机械系统动力学建模的联结方法
第17卷 第1期
1998年 1月机械科学与技术
M ECHAN I CAL SCIEN CE AN D T ECHN O LO GY V ol. 17 N o. l Jan 1998
机械系统动力学建模的联结方法
(Ⅰ) 联结理论的研究
胡新春 严隽琪 简昕源 张 庆 王克胜1
(上海交通大学 上海 200030; 1挪威科技大学 T ro ndheim N -7034)
胡新春
摘 要 对联结理论进行了深入的研究, 该理论的主要目标是试图提供这样一种策略:
通过单元方程来比较容易地确定复杂系统的运动方程。指出了该理论目前存在的问题, 提出了新的研究方向和课题。
关键词 机构系统 动力学 建模方法 联结理论中图号 T H 113
引 言
了解并确定物理系统动态响应的重要性早已为人们所承认。为了对物理系统的动态性能进行分析, 首先要建立系统的动力学方程。随着科学技术的发展, 系统变得越来越高级和复杂。其特点之一是, 系统单元之间的联系状况和约束方式变得极其复杂, 用传统的建模方式往往复杂, 甚至无效; 其特点之二是多学科交叉, 如机电一体化, 这是科学发展的必然趋势。对于这种多学科交叉的系统, 如果用传统的方法, 往往需要同时采用几个领域的建模方法, 这显然增加了建模的困难, 所以必须寻求一种合适的、有效的、通用的建模方法。目前, 已有不少学者在从事这方面的研究工作, 并提出了不同的通用建模方法。其中, 比较有影响的研究成果有联结理论[2]、键图理论[5]、网络图论方法[6]、参考方法[7]等。在这些通用方法中, 我们认为挪威科技大学的Bj Υr ko 教授[2]等提出的联结理论(或制造系统理论) 是比较有发展前景的一种。本文将对该理论的基本理想和建模过程进行深入的研究, 在此基础上, 指出了该理论目前存在的问题, 并提出了新的研究方向和课题。1 联结理论的基本理想
Bj Υr ke 教授等于1990年首先提出联结理论的基本理想:将系统划分为单元, 找出单元间的联结关系, 然后通过单元方程及联结来推导整个系统的运动方程。所以在联结理论中, 系统被划分为两个部分:单元和联结, 如图1所示。显然, 运用联结理论进行系统分析时, 首先应将系统划分为单元, 建立单元方程, 而暂时不考虑单元间的联结。这样一组互不关联的单元可看作是系统的原始状态, 故联结理论称之为“原始系统”, 而实际系统中的单元总是存在某种联结关系, 所以将实际系统定义为“联结系统”, 以区别于“原
西安交通大学机械制造系统国家重点实验室开放基金资助项目08
图1 联结模型 图2 系统变量变换图
始系统”。至于单元如何划分, 并不是绝对的, 可根据具体情况和需要灵活确定。但是, 单元特性应该是已知的, 而单元方程则可由基本的物理定律或经济定律容易地确定。这种化整为零的思想, 简化了复杂系统的建模问题, 同时也便于将建模过程计算机化, 这正是联结理论的精髓和贡献所在。图2总结了联结理论中系统建模与求解的通用过程。即:(1) 划分单元, 建立原始系统。原始系统的方程可由矩阵Y 或Z 确定; (2) 确定单元间的联结。联结由系统特性图的关联矩阵V 或F 来确定; (3) 确定源, 即系统的输入。(4) 列写联结系统的运动方程并求解。
图中各符号的含义如下:
Y , Z :原始系统特性矩阵, Y 与Z 互逆;
V , F :系统特性图的关联矩阵, 表述系统单元间的联结关系;
e , i :单元跨越变量及通过变量矩阵, 表述系统单元的响应;
e s , I s :单元跨越变量及通过变量源列阵;
E N , I N :节点跨越变量及通过变量列阵, 一般用I N 表示节点源, E N 表示节点响应;
e R , i R :区域跨越变量及通过变量列阵, 一般用e R 表示
·20·
区域源, i R 表示区域响应。
机械科学与技术第17卷
表2 广义元件方程的一般式及在不同学科中的具体含义
阻性元件R 感性元件L 容性元件C
一般关系式平动机械转动机械电气系统液压系统改写后的一般式
e =Ri v =F /r w =T /r u =Ri Γ=RQ i =x /R
x =Li x =F /k =T /K i =Li P =LQ i =x /L
h =Ce P =mv L =I w q =cu V =cP i =C ¨x
2 原始系统
原始系统即一组互不关联的单元。由于单元特性已知, 所以单元方程是比较容易被确定的。本文以机、电、液等系统为例, 说明原始系统及联结系统方程生成的过程。2. 1 跨越变量与通过变量为了发展一个通用的方法, 首先应定义一些广义变量, 联结理论采用了跨越变量(acr oss v a riable ) 和通过变量(thro ug h va ria ble) 作为广义变量。跨越—通过变量是Fire-年首先引入的[3], 即跨越变量需要通过空stone 教授于1933
