费曼圆盘中角动量的转换与守恒
第21卷第2期2009年6月河南工程学院学报(自然科学版)
J OU RNAL OF H E NAN I N S T I TUTE OF ENG I NEER I NG V o l 21, N o 2
J un . 2009
费曼圆盘中角动量的转换与守恒
张献图, 赵利敏, 尹建龙
1
2
1
(1. 周口师范学院物理与电子工程系, 河南周口466001; 2. 河南工程学院数理科学系, 河南郑州451191)
摘 要:用三种不同的方法对费曼圆盘角动量进行了计算, 分析并论证了稳态电磁场确实具有角动量, 且可与机
械角动量相互转换, 在转换过程中遵循角动量守恒定律.
关键词:费曼圆盘; 稳态电磁场; 角动量
中图分类号:O 442 文献标识码:A 文章编号:1674-330X (2009) 02-0054-04
电磁场作为物质存在的一种形式, 它具有能量、动量和角动量, 并且可以与其他形式的能量、动量和角动量相互转换, 在转换过程中应遵循各自的守恒定律. 其中, 费曼圆盘是涉及这种转换的重要例证. 虽然对费曼圆盘的角动量计算已有研究
[1]
的切线方向, 各带电金属小球受此涡旋电场力的作用, 应具有对转轴的力矩, 使圆盘转动, 从而产生机械角动量. 这两个方面显然存在表现上的矛盾, 该问题的解决又赖于承认稳态电磁场存在角动量. 在计算系统总的角动量时必须考虑到电磁角动量, 圆盘机械角动量的增加是以电磁场角动量的损失来弥补的. 当螺线管中的电流未切断时, 空间电磁场已具有了沿轴线方向上的电磁角动量, 当切断电流后, 电磁场角动量消失, 转化为圆盘同方向的机械角动量.
, 但对转
换过程中费曼圆盘的电磁角动量与机械角动量之间的对应关系并无详细论证. 本文首先介绍费曼圆盘佯谬, 然后对稳态电磁场的总角动量、产生的机械角动量以及建立该稳态电磁场过程中所需要的机械角动量进行了计算, 结果表明整个体系的总的角动量满足守恒定律.
1 费曼圆盘佯谬
一个绝缘的塑料圆盘可绕一根两端光滑的竖直轴转动, 圆盘上固定一个同轴短螺线管, 螺线管中通有恒定电流, 在靠近盘的边缘处彼此等间距地分布着若干小球, 各小球带有等量电荷q . 上述各个部件均固连在一起转动.
对这一问题, 从一个方面看, 由于整个系统在切断电流前后未受到任何外界机械力的作用, 所以在这一过程中系统的角动量应保持不变, 始终为0. 因此, 切断电流后圆盘应不会转动. 但是从另一个角度来看, 在电流被切断后, 磁场变为0,
而磁场的变化将产生涡旋电场, 涡旋电场沿以转轴为圆心的圆周
2. 1 电磁场角动量
为使计算简单, 可以将费曼圆盘用另一模型近似替代, 如图2所示.
[1]
, 如图1所示. 费曼圆盘佯谬提出
图1 费曼圆盘示意图
F i g . 1 Sch e m atic d iagra m of Feynman disc
的问题是:切断螺线管中的电流后, 圆盘会不会
2 费曼圆盘角动量的定量求解和角动量守恒
收稿日期:2009-03-20
作者简介:张献图(1962-), 男, 河南周口人, 副教授, 主要从事凝聚态物理方面的研究.
第2期张献图, 等:
费曼圆盘中角动量的转换与守恒
#55#
∀A !
比较两式可得(! A ) -= . 0nI
也即:
(! A ) = . 0nI !
对于无限长螺线管, 矢势只可能与! 有关, 而与 、z 无关, 则上式可化为d (! A ) = d ! . 0nI !
设螺线管半径为∀, 则对于!
图2 费曼圆盘简化模型
F i g . 2 S i m p lified mode l of Feynm an d isc
∀
! , A (! ) 0, A (0)
d (! A ) = 0nI !
2
nI ! d ! , ∀
!
