三角形中线

三角形中线、角平分线、高的教学评价

李 大 渊

《三角形中线·角平分线·高》是华东师大出版的义务教育课程标准实验教科书初中一年级(七年级)(下)，第8章《多边形》中的第2节，第一问题是认识三角形中的最后一段。教材中有一个图形，有一段结合图形说明的文字，红框中有“做一做”，并指出，在做的过程发现什么结论？最后第2个练习题，在每个练习题中都要求学生通过作图，发现什么规律。这段教材是在学生已经知道三角形的边角、顶点、内角、外角及三角形的分类的基础上学习的。

教学目标：①巩固三角形的基本概念及分类思想。②让学生比较规范地作出三角形的中线、角平分线和高。③通过作这些线段训练学生作图技能及使用作图工具的能力。④通过作图发现规律，让学生体会到“实践出真知”，同时体会普通性与特殊性的辩证统一及运动变化的观点。

一、课堂实录与评

⒈复习：

师：什么叫三角形？什么叫三角形的边、顶点？

师生共答：将不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫三角形。组成三角形的三条线段叫三角形的边，两条边相交的点叫三角形的顶点。(教师说话声音大，学生跟着说的声音小得多，我主要听到的是教师的背诵) ［评］：这个复习是机械的，教师应该设计一个供师生操作性的问题，开始教师应说，我们共同来作一个三角形。(可作出锐角、直角、钝角三类不同的三角形)并结合图形说出三角形的基本概念，目的有训练作图的意图。 师：思考什么是三角形的外角？

师生共答(仍是一种背诵，教师回答声音仍比学生回答声音大，相当于自问自答。)

［评］应该让学生作出三角形的外角，并读出来。

⒉新课

师：(站在讲台上)把练习本拿出来与我一起作图，这时，教室里响起翻东西与说话声。

师：画一个任意的三角形，测出BC的长。(教师用三角板上的刻度测出BC的长) 求 BC，找出BC的中点D，连AD，则AD叫△ABC的BC边的中点。

学生也跟着教师一步一步地作图。

［评］：①教师先作了一个三角形，等学生也作一个三角形。

②教师测出BC的长，等学生也测出BC的长。 ③教师测出BC的长，等学生也测出BC的长。

④教师在BC上找出D点，等学生也找到D点。

⑤教师连结了AD，等学生也连结AD。

作图的确需按程序作，而且教师教学生也按程序作，这是教师教学生的典型作法，应让学生自己探索如何作出三角形的中线。

师：我们如何用恰当的语言叙述三角形一边上的中线？

思考了几分钟。

生1：AD是△ABC的中线。

生2：BC边上的中点与A点的连线叫BC边上的中线。

师：进一步强调要用文字叙述，不用图形来说。

生3：三角形一边的中线与顶点的连线叫中线。

师：意思知道了，但还没有说清楚，应是“三角形一边上的中点与它相对的顶点的连线叫三角形的一边上的中线”。(同时教师板书 定义：)

师：我们用同样的方法作出AB、AC边上的中线。这时，学生也跟着作出了AB、AC边上的中线。

师：作出了三角形三条中线，有什么现象呢？

生：相交于一点。

师：回答得很好。(板书：性质 三角形三条中线相交于一点)

师：还告诉大家一个问题，这个交点到中点的距离等于它到顶点距离的一半。(教师用到度尺比量看了一下，下面有学生也发出声音“当真”。)

［评］①AB、AC边上的中线CE、BF应由学生自己练习作出，同时发现这个结论，教师应下讲台观察并指导学生作图。②叫学生量出OD、OE、OF、OA、OB、OC的长，观察这些数据，有什么结论。③结合图形说出三角形的中线就行了，不必用文字叙述，按图形说出：∵AD是BC边上中线，∴D是BC的中点，∵BD＝DC或∵BD＝DC，∴D是BC的中点，∴AD是BC边上的中线。由此训练简单推理能力与读图的能力，还应画出直角、钝角三角形验证上述结论。

师：我们给三角形中线的交点取个名字，叫三角形的重心。

师：我们又画一个任意的三角形，量出∠A的度数为74°，把∠A的度数除以2得∠A＝37°，用量角器找出∠A的一半，作角平分线AD，学生也跟着教师一步一步地去作。

［评］教师的行为显然是经典点的教师教学生。这里出了一个问题，即：以AB为边，在∠A的内部作一个角为37°，另一边为AD交BC于D，则AD为∠A的平分线。

师：我们用同样的方法作出∠B、∠C的平分线分别为BE、CF。

［评］应让学生自己作出∠B、∠C的平分线，作出后让学生量一下∠ABE、∠EBC、∠ACF、∠FCB的度数，看一看∠ABE=∠EBC、∠ACF=∠FCB是否成立？如果不成立，说明什么？其实应先验证自己在黑板上的作图，以培训学生实事求是的科学态度，然而教师没有这样做。

师：我们用恰当的语言表述三角形的角平分线？

生1：AD是三角形ABC的∠A的平分线。

生2：三角形ABC的∠A的平分线交它对边点D的直线叫三角形的 角平分线。

师：(同样地说)知道意思，说不清楚，马上讲：三角形一个角的平分线与它的对边相交，顶点与交点的线段叫三角形的角平分线。

［评］文字叙述是没有必要的，还是要结合图形说出：在三角形ABC中，∵∠BAD＝∠DAC，D点在BC上，∴AD是三角形ABC中∠A的平分线。或∵AD是∠A的平分线，∴∠BAD＝∠DAC＝∠A。进一步训练读图的能力与简单推理能力，同时注意了从图形语言到符号语言的诠释。

