勒让德函数
在特殊函数中的应用
1作出0-4阶勒让德函数图形
>>x=0:0.01:1;
y0=legendre(0,x);y1=legendre(1,x);y2=legendre(2,x);y3=legendre(3,x);y4=legendre(4,x);
plot(x,y0(1,:),'g*',x,y1(1,:),'b+',x,y2(1,:),'ro',x,y3(1,:),'k:',x,y4(1,:),'r:')
>>legend('P_0','P_1','P_2','P_3','P_4');title('Legendre')>>
(仿真结果)
2作出二阶连带勒让德函数图形
>>x=0:0.01:1;y=legendre(2,x);
plot(x,y(1,:),'g*',x,y(2,:),'b+',x,y(3,:),'ro')>>legend('P_2^0','P_2^1','P_2^2')
3作出三阶连带勒让德函数图形
>>x=0:0.01:1;y=legendre(3,x);
plot(x,y(1,:),'g*',x,y(2,:),'b+',x,y(3,:),'ro',x,y(4,:),'k:')>>
legend('P_3^0','P_3^1','P_3^2','P_3^3')
4作出整数阶贝塞尔函数的图形
>>clear
y=besselj(0:5,(0:0.2:10)');plot((0:0.2:10)',y)ylabel('j_v(x)')
xlabel('x')
legend('J_0','J_1','J_2','J_3','J_4','J_5')text(1,0.8,'J_0(x)')text(2,0.6,'J_1(x)')text(3,0.5,'J_2(x)')text(4.2,0.4,'J_3(x)')text(5.1,0.4,'J_4(x)')>>
text(6.5,0.4,'J_5(x)')
Legendre 函数
2007年12月13日星期四01:00
Legendre 函数在解圆平台上电势场时必然遇到的,是在极坐标下考察纬度变量时必然会遇到的。
1. 氢原子波函数的角度部分:用MATLAB 来画一画:l=0,m=0,即s 轨道角度部分:t=0:0.01:2*pi;
y0n=legendre(0,cos(t),'sch');
polar(t,y0n(1,:).^2);
l=1,m=0,+1,-1即p 轨道角度部分:t=0:0.01:2*pi;
y1n=legendre(1,cos(t),'sch');polar(t,y1n(1,:).^2,'r');hold on;
polar(t,y1n(2,:).^2,'g');
l=2,m=0,+1,-1,+2,-2即d 轨道角度部分:t=0:0.01:2*pi;
y2n=legendre(2,cos(t),'sch');polar(t,y2n(1,:).^2,'r');%d(z^2)hold on;
polar(t,y2n(2,:).^2,'g');polar(t,y2n(3,:).^2,'b');
Legendre 多项式
函数
(7.12)
由于展开式
(7.13)
而称为Legendre(勒让德)多项式的母函数。展开项系数称为Legendre 多项式,下节将证明它满足Legendre 方程式(7.11)。称为阶。
将式(7.13)左边利用二项式定理展开,有
在上式中,含有
的项只出现在含的项和以前各项中。在这些项中,将含的各项展成幂级数,并找出所有含
的项,其系数合为
(7.13)
其中,
这是因为当时,求和中最低幂项是
,当时,最低幂项是。
Legendre
多项式的具体形式写成
(7.14)
Legendre 多项式的另一微商表达式是
Rodrigues(洛德利格)公式
(7.15)
(7.14)式和(7.15)的正确性可以代入Legendre 方程式(7.11)直接证明。
由式(7.14)和(7.15)可得出前几阶Legendre
多项式具体形式
图7.1显示
在区间〔-1,1〕上的图形,一般有
图7.1Legendre 函数P n (x ) ( n 0, 1, 2, 3, 4,40) 第二类Legendre 函数
值得一提的式,Legendre方程(7.11)应有另一个独立的解,这个解称为第二类Legendre 函数,记为
。其形式为
等一般的形式是
部
由于的对数形式,第二类Legendre 函数在边界是无界的(并非全)。因此不能构成Legendre 方程的本征函数系,所以,对将不在
作讨论。
Legnedre 多项式的零点
的零点都是一阶的,全部位于区域〔-1,1〕内。且与的零点
相互穿插,在的两个相邻零点之间必有一个的零点;反之亦然。
2.3Legnedre 多项式的性质
Legendre 多项式的性质如下:递推公式
①
(7.16)
(7.17)
(7.18)(7.19)
②对称性
③
(7.21)(7.20)
特殊点的值
④⑤
(7. 22)
(7. 23)
⑥
积分表达形式
⑦
Laplace 第一积分
⑧取
,由式(7.26)得
取
,由式(7.26)得
⑨
Laplace 第二积分
(7.25)
(7.26)(7.27)
(7.24)
⑩(7.28)
积分公式
(7.29)
(7.30)
(7.31)
利用Rodrigues 公式(7.15)可证明积分公式,下面证明方程(7.31)。利
用式(7.15),有
将积分作次分部积分,然后设
,并利用积分公式
得
下面由母函数入手,证明Legendre 多项式得递推公式,将母函数式(7.12)
写下
(7.12)
对式(7.12)两边取