间两个不同的点来测量, 而通过变量则仅需在空间中一点
进行测量。这两类广义变量在不同学科领域中所代表的具体物理含义如表1所示。在表中还列有两种很重要的变量, 即位移和动量, 它们分别是跨越变量与通过变量的积分, 因而也都具有广义的含义。联结理论利用这些广义变量为机、电、液等系统定义了三个广义元件, 从而使原始系统方程的建立统一化。
表1 一些学科中跨越—通过变量及位移—动量所代表的定义系统平动机械转动机械电气液压
跨越变量e 通过变量i 速度v 角速度w 电压U 压力差P
力F 力矩T 电流i 流量Q
位移x 位移x 转角h 磁通量λ压力动量Γ
动量h 线动量p 角动量L 电荷q 体积V
C i ¨x i + x i /R i +x i /L i =i i
(1)
若原始系统共有n 个单元, 则其方程用矩阵形式可表示为
Y 1¨(2) x +Y 2 x +Y 3x =i
i
式中, Y 1=diag [C 1, C 2, …, C n ];Y 2=diag [1/R 1, 1/R 2, …,
1/R n ];Y 3=diag [1/L 1, 1/L 2, …, 1/L n ];x =[x 1, x 2, …, x n ]T ; i =[i 1, i 2, …, i n ]T 。
由此可见, 原始系统的方程可用一个三维矩阵Y 来确定, 如图4所示。Y 中“零”元素均未标出
。
2. 2 广义元件及原始系统
按照上节所定义的广义变量, 可以定义三个广义元件:(1) , 阻件元件或R 元件, 在变量e 和i 之间存在一个函数关系的元件叫做阻件元件。(2) , 感性元件或L 元件。在变量i 和x 之间存在一个函数关系的元件叫做感性元件。(3) , 容性元件或C 元件。在变量e 和h 之间存在一个函数关系的元件叫做容性元件。这些广义元件
图3 广义变量关系的
“状态四面体”
图4 矩阵Y 的数据结构 图5 某一系统的特性图
3 联结及表述工具
联结理论中最重要的概念是联结, 单元间的联结表明
了原始系统是如何转变成联结系统, 反映了系统的结构。在联结理论中, 将单元用线图中的支路来表示, 根据单元间的连接情况来绘制系统线图(在联结理论中叫做特性图) , 而用系统特性图的关联矩阵来表述单元间的联结。为了说明如何建立关联矩阵及其取值规范, 现举例如下。假定图5表示某一系统的线图, 则特性图的支路—节点关联矩阵V 及支路—区域关联矩阵F 的具体含义如下式所示:
A B C D 10
0V =0
00
10
01100
0001
00-1-10001
与广义变量的关系可用图3直观地表示。在图中, 连接x 和h 两个顶点以虚线表示的一条边尚未说明关系, 因为迄今为此还无联系这两个变量的元件。这些广义元件方程的一般式及在不同学科中的具体含义如表2所示。这样原始系统中的单元均可视作由这三个广义元件的不同组合来表述, 从而采用一种统一的方式来建立单元的方程。假定原始系统中第i 个单元的位移变量为x i , 通过变量为i i , 广义元件特性值分别为L i , R i , C i 将图3稍作改变(参见表2) , 即可建立单元方程如式(1) 所示。
-1-11-10
00
第1期
a
1
b 0
c 0
胡新春等:机械系统动力学建模的联结方法
示, 其值分别为
M 7=-0. 75cos k t +0. 7sin k t
·21·
-1100-11F =00-000001
-100-1
=0. 8M 8=0. 20co s k t +0. 6sin k t 其中k
试建立该阻尼扭转系统的运动微分方程。
其中, V 的元素取值规定如下:若支路头部与节点关联, 其值为-1; 支路尾部与节点关联, 其值为1; 支路与节点不关联, 其值为0。F 的元素取值规定如下:若支路与区域反向关联, 其值为-1; 支路与区域同向关联, 其值为1; 支路与区域不关联, 其值为0。参考节点和区域不作考虑, 如本例中的节点W 及区域W 。4 联结系统
联结理论的主要目标就是试图提供这样一种方法和策略:根据单元方程及单元间的联结来比较容易地推导联结系统的运动方程。下面以节点法为例(参照图2) , 说明联结系统节点方程的生成。根据图论的有关知识, 可建立节点和单元的跨越变量与通过变量的变换关系如下(详细的推导过程请参考文献[2]):
x =V x N I N =V T i
(3)
图6 阻尼扭转系统
表3 理想元件的特性值(其中, k 、r 和I 的单位
分别为N /m 、N m /rad 和N m s ) k 18/3
k 32. 5
r 23. 2
r 3
r 4
I 52. 0
I 61. 0
I 71. 1
I 81. 5
