混凝土结构设计 课后习题解答

2.4 双向板肋梁楼盖如图2-83所示，梁、板现浇，板厚100mm ，梁截面尺寸均为300mm ×500mm ，在砖墙上的支承长度为240mm ；板周边支承于砖墙上，支承长度120mm 。楼面永久荷载（包括板自重）标准值3kN/㎡，可变荷载标准值5kN/㎡。混凝土强度等级C30，板内受力钢筋采用HRB335级钢筋。试分别用弹性理论和塑性理论计算板的内力和相应的配筋。

解:

1． 按弹性理论计算板的内力和相应的配筋 （1）荷载设计值

g ＝1.2×3=3.6 kN/m2 q ＝1.4×5=7 kN/m2 g +q /2＝3.6+7/2=7.1 kN/m2 q /2＝7/2＝3.5kN/m2 g +q ＝3.6+7=10.6 kN/m2 （2）计算跨度

内跨：l 0＝l c （轴线间距离），边跨l 0＝l c -120+100/2。 （3）弯矩设计值计算

计算板跨内截面最大弯矩值，活荷载按棋盘式布置，为便于计算，将荷载分为正对称荷载(g +q /2) 及反对称荷载(±q /2)。在正对称荷载作用下，中间支座可视为固定支座；在反对称荷载作用下，中间支座可视为铰支座。边支座按实际情况考虑，可视边支座梁的约束刚度按固定或按简支考虑。由于教材附表7的系数是根据材料的泊松比ν=0制定的，故还需根据钢筋混凝土泊松比ν＝0.2调整弯矩设计值。

（4）截面设计

截面有效高度：跨中h 0x =h -30=70mm，h 0y =h -20=80mm，支座截面h 0=h -20=80mm。

各跨中、支座弯矩既已求得，即可近似按A s =

m

，近似取γs =0.9，算出相应的钢筋截面面积。

γs h 0f y

A s , min =max(0. 20%,0. 45

f t 1. 43

=0. 2145%)⨯1000⨯100=214mm 2 /m ) bh =max(0. 20%,0. 45⨯300f y

按弹性理论设计的截面配筋

2． 按塑性理论计算板的内力和相应的配筋 （1）荷载设计值

g +q ＝3.6+7=10.6 kN/m2 （2）计算跨度

内跨：l 0＝l c -b （b 为梁宽），边跨l 0＝l c -120-b /2+100/2。

边区格板B 1：

l x =5.1-0.3=4.8m

l y =4.5-0.12-0.3/2+0.1/2=4.28m

边区格板B 2：

l x =5.1-0.3/2-0.12+0.1/2=4.88m

l y =4.5-0.12-0.3/2+0.1/2=4.28m （3）弯矩及配筋计算

将楼盖划分为B 1、B 2两种区格板，采用分离式配筋，跨中截面及支座截面钢筋均匀布置，每区格

板均取

m y =αm x ，α=

①边区格板B 1：

l ' ' ' '

=(x ) 2，βx =βx ' ' =βy =βy =2. 0 m x l y

m y

弯矩计算

α=(

4. 82

) =1. 26 4. 28

M x =l y m x =4. 28m x

M y =l x m y =αl x m x =1. 26⨯4. 8m x =6. 05m x

' ' '

M x =M x =l y m x =l y m x =βl y m x =2. 0⨯4. 28m x =8. 56m x

'

' '

M y =0

'

' '

M y =l x m y =βl x m y =αβl x m x =1. 26⨯2. 0⨯4. 8m x =12. 10m x

' '