半径为R 的塑料圆盘, 边缘等间距分布着带等量同种电荷q 的小球. 圆盘置于两个同轴的半无限长直螺线管之间, 两螺线管中通有同一绕向的恒定电流I , 这两个螺线管相距很近, 可近似看作一个无限长直螺线管, 忽略边缘效应后管内的磁感应强度为B = . 其中, n 为线圈密度, 管外磁感应强度为0. 0nI
下面在柱坐标中系中分析载流螺线管产生的电磁场矢势A 的分布. 若电流限制在闭合细导线回路中, 电流强度为I , 则其产生的矢势为:
0I
A ( r ) =
4
d l . r
积分得: A (! ) =
对于! >∀处, 有
∀
2
! , A (! ) 0, A (0)
d (! A ) =
nI ! d ! ∀
!
0nI ∀积分得: A (! ) =
2!
上式也可由B =! ! A 及Stokes 公式求得,
l
A #d l =∀(! ! A ) #d s =∀B #d s = , ∀∀
s
s
为穿过积分闭合回路的磁通量, 选回路及其绕向与矢势A =A e 相同, 则有:
2 !A (! ) =
0nI ! (! ∀
22
,
式中, r 为场点的位矢, r 为电流密度 j 所在处到场点的距离, d l 是与电流方向一致的导线元, 积分沿闭合的导线回路. 由于A 平行于d l , 因而任一园电流线圈乃至整个螺线管产生的矢势只有A 分量A ! =A z =0, 如图3所示
.
[2]
化简后与第一种方法所求结果相同.
如电荷分布所处的圆周的半径为R, 则该处的矢势为:
A =A (R) e =
R 0nI
(R
0nI ∀
e (R>∀) 2R
2
,
,
求得矢势后, 可由此求电磁动量和角动量. 限于篇幅原因, 以下只讨论R
与第i 个电荷q 相应的电磁场动量为:G i =q A =
R q e , 其对圆盘中心的电磁场角动量0nI 2
12 R q e z , 所有N 个电荷相应0nI 2
为:L i =R ! G i =
图3 电磁场矢势的分解示意图
F ig . 3 S ch e m at ic d iagram of vec tor p oten tia l
in e lec tro m agn etic fie ld
的总电磁场角动量为:
L =N L i =
12
R q e z 0N nI 2
(1)
A 0∀A ∀由 B =! ! A = e ! +-! ∀ ∀∀A ! ∀A z 1∀A e +1∀(! e z , -A ) -在螺线管内B = e z , 0nI
2. 2 带电小球所受的涡旋电场力对转轴的角动量
费曼圆盘角动量也可用求解带电小球所受的涡旋电场力的方法得到. 当通过螺线管的电流切断时, 穿过电荷分布所在的圆周回路的磁通量发生改变, 从而使圆周回路中产生感应电动势, 即有涡旋电场.
#56#所以有:#感=
l
河南工程学院学报(自然科学版) 2009年
以力(- f ) 和力矩(-M #). 根据动量矩定理, 这种外
E 涡旋#d l =-d d 2dI
=- R . 0n
d t d t d t
2=- R , 0n d t d t
力矩的作用, 使系统角动量增加, 并以相伴而生的电磁场的形式储存在场所占据的空间中等于系统角动量的增加, 即:
dL =M d t =N qrvBd t =N qr Bd r ,
则在整个过程中外力矩所提供的角动量, 即电磁场获得的总角动量为:
R
[4]
. 在移动小
E 涡旋仍沿上述E 方向, 故有:
2 RE 涡旋=-
球的过程中, d t 时间内外力矩对系统角动量的贡献
. E 涡旋=- 0nR 2d t
涡旋电场作用在第i 个小球上的力矩为:
2 M #i =RqE 涡旋 e z =-R q e ; 0n 2d t z
L =N qB rdr =N q 0nIrdr =
∀
R
∀
2
n 0qIR , 2
(3)
在电流消失过程中涡旋电场作用在第i 个小球上的冲量矩为:
12
e z ; M #i d t =-R q 0ndI
2
第i 个小球获得的角动量为:
022
L i =d L i =M #i dt =-R q e q e z . 0ndI z =0nI
2t 2
写成矢量式为:L =
12
n e z 0qIR 2
这里要说明的是, 上述过程中之所以要将电荷由中心向外移至圆周R 上, 而不是有无穷远移至圆周上, 是为了避免后一种情况下会出现的螺线管缝隙处磁场的边缘效应带来的计算不确定性.