0. 52. 2
表4 原始系统的单元及特性值1Y 1Y 2Y 3
08/3
203. 20
300. 52. 5
402. 20
520. 00
61. 000
71. 100
81. 500
式中 x N 为节点的跨越变量列阵; I N 为节点的通过变量列阵; 上标T 表示转置。
由于V 为常数矩阵, 所以可得到如下两式, 分别表示单元和节点的位移变量与加速度变量的关系。
x =Vx N (4) x =V ¨x N (5) ¨
将式(2) 、(3) 、(4) 、(5) 综合起来, 即可建立系统的节点方程如下:
x N +V T Y 2 x N +V T Y 3Vx N I N =V T Y 1V ¨(6) 式(6) 可视作图2中的节点方程在机、电、液等系统中的展开
式。
联结理论同时利用A PL (A Prog r amming Lang uag e) [9]作为开发语言, 编制了相应的计算程序, 用于系统的建模与求解。下一节, 我们结合一个机械系统的示例, 具体地说明联结理论的建模及求解过程, 并对该理论进行述评。
5 应用示例及讨论
如图6所示的, 该例子摘于文献[1]。该系统包括四个质量元件, 其惯量分别表示为I 5、I 6、I 7和I 8。质量5和6之间一根刚度, 系数为K 1的弹簧相连, 质量6和7之间有一复合元件(即既具有刚度系数, 又具有阻尼系数) , 质量6与外部参考环境之间还有一阻尼器。该系统中有关理想元件的特性参
系统的M 8, 在本例中, 我们以节点为例, 详细地说明了联结理论中的建模与求解过程, 以便读者能对该理论有一个较好的感性认识。过程如下:(1) 划分单元, 建立原始系统。将该阻尼扭转系统划分为8个单元, 参见系统的特性图。其中, 每个单元的特性值见表4。
(2) 确定单元间的联结。在节点法中, 涉及到的联结矩阵是支路一节点关联矩阵V 。根据系统的特性图, 可确定其值如下:
1-10001-10
00100
01010
10001
-0000
V =
0001
(3) 确定源。即系统的输入。由系统给定的已知条件可知, 表示单元源特性的源矩阵I s =(0, 0, 0, 0, 0, 0, M 7,
在节点法中, 单元源应变换为节点源。参照图2可知, M 8) T 。
节点源为I N =V T I s (0, 0, M 7, M 8) T 。
(4) 列写联结系统的运动方程并求解。将原始系统特性矩阵Y 、联结矩阵V 及源矩阵I N 代入式(6) 整理得:
·22·
0=2h h N 2+2. 667N 2+
¨
¨
机械科学与技术
2. 667h N 3
第17卷
0=h h N 3+5. 4h N 3-3. 2h N 4-2. 667N 2+
¨¨
2. 667h N 3
2. 5h h N 5-2. 5N 52. 5h N 5
3 Firesto ne F A. A N ew Analo g y Between M echanicsl
and Elec trical System. J o urnal o f the Aco ustical Socir-ty o f America , 1933
4 Haav ardtun L J . Pro ductio n Planner ’s Wo r kbench:A M anufacturing Systems T heor y Appr oach. Ph. D the-sis Univ ersity o f Tr ondheim, 19955 Kamo pp D C and Rosenberg R C . Systems Dynamics ;
A U nified Appr oach. J o hn W iley &Sons, Seco nd edi-tion , 19906 Sheare r J L , M urph y A T, and Richa rdso n H H. In-tro dution to System Dy na mics . Addiso n W esley , 19767 ¨So der man U. Conceptual M odeling o f M o de Switching
¨
Ph ysical Sy stem . Ph . D Th esis , Linko ping U niv ersity , Sw eede n, 19958 W ang K S . A N ew M odeling a nd Ana ly sing Approach
to M a teria l Flo w and Pro ductivity; An Applicatio n of M anufacturing Systems Theo ry to Productio n Sys-t em s. Pr oceeding s o f CA PE ’95, Chapman &Hall, 19959 西川利男, 日本IBM 公司著, 叶素, 冉全印译. 基础