由式（2-36）得

2⨯4. 28m x +2⨯6. 05m x +2⨯8. 56m x +0+12. 10m x =

解得m x =3.28 kN·m/m，于是有

10. 6

⨯4. 282⨯(3⨯4. 8-4. 28) 12

m y =αm x =1. 26⨯3. 28=4. 13kN ·m/m

' ' ' m x =m x =βm x =2. 0⨯3. 28=6. 56kN ·m/m

' m y =0

' ' m y =βm y =αβm x =1. 26⨯4. 13=8. 26kN ·m/m

配筋计算

跨中截面h 0x =h -30=70mm，h 0y =h -20=80mm，支座截面h 0=h -20=80mm。 板中配筋率一般较低，故近似取内力臂系数γs =0.9进行计算。

4. 13⨯106y 方向跨中：A s ===192mm 2 /m

γs h 0y f y 0. 9⨯80⨯300

m y

8. 26⨯106

y 方向支座：A s ===382mm 2 /m

γs h 0y f y 0. 9⨯80⨯300

故y 方向跨中选φ8@200（A s =251 mm2 /m），支座选φ10@200（A s =392 mm2 /m）。

m ' y '

m x 3. 28⨯106

x 方向跨中：A s ===174mm 2 /m

γs h 0x f y 0. 9⨯70⨯300

' m x 6. 56⨯106

x 方向支座：A s ===304mm 2 /m

γs h 0x f y 0. 9⨯80⨯300

故x 方向跨中选φ8@200（A s =251 mm2 /m），支座选φ8@160（A s =314mm2 /m）。

②边区格板B 2：

弯矩计算

4. 882

α=() =1. 30

4. 28

将B 1区格板的m x 作为B 2区格板的m x 的已知值。

' '

'

M x =l y m x =4. 28m x

M y =l x m y =αl x m x =1. 30⨯4. 88m x =6. 34m x

'

M x =l y m x =4. 28⨯6. 56=28. 08kN ·m/m

'

M x =0

' '

M y =0

' ' M y =l x m y =αβl x m x =1. 30⨯2. 0⨯4. 88m x =12. 69m x

' '

'

由式（2-36）得

2⨯4. 28m x +2⨯6. 34m x +28. 08+0+0+12. 69m x =

解得m x =4.11 kN·m/m，于是有

10. 6

⨯4. 282⨯(3⨯4. 88-4. 28) 12

m y =αm x =1. 30⨯4. 11=5. 34kN ·m/m

' m x =6. 56kN ·m/m ' ' m x =0

' m y =0

' ' m y =βm y =2⨯5. 34=10. 68kN ·m/m

配筋计算

跨中截面h 0x =h -30=70mm，h 0y =h -20=80mm，支座截面h 0=h -20=80mm。 板中配筋率一般较低，故近似取内力臂系数γs =0.9进行计算。

5. 34⨯106

y 方向跨中：A s ===247mm 2 /m

γs h 0y f y 0. 9⨯80⨯300

m y

10. 68⨯106

y 方向支座：A s ===494mm 2 /m

γs h 0y f y 0. 9⨯80⨯300

故y 方向跨中选φ8@200（A s =251 mm2 /m），支座选φ10@160（A s =491 mm2 /m）。

m ' y '

m x 4. 11⨯106

x 方向跨中：A s ===217mm 2 /m

γs h 0x f y 0. 9⨯70⨯300

' m x 6. 56⨯106

x 方向支座：A s ===304mm 2 /m

γs h 0x f y 0. 9⨯80⨯300

故x 方向跨中选φ8@200（A s =251 mm2 /m），支座选φ8@160（A s =314mm2 /m）。

第3章 单层厂房结构

3.1 某单跨厂房排架结构，跨度为24m ，柱距为6m 。厂房设有10t 和30/5t工作级别为A4的吊车各一台，吊车有关参数见表3-26，试计算排架柱承受的吊车竖向荷载标准值D max 、D min 和吊车横向水平荷载标准值T max 。 吊车有关参数 表3-26 解：查表3-11得，β=0.9。

