应用统计学课后习题答案

《应用统计学》第一章 答案

1.解：（1）{(x1,x2,,x5)|xi0或1,i1,,5}

P(x1,x2,,x5)pi1(1p)

xi

5

5

xi

i1

5

,xi0或1,i1,,5

（2）T1,T4是统计量，T2,T3不是统计量，因为含有未知参数p （3）

15131n153322

，xi(01101)s(xi)(xi)2 5i155n1i151i1510

4

2.解：因为X~N(30,4)，所以~N(30,)，因而

n

P(31)P111

当n=4

时，P(31)11(1)10.840.16 当n=9

时，P(31)11(1.5)10.930.07 当n=16

时，P(31)11(2)10.980.02 7.解：（1）X~P()，P(Xk)

k

k!

n

e,k0,1,,且EXDX

联合分布列为P(X1k1,,Xnkn)P(Xiki)

i1

i1

n

k

i

ki!

e

n,i1,,n

k1!kn!

n



ki

i1

n

（2）因为样本与总体同分布且独立，所以有

1n1n11n1

E(Xi)EXin；D(Xi)2

ni1ni1nni1n

DXi

i1

1

nnn2

（3）E(S2)E(

1n1n2

(Xi))(EXi22) n1i1n1i1

因为EXi，所以EXi2DXi(EXi)22,2()2因此ES2

1

(n(2)n(2)) n1n

xi

i1n

n

2

8.解：（1）P(x1,x2,,xn)p

n

(1p)

xi

i1

n

,i1,,n

1n1n1p(1p)

（2）E(X)p，D(Xi)2DXi2np(1p)

ni1nni1nx00,

nm

,0x1 （3）Fn(x)n

x11,

xa0,

1xa,axb

11.解：（1）X~R(a,b)，f(x)ba，F(x),axb

ba0,其它xb1,

联合密度函数为f(x1,x2,,xn)f(xi)

i1

n

1

(ba)n

xan11n(),axb

（2）X(n)的密度函数为fn(x)n(F(x))n1f(x)，所以有 baba

0,其它EX(n)xfn(x)dxxn(

a

a

b

b

xan11n

)dxbaba(ba)n



b

a

(xaa)(xa)n1dx

bbnn(xa)n1ba(xa)nbnbann1

[(xa)dxa(xa)dx][||]aaa

n1nn1(ba)na(ba)n

bxn11),axbn(

，所以有 X(`1)的密度函数为f1(x)n(1F(x))n1f(x)baba

0,其它

EX(1)xf1(x)dxxn(

a

a

b

b

bxn11n

)baba(ba)n



b

a

x(bx)n1dx

(1)nn



(ba)n(1)nn

(ba)n



ba

b

a

(1)nn

x(xb)dx

(ba)n

n1



b

a

(xbb)(xb)n1dx



(xb)n1b(xb)n1dx

2

nabn1

15.证：

Xn1~N(,),~N(,

(n1)S2

2

n

),Xn1~N(0,

n12

~N(0,1) )n又因为



2

2

~2(n1)，且Xn1与S相互独立，所以有

T

~t(n1)

16.解：X~N(0,1),(X1,,Xn)为取自总体的样本，且正态分布具有可加性 

Xi~N(0,3),Xi~N(0,3),

i1

i4

2

2

3

6

X

3

i

~N(0,1),

X

6

i

~N(0,1)，且与相互独立

6

132

Y((Xi)(Xi)2)~2(2)，所以取c=1/3

3i1i4

17.解：X~N(0,2),(X1,,Xn)为取自总体的样本，（1）（2）

Y1

2

Xi



~N(0,1),(

Xi



)2~2(1)