A PL. 科学技术文献出版社, 1993
M 7=1. 1h +N 4-3. 2h N 3+3. 7h N 4-0. 5h N 5M 8=1. 5h h N 5-0. 5h N 4+0. 5h N 5-2. 5N 4+
(7)
这就是系统的运动微分方程。其中, M 代表力矩, h 代表角位移, 角标N 表示h 为节点变量(广义变量) , 因节点1为参考节点, 故不作考虑。这个结果与文献[1]是一致的。在建立系统的运动微分方程后, 即可采用已有的成熟算法(如龙格—库塔算法等) 进行求解, 因非联结理论的主要研究内容, 故本文对此不作讨论。
通过上述示例的分析, 我们发现两点:一是用线图方式可以提供系统各单元之间联结关系最直观的理解。然而, 当组成系统的单元很多时, 用图的方式描述系统的结构过于复杂。二是由特性图建立起来的关联矩阵往往是常数矩阵, 这就注定这种方式只适用于线性系统, 而很难适用于非线性系统。所以必须对联结理论进行完善和发展, 目前笔者已知将联结理论拓宽应用于非线性机械系统的动力学建模, 这些研究成果将另文发表。而Bj Υrke 、H aav ar dt un [4]及Wa ng [8]等学者正试图将这种联结思想拓宽应用于更广泛的制造系统, 以期能创建一门具有通用性的制造系统理论。显然, 制造系统与机械系统相比, 其内容丰富得多、复杂得多。所以, 要将联结理论发展为完善的制造系统理论, 还有许多工作要做。由于这方面的成果还不成熟, 故本文对此暂不介绍, 有兴趣的读者请参阅文献[2, 4, 8]。6 结束语
为物理系统的建模与分析发展一个合适的、有效的统一理论, 已经引起一些科技工作者的关注, 联结理论在这种形势下应运而生。本文对该理论的基本思想和通用建模过程进行了深入的研究, 指出了该理论目前存在的问题, 提出了新的研究方向和课题。
参 考 文 献
1 Benz W. Zur Be rechnunge n Erzwung enen Gedimpfiter
Schwing ung en. V D Z-Berichte, 35, 1959
2 Bj Υrke Υ. The Theo ry o f Co nnetion -T ow ard a M anu-fac turing System s Theo ry. Scientific Sy stems Th eo ries for M achine Engineering , Stockholm Sw eden , 1990, M anufac turing Systems Th eo r y :A Geo metric Ap-pr oach to Connectio n . Ta pir Publishers , T ro nhein , 1995
The Connection Approach to
Dynamics Modeling of Mechnaical Systems
(Ⅰ) A Study on the Theory of C onnection Yan Junqi J ian Xinyuan Hu Xinchun
Zhang Qing Wang Kesheng
(Shanghai J ia oto ng Univ ersity, Sha ng hai 200030) Abstract A tho rough study o n theo ry o f co nnection ha s
been made in this pa per , the majo r o bjectiv e o f theor y o f connectio n is to offe r a str ateg y by which the g ov -er ning equations o f co mplica ted systems co uld be easily determina ted f rom th e kno wn equations o f its indiv idu-al elements. So me difficulties with the theor y of con-nec tion has been pr ese nted and the future tr end ha s al-so been pr oposed in this pape r .
Keywords M echanical system Dy na mics M odeling
method Theo ry o f Connectio n