∀∀
∀
所有N 个电荷获得的总的机械角动量为:
L =
12
q e z 0nI 2
(2)
3 结论
在(1) 式中计算了费曼圆盘的稳态电磁场的总角动量, (2) 式中计算了切断电流后稳态电磁场消失时, 产生的对带电小球的涡旋电场力导致的对转轴的机械角动量, (3) 式则计算了建立稳态电磁场的过程中运用的机械角动量. 三者的一致表明, 费曼圆盘中切断电流后, 圆盘将获得机械角动量而转动, 圆盘获得机械角动量是由电磁场角动量转化而来的. 也就是说, 虽然稳态电磁场是不随时间变化的静场, 但其确实具有电磁动量和角动量, 并以环流的形式存在于场空间中, 电磁场的动量、角动量与带电体的机械动量、角动量可以相互转化并在转化过程中守恒, 整个体系的总的动量和角动量保持不变.
参考文献:
[1] 王刚志. 费曼圆盘佯谬与电磁场角动量守恒[J].物
理与工程, 2005, 15(4) :55-56.
[2] 郭硕鸿. 电动力学(第二版) [M].北京:高等教育出
版社, 1997. 105-106.
[3] 陈秉乾, 舒幼生. 电磁学专题研究[M].北京:高等
教育出版社, 2001. 621-625.
[4] 丁成文. 电磁场中的角动量是怎样调集进去的[J].
大学物理, 1987, (10):27-28.
(1) 式计算的是电流未切断之前电磁场的角动量, (2) 式计算的是电流切断过程中涡旋电场作用在带电小球上所产生的角动量, 二者的结果相同, 表明稳态电磁场确实具有角动量并在角动量转化过程中遵循守恒定律
[3]
.
2. 3 从电磁场的建立过程计算电磁角动量
为了进一步说明问题, 下面讨论圆盘周围空间中的电磁角动量是怎样在电磁场的建立过程中聚集起来的, 由于电磁场的最终分布状态与其建立过程无关, 所以可先接通螺线管中的电流, 使其达到稳恒值, 所有N 个电荷最初均位于圆盘中心处, 然后通过机械作用沿圆盘径向向外缓慢地将电荷置于半径为R (R
f =N (q E +q v ! B ),
式中, v 沿圆盘径向向外. 磁场的洛伦兹力对金属小球的力矩为:
M #=N q r ! (v ! B ).
由于小球是对称分布的, 所以电场不会对力矩有贡献. 由此, 通过机械作用将电荷置于圆周的过程中, 必须克服洛伦兹力以及相应的力矩, 对电荷作用
第2期张献图, 等:费曼圆盘中角动量的转换与守恒
#57#
The Transfor m ation and Conservati o n of Angular M om ent u m in Feynm an D isc
ZHANG Xi a ntu , ZHAO Lm i i n , YIN Ji a nl o ng
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2
1
(1. Depart m ent of Phy sics and E lectronic Engineering, Zhoukou N or m al Universit y , Zhoukou 466001, China; 2. Depart m ent of M athe m atical and Physical Sciences , H enan Institute of Engineering, Zhengzhou 451191, China )
Ab stract :In this paper the angular mom entu m of Feyn m an d isc is quantitatively ca lcu l a ted w it h three d ifferent m ethods . It has been
sho w n that angular m om entu m ex i sts i ndeed in a steady e l ectromagneti c fie l d and can be transf o r m ed m utua lly w ith m echan i ∃ca l angu l a r m o m en t u m, and the conservati on l aw i s obeyed i n pro cess o f the transfor m ation .
K ey w ords :F eyn m an d i sc ; steady e lectro m agnetic field ; angular m omentu m
(上接第50页)
Anti ∃synchronization of t he Chaotic Unified Syste m based Observer
LU Yazhou , XU Ji u f e ng
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2
(1. M athe m atics D epart m ent , H enan University, K aifeng 475004, China; 2. H enan C oal Science R esearch Institute Co ., Ltd., Zhengzhou 45001, Ch i n a)
Ab stract :A nti ∃synchroniza ti on i s character i zed by the phenom enon tha t the state vecto rs of synchronized syste m s have t he sa m e abso ∃
l ute va l ues bu t oppos i te si gns . A nti ∃synchron i zati on o f the chaotic unified syste m is i nvestigated usi ng the obse rver tech ∃nique . A ppling the pole p l acementm ethod , based on the state observer , a chaotic anti ∃synchroniza ti on sche m e is des i gned to m ake the chaotic unified sy stem anti ∃synchron ize . T he presented m ethod i s ra t her si m ple and conven ient t o rea lize . T he rate o f ach i ev i ng an ti ∃synchronization is very fast . Nume rical si m ulati ons show the effectiveness of t he proposed scheme .
K ey w ords :the unified chao tic system ; the state observe r ; the po l e p l ace m ent ; anti ∃synchron izati on