（1）吊车梁的支座竖向反力影响线及两台吊车的布置情况（两种）如图所示。 由式（3-6）

⎡4. 75⎤⎛1. 6⎫=D max =β∑P 0. 9⨯12. 5⨯10⨯1++29⨯10⨯y ⎪i max i ⎢⎥=349.12kN 66⎝⎭⎣⎦⎡0. 35+4. 75⎛1. 2⎫⎤=D max =β∑P 0. 9⨯12. 5⨯10⨯+29⨯10⨯y 1+⎪⎥=408.83kN i max i ⎢66⎭⎦⎝⎣

排架柱承受的吊车竖向荷载标准值D max 为408.83kN 。

⎡4. 75⎤⎛1. 6⎫=D min =β∑P 0. 9⨯4. 7⨯10⨯1++7. 0⨯10⨯y ⎪i min i ⎢⎥=103.46kN 66⎝⎭⎣⎦⎡0. 35+4. 75⎛1. 2⎫⎤=D min =β∑P 0. 9⨯4. 7⨯10⨯+7. 0⨯10⨯y 1+⎪⎥=111.56kN i min i ⎢66⎭⎦⎝⎣

排架柱承受的吊车竖向荷载标准值D min 为103.46kN 。

（2）吊车梁的支座竖向反力影响线及两台吊车的布置情况（两种）如图所示。 由式（3-9）和（3-10）可得

11

T 1, k =α(Q +Q 1)=⨯0. 12⨯(10⨯10+3. 8⨯10)=4.14 kN

4411

T 2, k =α(Q +Q 1)=⨯0. 10⨯(30⨯10+11. 8⨯10)=10.45 kN

44

⎡4. 75⎤⎛1. 6⎫

=12.17kN T max =β∑T i y i =0. 9⨯⎢4. 14⨯ 1+⎪+10. 45⨯⎥6⎭6⎦⎝⎣⎡0. 35+4. 75⎛1. 2⎫⎤

T max =β∑T i y i =0. 9⨯⎢4. 14⨯+10. 45⨯ 1+⎪⎥=14.45kN

66⎝⎭⎦⎣

排架柱承受的吊车竖向荷载标准值T max 为14.45kN 。

3.3 如图3-102所示单跨排架结构，两柱截面尺寸相同，上柱

I u =25. 0⨯109mm 4，下柱I l =174. 8⨯108mm 4，混凝土强度等级为C30。吊车竖向荷载在牛腿顶面处产生的力矩M 1=378.94kN ⋅m ，

M 2=63.25kN ⋅m 。求排架柱的剪力并绘制弯矩图。

解：（1）剪力分配系数

λ=

H u 3. 9

==0. 30 H 13. 2

I u 25. 0⨯108n ===0. 143 8

I l 174. 8⨯10

剪力分配系数

ηA =ηB =η=0. 5

（2）计算各柱顶剪力

在A 柱和B 柱的柱顶分别虚加水平不动铰支座，由表3-9中的简图3得

C 3=1.17 因此不动铰支座反力

R A =

M 1-378. 94C 3=⨯1. 17=-33. 59kN （←） H 13. 2M 63. 25R B =2C 3=⨯1. 17=5. 61kN （→）

H 13. 2

撤销附加的不动铰支座，在排架柱顶施加水平集中力-R A 和-R B ，进行剪力分配：

V A ,2=V B , 2=η（-R A -R B ）=0. 5⨯（33. 59-5. 61）=13. 99kN （→）

叠加上述两个状态，恢复结构原有受力状况，即把各柱分配到的柱顶剪力与柱顶不动铰支

座反力相加，即得该柱的柱顶剪力：

V A =V A ，2+R A =-33. 59+13. 99=-19. 60kN （←） V B =V B ，2+R B =5. 61+13. 99=19. 60kN （→）

（3）绘制弯矩图和剪力图

柱顶剪力求出后，按悬臂柱求弯矩图和剪力图，如题3.3图所示。

V A =19.60kN V B =19.60kN

kN ⋅m M 2=63.25（a ）

-19.60kN +19.60kN ⋅m

（b ） （c ）

题3.3图 排架弯矩图和剪力图

kN

3.4 如图3-103所示两跨排架结构，作用吊车水平荷载T max =17.90kN。已知○A 、○C 轴上、下柱的截面惯性矩分别为21. 30⨯108mm 4和