导数,得
用
乘上两边,得
将上式左边中母函数再作展开,得等式
(7.32)
比较(7.32)式两边项得系数,得递推关系。
这是式(7.20)的结果。
同理,对式(7.12)两边的求导,得
将上式两边乘以
,并将左边母函数展开,得
(7.33)
比较
项的系数,得
这就是式(7.19)。其它递推公式可依此导出,这里不再证明。
利用母函数,已证明Legendre 式多项式(7.14)满足递推公式(7.16)~(7.20),则式(7.14)是Legendre 方程(7.11)的解。下面证明定理。
定理
设函数是
在〔-1,1〕区间上有一、二阶连续倒数的连续函
数,
若
满足递推公式(7.16)和式(7.17)~(7.20)
,
则
是Legendre
方程
的解。
将递推公式(7.16)两边对求导,得
(7.34)
再将式(7.16)乘以,得
(7.35)
将式(7.34)乘以
,并与式(7.35)相加,得
(7.36)
由式(7.17),将换成,有
(7.37)
将式(7.37)两边对求导,得
(7.38)
或写成
(7.39)
将式(7.39)代入式(7.36),得
(7.40)
再由式(7.16)将式(7.40)中的项替代,最后,得到Legendre
方程
2.4Fourier-Legendre级数
第6章§1.3讨论了区间〔-1,1〕上,Legendre
方程的本征值为
(7.41)
相应的本征函数是Legendre
多项式
(7.42)
由Legendre 方程(7.11)知,。在
边界,因而Legendre
方程的解满足自然边界条件,因而有本征函数正交性
(7.43)
第6章§1.4还讨论了函数在区间〔-1,1〕上用Legendre 函数展成的广义Fourier 级数,称为Fourier-Lengendre级数。
模
计算如下:将母函数式(7.12)两边平方,得
(7.47)
Fourier-Lengendre级数展开定理
若在区间〔-1,1〕上连续,或有限第一类间断点,那么,Fourier-Lengendre级数
(7.44)
其中(7.45)(7.46)
在〔-1,1〕上的连续点收敛于
;在
;在的间断点,则收敛于平均值;在
,级数收敛于
。
,收敛于
将方程(7.47)两边对从-1到1积分,
并利用正交关系式
(7.43)可知式(7.47)右边的第二项积分等于零。于是,有
(7.48)
式(7.48)左边的积分可完成为
(7.49)
将式(7.49)与式(7.48)的右边相比较,得
【例7.1】在〔-1,1〕区间上,试求级数。
解
设
展成Fourier-Lengendre
根据积分公式(7.30)可知,当
时,所有积分等于零,即
利用式(7.29),计算得
(被积函数是奇函数)
于是有
由上述计算可得出以下结论:在的Fourier-Lengendre级数中,若是奇数,只含奇数阶Lengendre 多项式;若为偶数,只含偶数阶Lengendre 多项式。且Lengendre 多项式的阶数最高阶为。
下面列出部分的Fourier-Lengendre
多项式的阶数:
2.5具有轴对称性的物理问题举例
由本章§1的讨论可归纳出具有轴对称性的物理问题的形式解。把对称轴取作求坐标的轴,Helmholtz
方程描写的轴对称问题形式解为
(7.50)
Laplace
方程描写的轴对称问题的形式解:
(7.51)
对于球内问题,有
对于球外问题,
应为零。
【例7.2】半径为的均匀带电圆环,总电量为的电势。
,如图7.2,求圆环周围空间
图7.2带电的圆环
解先由Coulomb(库仑)定律求在
轴上的电势,
(7.52)
将式(7.52)作
Laurant(罗朗)展开,得
(7.53)
势(7.53)可看成是形式解(7.51)在得
的边界条件。比较两式,且有,
【例7.3】半径为的半球导体,球面温度保持在,底面温度保持为,如图7.3,
求半导体球内的稳定温度分布。
图7.3半圆形导体
解稳定时,导体内的温度分布满足Laplace 方程。温度分部具有轴对称性。
对于球内问题,由式(7.51)有
(7.54)
边界条件是
(7.55)(7.56)
由式(7.55),有
显然,只有当为奇数时才有
。因而,式(7.54)成为
(7.57)
由式(7.56),有
利用Fourier-Legendre
级数展开定理,有
(7.58)
最后一步积分是利用习题7.2第3①题的结果求得的。将式(7.58)换写成达式,并代入式(7.57),有
(7.59)
表
§3*连带LEGENDRE 多项式
3.1连带LEGENDRE 多项式上节讨论了对称的定解问题,当
(7.10)。当物理问题是非轴对称时,
时,式(7.5)转变成Legendre 方程将式(7.5)写下:
(7.59)
类似地,作代换,令
,式(7.5)变成连带Legendre
方程
(7.60)
式(7.60)的本征值是有本征函数解。设
,只有当取等整数时,式(7.60)才
(7.61)
于是,有
将上述结果代入式(7.60)得
(7.62)
另则,由Legendre 方程(7.11)对
作
次求导,得
(7.63)
比较式(7.63)与(7.62)有
(7.64)
由式(7.61)得到满足方程(7.60)的连带Legendre
多项式
(7.65)
在以上推导中,
阶导数表示为
特别是
3.2连带LEGENDRE 多项式的性质
积分表达式
①
(7.67)
递推公式
②
(7.68)
③④
⑤
对称性
⑥
⑦⑧正交关系
⑨
⑩
(7.69)
(7.70)
(7.71)
(7.75)
(7.76)
(7.72)
(7.73)
(7.74)