(

i1n

n

Xi



)2~2(n) )2~2(n)

nY2

2

(

i1

Xi

XiY

（3

）Xi~N(0,n~N(0,1),322~2(1)

ni1

n

i

2

X

nn

（4

）

Y4

2

由此可以导出Y1,Y2,Y3,Y4的分布

27.证：（1）L(x1,x2,,xn;,)f(xi;,)(

i1n

X

n

i

2~2(1)

n

)(xi)1e()i1

n

n



xi

i1

n

xn1

)(xi)e取h(x1,,xn)1，g(T(x1,,xn),,)(， ()i1



n



ii1

所以由因子分解定理知(xi,xi)是(,)的充分统计量

i1

i1

nn

（2）当已知时，L(x1,x2,,xn;,)f(xi;,)(

i1

n

n

n

)(xi)1e()i1

n





xi

i1

n

取h(x1,,xn)(

1n

)(xi)1，g(T(x1,,xn),)ne()i1

n

xi

i1

n

所以由因子分解定理知xi是的充分统计量

i1

xn1

)(xi)e（3）当已知时，L(x1,x2,,xn;,)f(xi;,)( ()i1i1

n



n

n

i

i1

取h(x1,,xn)e



xi

i1

n

nn

)(xi)1 ，g(T(x1,,xn),)(

()i1

n

所以由因子分解定理知xi是的充分统计量

i1

29.证：L(x1,x2,,xn;)x

nn

(1)(1)12

x

xn

n

(1)

(xi)(1)

n

n

i1

n

取h(x1,,xn)1，g(T(x1,,xn),)nn(xi)(1)

i1

所以由因子分解定理知xi是的充分统计量

i1

n

32.解：（1）P(X1x1,,Xnxn;)e取a()e

n

n



xi

i1

n

x1!xn!

e

n

exp{lnxi}

i1

n

1

x1!xn!

,Q()ln,T(x1,,xn)xi,h(x1,,xn)

i1

n

1

，

x1!xn!

所以泊松分布族{P():0}是单参数分布族

（2

）

nn1n1n22

L(x1,,xn;)(xi)}xixi}e2

2i12i1i1



1

xi2}exp{xi}e2i1i1

n

nn



n

2

取a()e



n2

,Q(),T(x1,,xn)xi,h(x1,,xn)

i1



1n2xi} 2i1

所以正态分布族{N(,1):}是单参数分布族 （3

）L(x1,,xn;)取a()

122



12

2

x

i1

n

2

i

}

Q()

,T(x1,,xn)xi2,h(x1,,xn)1

i1

n

所以正态分布族{N(0,2):20}是单参数分布族

（4）L(x1,,xn;)



n

n0

(0)

(xi)01e

i1

nn

xi

i1

n

01

nn

n

a(),Q()n,T(x,,x)x,h(x,,x)(xi)取1ni1nn

(0)i1i1

，

所以Gamma分布族{Ga(0,):0}是单参数分布族 （5）

n

(a0b)nna01n(a0b)nna01b1

L(x1,,xn;b)()xi(1xi)()xiexp{(b1)ln(1xi)}

(a0)(b)i1(a)(b)i1i1i10nn

(a0b)n

),Q(b)(b1),T(x1,,xn)ln(1xi),h(x1,,xn)(xi)01， 取a(b)(

(a0)(b)i1i1

所以Beta分布族{Be(a0,b):b0}是单参数分布族 （6）L(x1,,xn;)ne

n



xi

i1

n

，

n

取a(),Q(),T(x1,,xn)xi,h(x1,,xn)

i1

1

，

x1!xn!

