真正地摆脱题海战术对学生的无情摧残．从根本上提高教学效果，使学生在做题中，总结规律，发展思维，提高知识的应用能力和提出问题、解决问题的能力．