195. 38⨯108mm 4，○B 轴上、下柱的截面惯性矩

分别为72. 00⨯108mm 4和256. 34⨯108mm 4，三根柱的剪力分配系数分别为ηA =ηC =0. 285，

ηB =0. 430，空间作用分配系数μ=0. 9。求各柱剪力，并与不考虑空间作用（μ=1. 0）的计算

结果进行比较分析。

解：1. 考虑空间作用（μ=0. 9）的计算

（1）计算各柱顶剪力

在A 柱、B 柱和C 柱的柱顶分别虚加水平不动铰支座，由表3-9中的简图5得 A 柱、C 柱：C 5=0.60，B 柱：C 5=0.67

由表3-9中的简图5得

由表3-9中的简图5得

因此不动铰支座反力

R A =TC 5=-17. 90⨯0. 60=-10. 78kN （←） R B =TC 5=-17. 90⨯0. 67=-11. 96kN （←）

R C =0

R =R A +R B +R C =-10. 78-11. 96-0=-22.

74kN （←）

（2）将柱顶反力R 乘以空间作用分配系数μ=0. 9，并将它反方向施加于该榀排架的柱顶，按剪力分配法求出各柱顶剪力：

V A ,2=V C , 2=-ηA μR =0. 285⨯0. 9⨯22. 74=5. 83kN （→）

V B,2=-ηB μR =0. 430⨯0. 9⨯22. 74=8. 80kN （→）

（3）将上述两项计算求得的柱顶剪力叠加，即为考虑空间作用的柱顶剪力：

V A ' =R A +V A ，2=-10. 78+5. 83=-4. 95kN （←）

' V B =R B +V B ，2=-11. 96+8. 80=-3. 16kN （←）

' V C =R C +V C ，2=5. 83kN （→）

根据柱顶剪力和柱上实际承受的荷载，按静力悬臂柱可求出各柱的内力，如题3.4图（a ）所示。

kN ⋅m

-4.95kN kN

+12.95kN kN kN

题3.4图（a ） 考虑空间作用排架弯矩图和剪力图

2. 不考虑空间作用（μ=1. 0）的计算

（1）将柱顶反力R 反方向施加于该榀排架的柱顶，按剪力分配法求出各柱顶剪力：

V A ,2=V C , 2=-ηA R =0. 285⨯22. 74=6. 48kN （→）

V B,2=-ηB R =0. 430⨯22. 74=9. 78kN （→）

（2）将上述两项计算求得的柱顶剪力叠加，即为各柱顶剪力：

V A =R A +V A ，2=-10. 78+6. 48=-4. 30kN （←）

V B =R B +V B ，2=-11. 96+9. 78=-2. 18kN （←）

V C =R C +V C ，2=6. 48kN （→）

根据柱顶剪力和柱上实际承受的荷载，按静力悬臂柱可求出各柱的内力，如题3.4图（b ）所示。

kN ⋅m

-4.30kN kN

+13.60kN kN kN

题3.4图（b ）不考虑空间作用排架弯矩图和剪力图

3. 将考虑空间作用（μ=0. 9）与不考虑空间作用（μ=1. 0）的计算结果进行比较，可见，考虑厂房整体空间作用时，上柱内力将增大；又因为V ' 与T max 方向相反，所以下柱内力将减小。由于下柱的配筋量一般比较多，故考虑空间作用后，柱的钢筋总用量有所减少。

3.5 某单跨厂房，在各种荷载标准值作用下A 柱Ⅲ-Ⅲ截面内力如表3-27所示，有两台吊车，吊车工作级别为A5级，试对该截面进行内力组合。