师：三条角平分线作出后，发生什么现象呢？

生1：答不出来。

师：那就坐下，我们得出性质。（板书）

三角形三条角平分线相交于一点。

［评］应让学生观察图形，自己得出结论，教师应指着图形启发学生说出来。 师：我们也给三角形三条角平分线交点取个名字。

生1：分心。

生2：角心。

师：内心。（板书）

师：下面我们再画如下三个三角形。

我们来作三角形的高，这是本节的难点，教师作了分析，还没有来得及作图。下课铃响了，马上说下节课再来！

［评］教师又是平铺直叙地分析，还指出了，作三角形的高可能在三角形的外面。

二、分析与思考。

（一）教师教学行为的透视。在本节课的整个过程中，教师抱着基本知识不放，且反复用语言陈述基本知识点，三角形的中线、角平分线及它们交点的性质。

⒈教师在作图过程中教学生作，在课堂上看得出，学生在“跟师学艺”，教师在手把手地教，在过程中，表面上看是师生共同活动，如教师作一步等学生也作相应的一步，学生动手作是机械的，没有通过自己思考。

⒉教师在整个教学过程中，一直站在讲台上，（只有两次走下讲台看了前两排巷道边的同学作图情况），充分表现了“教师角色”，呈现了师生的“距离”感。有工具的跟着教师一起作图，没有工具的同学就抬着头，两眼望着黑板“认真听”，有学生做小动作；打瞌睡也无人问津，练习题作对否，也没有得到评价。

⒊教师的教学语言是没有知识性错误的，但语调上显得平铺直叙，不能用深刻、生动的要求去评价，因此，这种语言对于激发学生学习动机和兴趣有一定的难度。

从上述三个行为中看出，刘老师对新课程理念的理解还有差距，还没有把课堂教学转化为以学生为中心的教学活动，这样的教学对课程改革成功率不高。

（二）对基本知识教学方法的透视。基础知识是学生学习的根本所在，是学生认知结构形成的生长源。因此，我们认为，不管怎样改革，基础知识必须高度重视，但必须研究学生获得基础知识的方法。

⒈教师在整个过程中一直是教学生基础知识，尽管学生也有活动，但仍不能判断学生在自主探索。新课程要求，学生必须在自己实践中分析、体验、总结出结论，把这些结论融进自己原有知识结构，形成新的认知结构。教师应提出问题，叫学生自己探索、分析、讨论、总结，得出结论，如提出问题：在三角形ABC中，如何作出BC边上中线？学生自己看书，自己作图，同学之间互相评价，总结作图步骤，用这个方法再作AC、AB边上的中线，进而观察出三角形到中线具有什么特征，作出的图形是否正确，用刻度尺去验证，如BC边上中线AD，只需量出BD、DC的长，比较BD、DC的大小即可。

⒉注意研究基本知识的形成过程。△ABC中BC边上的中线的生成过程应该充分展示出来，在知识形成过程中，让学生去体验，如△三角形ABC中，点B沿BC运动，得出AB1、AB2、AB3„„ABn，

在这些线段，通过测量看哪一条线段是△ABC中BC边上中线，又看哪一条是∠A的平分线，哪一条是BC边上的高。让学生受到“量变到质变”的辩证唯物主义的教育。这里统一用“运动”的观点，阐明△ABC的中线、角平分线、高的形成过程，即节省时间又比较形象、生动。

⒊淡化概念。大众数学理论告诉我们，在数学教学中要淡化概念。几何中的概念一般就是结合图形来证明的，如什么是三角形及三角形的边、角、顶点、外角等。

A、B、C分别是△ABC的三个顶点，AB、BC、AC是△ABC三条边，∠BAC、∠ABC、∠ACB是△ABC的三个内角，∠ACD是△ABC的一个外角。如果BE＝EC，则AE是△ABC中BC边上的中线„„。不必用文字去描述，因为死有概念，作不出相应图形，概念是死的，是没有用的。结合图形说出基本概念①训练识图能力。②训练把图形语言转化为符号语言的能力。③训练逻辑表达能力。④训练作图技能；结合图形说明概念比较形象、准确而生动。

（三）教学目的性透视。教学目的是课堂教学原则之一。要求教师在课前根据学生实际情况及教材内容要求确定教学范围，在课堂教学中，通过适当调控要把这个事先确定的萄范围内的内容教授完，不能走到哪黑就在哪里歇。

⒈本节课教学内容就教材P46全部内容，其基本知识点是三角形的中线、角

平分线、高的作法及性质，基本技能是这些的作法，包括使用作图工具的方法。基本态度是作这些图要求的准确性，怎样认识误差。

⒉教学教学速度影响教学目的。本节课只讲了三角形的中线、角平分线，而三角形的高（本节教材重点）没有时间完成，把一节课讲授成两节课，这样把一个有机整体撤散了，这是教学上的失误。教学的盲目性，说明教师教学不严谨。