n

所以指数分布族{E():0}是单参数分布族

xixi

nni1

34.证：L(x1,x2,,xn;)(1)，取h(x1,,xn)1，g(T(x1,,xn),)(1)i1

n

所以由因子分解定理知xi是几何分布的充分统计量

i1

n

《应用统计学》第二章 答案

1.解：（1）EXp,pˆ为p的矩估计；

（2）设x1,x2,,xn为样本的一组观测值，则L(p)L(x1,x2,,xn;p)p

n

n

xi

i1

n

n

(1p)

xi

i1

n

xinxi

lnL(p)i1

i10 lnL(p)xilnp(nxi)ln(1p)，令pp1pi1i1

n

n

ˆ为p的极大似然估计 所以p

xx

5.解：f(x;p)Cmp(1p)mx，设x1,x2,,xn为样本的一组观测值，则似然函数为

n

n

xnx1L(x1,x2,,xn;p)CmCmpi1(1p)

xi

xn

m

mn

xi

i1

，取对数为

n

lnL(x1,x2,,xn;p)lnCCxilnp(mnxi)ln(1p)，

x1m

i1

i1

n

令

lnL(p)

p

xi

i1

n

p



mnxi

i1

n

1p

0，

得pˆ

为p的极大似然估计，1-pˆ1为q的极大似然估计 mm

x0,

1,x1

15.解：f(x;)，F(x;)x,x1

0,其它1,x1

（1）EX

21ˆ211

,为的矩估计 222

设x1,x2,,xn为样本的一组观测值，则似然函数为L(x1,x2,,xn;)1为常数 所以符合条件的所有X(1)X(n)1, ˆX都可以看作是的极大似然估计。 即X(n)1(1)

ˆ)E(1)1211，所以ˆ是的无偏估计 （2）E(112222

X(n)的密度函数为fn(x)n(F(x))

1

1

n1

n1

n(x),x1f(x)

0,其它

EX(n)n



xfn(x)dx

n1



xn(x)n1dx

1



(x)n(x)n1dx

1

n(x)nn(x)n1dx



(x)

n1

11|(x)n|

n

n1

ˆ是的无偏估计 ˆ)E(Xn)，所以因为E(22(n)

n1

X(`1)的密度函数为f1(x)n(1F(x))

n1

n1

n(1x),x1

，所以有 f(x)

0,其它

EX(1)

1



xf1(x)dx

n1

1



xn(1x)n1dx(1)n1n

n

n1

1



x(x1)n1dx

n1

(1)

n

1



(x1)(1)(x1)dx(1)

(x1)n11(x1)n1

n[|(1)|]

n1n

n1

(1)(1)2n1n1n1

ˆ是的无偏估计 ˆ)E(X1)，所以因为E(33(1)

n1ˆ)D(1)DX111 （3）D(1

2nn1212n

nˆ)D(Xn)DXE(X)2EX1x2n(x)n1dx(n)2D(2(n)(n)(n)(n)n1n1(n2)(n1)2nˆ)D(X1)DXE(X)2EX1x2n(1x)n1dx(1)2D(3(1)(1)(1)(1)

n1n1(n2)(n1)2

ˆ,ˆ,ˆ都是的相合估计量 （4）123

16.解：（1）因为ETc(X)13(22c)2(1)c2(1)(12c)(1)20(1)3 所以对于任意常数c，Tc(X)是的无偏估计

17.解：（1）设x1,x2,,xn为样本的一组观测值，则似然函数为L(x1,x2,,xn;)1为常数 11

所以符合条件的所有X(1)X(n),

22

1ˆ1

X(1)都可以看作是的极大似然估计。 即X(n)22

18.解：经验证指数分布满足Rao-Cramer正则条件，当x>0时 lnf(x;)1x2lnf(x;)12x

23 lnf(x;)ln，2,

2

x

2lnf(x;)12x12121

I()E()E()E(X)

22323232

12

所以的无偏估计量的方差下界为 nI()n

19.解：经验证两点分布满足Rao-Cramer正则条件，有f(x;p)px(1p)1x,x0或1

lnf(x;p)x1x2lnf(x;p)x1x

,lnf(x;p)xlnp(1x)ln(1p)， pp1pp2p2(1p)22lnf(x;p)x1x11E(X)1

I(p)E()E(2)2E(X) 222

p(1p)pp(1p)p(1p)

[((1p)2)']2[2(1p)]24p(1p)3

所以(1p)的无偏估计量的方差下界为 

nI(p)np(1p)

2